资源描述
2024 学年（上）八年级数学科综合练习（二） （问卷）
本卷共 25 小题，总分 120 分；练习时间 120 分钟，闭卷练习．
1. 务必在答卷上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号．
2. 问答题用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案写在答卷各题目区域内的相应位置上．
3. 涉及作图的题目请用 2B 铅笔作图．
一、选择题：（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 第 19 届亚运会在杭州顺利举行，下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A. 两点之间线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边
C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性
3. 以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（ ）
A. 8cm，7cm，13cm B. 6cm，6cm，12cm C. 5cm，5cm，2cm D. 10cm，15cm，17cm
4. 若一个多边形的内角和为1080° ，则这个多边形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 八边形 D. 六边形
5. 等腰三角形的一边长等于 4，另一边长等于 9，则它的底边是（ ）
A. 4 B. 9 C. 4 或 9 D. 17
第 5页，共 6页
6. 把点 A(x, -5) 沿着 y 轴翻折与点 B(-2, y) 重合，则 x + y 的值为（ ）
A. 7 B. -7 C. -3 D. 2
7. 如图，已知 AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA
8. 如图， CM 是V ABC 的中线， BC = 8cm ，若VBCM 的周长比△ACM 的周长大 2cm ，则 AC 的长为（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A, B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得V ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）
A 6 B. 7 C. 8 D. 9
10. 如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，O 是AB 边上的中点，点D，E 分别在AC，BC 边上，且∠DOE=90°，
DE 交 OC 于 P，下列结论正确的共有（ ）
①图中的全等三角形共有 3 对；②AD=CE；③∠CDO=∠BEO；④OC=DC+CE；⑤△ABC 的面积是四边形
DOEC 面积的 2 倍．
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）．
11. 点 P(2，3)关于 x 轴的对称点的坐标为 ．
12. 如图， ÐACD = 75° ， ÐA = 30° ，则∠B= °
13. 如图，V ABC 中，ÐC = 90° ，AD 平分ÐBAC ，AB = 5，CD = 2 ，则△ABD 的面积是
14. 如图，在V ABC 中，点 E 在 AB 的垂直平分线上，且 AC = AE ，AD 平分ÐEAC ．若 AC = 3 ，CD = 1， 则 BC = .
15. 如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东15° 方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向，则
ÐACB 的度数是 ．
16. 如图，在V ABC 中， AB = AC = 12cm ， BC = 10cm ，点 D 为 AB 的中点，如果点 P 在线段 BC 上以2cm / s 的速度由 B 点向C 点运动．同时，点Q 在线段CA 上，由点C 向A 点运动，当△BPD 与V CQP 全等时，则点Q 的运动速度为 cm/s ．
三、解答题（共有 9 小题，共 72 分，要求写出必要的文字说明、证明过程或者计算步骤）．
17. 如图点A ， B ， C ， D 依次在同一条直线上， AB = CD ， AE = DF ， ÐA = ÐD ， BF 与CE 相交于点 M ．求证： CE = BF ．
18. 如图所示，在V ABC 中， D 是 BC 边上一点， BD = DA = AC ， ÐBAC = 75° ，求ÐDAC 的度数．
19. 如图，已知V ABC
（1） 画出V ABC 关于直线 x = 2 对称的图形△A1B1C1 ；并直接写出△A1B1C1 的面积 ；
（2） 若点 P (a, b) 在V ABC 内部，点 P 和点 P1 关于直线 x = 2 对称，则 P1 的坐标是 ；
20. 已知：如图，AD 是等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的中线，DE∥AB，交 AC 于点 E．求证：△AED 是等
腰三角形．
21 如图， DE ^AB 于 E ， DF ^AC 于 F ， BD = CD, BE = CF ．
（1） 求证： AD 平分ÐBAC ；
（2） 直接写出 AB + AC 与 AE 之间的等量关系．
22. 如图：已知等边V ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是 BC 延长线上的一点，且CE = CD ， DM ^ BC ， 垂足为 M ．
（1） 求ÐE 的度数；
（2） 求证：M 是 BE 的中点．
23 已知V ABC 中，∠B＝ 1 ∠C＝α．
2
（1） 尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC 的平分线 AD；
②在 AD 上作点 P，使V ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形，并求出∠APC 的度数（用含α的式子表示）；
（2） 在（1）所作的 AD 上是否存在着另外的点 P，使V ACP 也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子
表示∠APC 的大小；若没有，请说明理由．
24. 已知直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为O ，点A 在射线OQ 上运动，点 B 在射线OM 上运动，点A ，B 均不与点O 重合．如图 1， AI 平分ÐBAO 交OB 于点 I ， BC 平分ÐABM ， BC 的反向延长线交 AI 的延长线于点 D ．
（1） 若ÐBAO = 60° ，求ÐADB 的度数．
（2） 在点A ， B 的运动过程中，ÐADB 的大小是否会发生变化？若不变，求出ÐADB 的度数．若变化， 请说明理由．
（3） 如图 2，已知点 E 在 BA 的延长线上，ÐBAO 的平分线 AI ，ÐOAE 的平分线 AF 与ÐBOP 的平分线所在的直线分别相交于点 D 、F ．在△ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的 3 倍，请直接写出ÐABO
的度数．
25. 如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点 D 是△ABC 内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°， 点 E 是 BD 延长线上一点，AE＝AB．
（1） 直接写出∠ADE 的度数 ；
（2） 求证：DE＝AD＋DC；
（3） 作 BP 平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为 F，（如图 2），若 EF＝3，求 BP 的长．
2024 学年（上）八年级数学科综合练习（二） （问卷）
本卷共 25 小题，总分 120 分；练习时间 120 分钟，闭卷练习．
1. 务必在答卷上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号．
2. 问答题用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案写在答卷各题目区域内的相应位置上．
3. 涉及作图的题目请用 2B 铅笔作图．
一、选择题：（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 第 19 届亚运会在杭州顺利举行，下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可．
【详解】解： B，C，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
第 15页，共 23页
A. 两点之间线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边
C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D．
【点睛】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应 用．
3. 以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（ ）
A. 8cm，7cm，13cm B. 6cm，6cm，12cm C. 5cm，5cm，2cm D. 10cm，15cm，17cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
A、8+7＞13，能组成三角形； B、6+6＝12，不能组成三角形； C、2+5＞5，能组成三角形；
D、10+15＞17，能组成三角形． 故选 B．
【点睛】考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第 三个数．
4. 若一个多边形的内角和为1080° ，则这个多边形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 八边形 D. 六边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式．根据多边形的内角和公式求出多边形的边数即可．
【详解】设所求正 n 边形边数为 n， 则(n - 2)´180° =1080° ，
解得 n = 8 ． 故选：C
5. 等腰三角形的一边长等于 4，另一边长等于 9，则它的底边是（ ）
A. 4 B. 9 C. 4 或 9 D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，易错点是题目中没有明确告诉等腰三角形的腰和底而忽视讨论．本题没告诉腰是 4 还是 9，要分情况论．确定腰是 9 还是 4 后，再根据三角形三边关系看是否能构成三角形，最后确定第三边的长．
【详解】分两种情况讨论．
第一种情况，当一腰是4 时，则底边为 9，另一腰长为 4．此时因为 4 + 4 < 9 ，不符合三角形三边不等关系， 此种情况不成立；
第二种情况，当一腰是 9 时，则底边为 4，另一腰为 9．此时9 + 9＞4, 4 + 9＞9, 4 + 9＞4 ，符合三边不等关系．此时等腰三角形的三条边长分别为 9、9、4．所以第二种情况下底边长为 4．
综上所述，底边长为 4．
故选：A．
6. 把点 A(x, -5) 沿着 y 轴翻折与点 B(-2, y) 重合，则 x + y 的值为（ ）
A. 7 B. -7 C. -3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据点关于 y 轴对称的点的坐标特点，即可求出 x、y 的值，再代入进行计算即可．
【详解】∵点 A（x，-5）沿着 y 轴翻折与点 B(-2，y)重合，即点 A 与 B 关于 y 轴对称，
∴x=2，y=-5，
∴x+y=2+(-5)=-3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点关于 y 轴对称的特点，注意：关于 y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
7. 如图，已知 AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质可知ÐDAC = ÐBCA ，再由 AC 为公共边，即要想利用“边角边”证明
△ABC≌△CDA，可添加 AD=CB 即可．
【详解】∵AD∥BC，
∴ ÐDAC = ÐBCA ．
∵AC 为公共边，
∴只需 AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA． 故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．
8. 如图， CM 是V ABC 的中线， BC = 8cm ，若VBCM 的周长比△ACM 的周长大 2cm ，则 AC 的长为（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出 BM
= AM ，根据VBCM 的周长比
△ACM 的周长大 2cm ，得出 BC + BM + CM - ( AC + AM + CM ) = 2cm ，则 BC - AC = 2cm ，即可求解．
【详解】解：∵ CM 是V ABC 的中线，
∴ BM
= AM ，
∵ VBCM 的周长比△ACM 的周长大 2cm ，
∴ BC + BM + CM - ( AC + AM + CM ) = 2cm ， 则 BC - AC = 2cm ，
∵ BC = 8cm ，
∴ AC = 6cm ， 故选：D．
9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A, B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得V ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数 学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
【详解】解：当V ABC 为等腰三角形时有两种情况︰ AB 为腰和 AB 为底．
当 AB 为腰时，符合条件的点 C 有 4 个即黑点； 当 AB 为底时，符合条件的点 C 也有 4 个即红点，
所以满足题意的点 C 的个数为 8． 故选：C．
10. 如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，O 是AB 边上的中点，点D，E 分别在AC，BC 边上，且∠DOE=90°，
DE 交 OC 于 P，下列结论正确的共有（ ）
①图中的全等三角形共有 3 对；②AD=CE；③∠CDO=∠BEO；④OC=DC+CE；⑤△ABC 的面积是四边形
DOEC 面积的 2 倍．
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质 得出∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，求出∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，
∠COA=∠COB=90°，∠AOD=∠COE，∠COD=∠BOE，根据 ASA 推出△COE≌△AOD，△COD≌△BOE， 根据全等三角形的性质得出 S△COE=S△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，再逐个判断即可．
【详解】解：∵在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，O 是 AB 边上的中点，
∴∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，∠COA=∠COB=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE=90°−∠COD，∠COD=∠BOE=90°−∠COE，
在△COE 和△AOD 中
∠ECO=∠A，CO=AO，∠COE=∠DOA，
∴△COE≌△AOD(ASA)，
\ AD = CE,
同理△COD≌△BOE，
∴S△COE=S△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，△ABC 的面积是四边形 DOEC 面积的 2 倍，在△AOC 和△BOC 中
CO=CO，AC=BC，AO=BO
∴△AOC≌△BOC，
∵AD=CE，
∴CD+CE=AC，
∵∠COA=90°，
∴CO<AC，
∴OC=DC+CE 错误；
即①②③⑤正确，④错误； 故选 C．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）．
11. 点 P(2，3)关于 x 轴的对称点的坐标为 ．
【答案】（2，－3）．
【解析】
【详解】试题分析：关于 x 轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点 P（2，3）关于 x 轴对称的点的坐标是（2，－3）．
考点：关于 x 轴对称的点的坐标特征．
12. 如图， ÐACD = 75° ， ÐA = 30° ，则∠B= °
【答案】 45
【解析】
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和这一性质即可求解．
【详解】Q
ÐACD = ÐA + ÐB ， ÐACD = 75° ， ÐA = 30°
\ ∠B =∠ACD -∠A = 75° - 30° = 45° ．
故答案为： 45
【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，熟悉性质是解题的关键．
13. 如图，V ABC 中，ÐC = 90° ，AD 平分ÐBAC ，AB = 5，CD = 2 ，则△ABD 的面积是
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积求解，过点 D 作 DE ^AB 于 E，根据角平分线上的 点到角两边的距离相等得到 DE = CD = 2 ，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点 D 作 DE ^AB 于 E，
∵ AD 平分ÐBAC ， ÐC = 90° ， DE ^AB ，
∴ DE = CD = 2 ，
∵ AB = 5 ，
∴ S△ABD
= 1 AB × DE = 1 ´ 2 ´ 5 = 5 ，
2 2
故答案为：5．
14. 如图，在V ABC 中，点 E 在 AB 的垂直平分线上，且 AC = AE ，AD 平分ÐEAC ．若 AC = 3 ，CD = 1， 则 BC = .
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形“三线合一”得到
DE = DC = 1，根据线段垂直平分线性质得到 BE = AE = 3 ，即可求出 BC = 5 ．
【详解】解：∵ AC = AE , AD 平分ÐEAC ，
∴ DE = DC = 1， AC = AE = 3 ，
∵点 E 在 AB 的垂直平分线上，
∴ BE = AE = 3 ，
∴ BC = BE + DE + CD = 3 +1+1 = 5 ． 故答案为：5
15. 如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东15° 方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向，则
ÐACB 的度数是 ．
【答案】85°
【解析】
【分析】根据方向角的定义，可得ÐBAE = 45° ， ÐCAE = 15° ， ÐDBC = 80° ，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
根据方向角的定义，可得ÐBAE = 45° ， ÐCAE = 15° ， ÐDBC = 80° ．
QÐBAE = 45°， ÐEAC = 15° ，
\ÐBAC = ÐBAE + ÐEAC = 45° +15° = 60° ．
Q AE ， DB 是正南正北方向，
\ BD / / AE ，
QÐDBA = ÐBAE = 45° ， 又QÐDBC = 80°，
\ÐABC = 80° - 45° = 35°，
\ÐACB = 180° - ÐABC - ÐBAC = 180° - 60° - 35° = 85° ．
【点睛】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是正确理解 平行线的性质．
16. 如图，在V ABC 中， AB = AC = 12cm ， BC = 10cm ，点 D 为 AB 的中点，如果点 P 在线段 BC 上
以2cm / s 的速度由 B 点向C 点运动．同时，点Q 在线段CA 上，由点C 向A 点运动，当△BPD 与V CQP 全等时，则点Q 的运动速度为 cm/s ．
【答案】 2.4 或2
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得ÐB = ÐC ， 然后表示出 BD、BP、PC、CQ ，再根据全等三角形对应边相等，分① BD 、PC 是对应边，② BD 与CQ 是对应边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵ AB = AC = 12cm ，
∴ ÐB = ÐC ,
∵ AB = 12cm，BC = 10cm ，点 D 为 AB 的中点，
∴ BD = 1 ´12 = 6cm ，
2
设点 P、Q的运动时间为 t，
PC = (10 - 2t)cm
①当 BD = PC 时，10 - 2t = 6 ， 解得： t = 2 ，
则 BP = CQ = 4 ，
故点 Q 的运动速度为： 4 ¸ 2 = 2cm / s ；
②当 BP = PC 时，
∵ BC = 10cm ，
∴ BP = PC = 5cm ， BD = CQ = 8cm ，
∴ t = 5 ¸ 2 = 2.5 （秒）．
故点 Q 的运动速度为6 ¸ 2.5 = 2.4cm / s ． 故答案为： 2.4 或2 ．
三、解答题（共有 9 小题，共 72 分，要求写出必要的文字说明、证明过程或者计算步骤）．
17. 如图点A ， B ， C ， D 依次在同一条直线上， AB = CD ， AE = DF ， ÐA = ÐD ， BF 与CE 相交于
第 29页，共 23页
点 M ．求证： CE = BF ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用“ SAS ”证明V ACE ≌VDBF ，根据全等三角形的性质证明结论即可．
【详解】证明：∵ AB = CD ，
∴ AB + BC = CD + BC ，
∴ AC = BD ，
在△ACE 和VDBF 中，
ì AE = DF
í
ïÐA = ÐD ，
î
ï AC = DB
∴△ACE≌△DBF (SAS) ，
∴ CE = BF ．
18. 如图所示，在V ABC 中， D 是 BC 边上一点， BD = DA = AC ， ÐBAC = 75° ，求ÐDAC 的度数．
【答案】 40°
【解析】
【分析】先根据等边对等角得到∠B = ∠BAD，∠ADC = ∠C ， 再根据三角形外角的性质得到
ÐADC = 2ÐBAD
， 再 由
ÐBAC = 75° 得 到
∠BAD = 75° -∠DAC
， 再 根 据
ÐADC + ÐC + ÐDAC = 180° 列出算式求解即可．
【详解】解：∵ BD = DA = AC ，
∴∠B = ∠BAD，∠ADC = ∠C ，
∴∠ADC = ∠B +∠BAD = 2∠BAD ，
∵ ÐBAC = 75° ，
∴∠BAD = ∠BAC -∠DAC = 75° -∠DAC ，
∵ ÐADC + ÐC + ÐDAC = 180° ，
∴ 2 (75° -∠DAC ) + 2 (75° -∠DAC ) +∠DAC = 180° ，
∴ ÐDAC = 40° ．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，推出ÐADC = 2ÐBAD 是解题的关键．
19. 如图，已知V ABC
（1） 画出V ABC 关于直线 x = 2 对称的图形△A1B1C1 ；并直接写出△A1B1C1 的面积 ；
（2） 若点 P (a, b) 在V ABC 内部，点 P 和点 P1 关于直线 x = 2 对称，则 P1 的坐标是 ；
【答案】（1）作图见解析， 5 ．
（2） (4 - a,b)
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于 x 轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键．
（1） 找到点 A, B,C 关于 x = 2 的对称点，再进行连线即可得到△A1B1C1 ；利用割补法求出△A1B1C1 的面
积的面积即可．
（2） 根据图形，根据轴对称的特征即可求出 P1 的坐标；
【小问 1 详解】
解：如图所示： △A1B1C1 即为所求；
由图可知： S
= 2� 6
1 创1 6 - 1 创2 2 - 1 创4 1 = 5 ；
V A1B1C1
故答案为： 5 ．
【小问 2 详解】
2 2 2
解：∵点 P (a, b) 在V ABC 内部，点 P 和点 P1 关于直线 x = 2 对称，
∴ P1 的坐标是(4 - a,b)
20. 已知：如图，AD 是等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的中线，DE∥AB，交 AC 于点 E．求证：△AED 是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE=∠BAD，等量代换得 到∠ADE=∠CAD 于是得到结论．
【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，AB=AC，AD 是底边 BC 上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，
∴△AED 是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定 理是解题的关键．
21. 如图， DE ^AB 于 E ， DF ^AC 于 F ， BD = CD, BE = CF ．
（1） 求证： AD 平分ÐBAC ；
（2） 直接写出 AB + AC 与 AE 之间的等量关系．
【答案】（1）见解析 （2） AB + AC = 2AE
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，
（1） 根据“ HL ”定理得出VBDE≌VCDF ，故可得出 DE = DF ，所以 AD 平分ÐBAC ；
（2） 根据 HL 证明V AED≌V AFD ，所以 AE = AF ，故 AB + AC = AE - BE + AF + CF = AE + AE = 2AE ．
【小问 1 详解】
解：∵ DE ⊥ AB 于 E ， DF ^AC 于 F ，
\ÐE = ÐDFC = 90° ，
∴V BDE 与V CDF 均为直角三角形，
íBE = CF
Q ìBD = CD ，
î
∴ VBDE≌VCDF (HL) ，
\DE = DF ， BE = CF ，
\ AD 平分ÐBAC ；
【小问 2 详解】
解： AB + AC = 2AE ．
理由： Q Ð E = Ð AFD = 90°，
在Rt△AED 与Rt△ AFD 中，
ìDE = DF
î
í AD = AD ，
∴ V AED≌V AFD (HL) ，
\ AE = AF ，
\ AB + AC = AE - BE + AF + CF = AE + AE = 2 AE ．
22. 如图：已知等边V ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是 BC 延长线上的一点，且CE = CD ， DM ^ BC ， 垂足为 M ．
（1） 求ÐE 的度数；
（2） 求证：M 是 BE 的中点．
【答案】（1） ÐE = 30°
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关 性质是解答的关键；
（1） 由等边△ ABC 的性质可得ÐACB = ÐABC = 60° ，然后根据等边对等角可得ÐE = ÐCDE ，最后根
据外角的性质可求ÐE 的度数；
（2） 连接 BD ，由等边三角形的三线合一的性质可得： ÐDBC = 1 ÐABC = 30° ，结合（1）的结论可得
2
ÐDBC = ÐE ，然后根据等角对等边，可得 DB = DE ，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得： M 是 BE 的中点．
【小问 1 详解】
解：Q三角形 ABC 是等边V ABC ，
\ÐACB = ÐABC = 60°，
又QCE = CD ，
\ÐE = ÐCDE ，
又QÐACB = ÐE + ÐCDE ，
\ÐE = 1 ÐACB = 30° ；
2
【小问 2 详解】证明：连接 BD ，
Q等边V ABC 中， D 是 AC 的中点，
\ÐDBC = 1 ÐABC = 1 ´ 60° = 30° ，
2 2
由（1）知ÐE = 30° ，
\ÐDBC = ÐE = 30°，
\ DB = DE ，
又Q DM ^ BC ，
\ M 是 BE 的中点．
2
23. 已知V ABC 中，∠B＝ 1 ∠C＝α．
（1） 尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC 的平分线 AD；
②在 AD 上作点 P，使V ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形，并求出∠APC 的度数（用含α的式子表示）；
（2） 在（1）所作的 AD 上是否存在着另外的点 P，使V ACP 也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC 的大小；若没有，请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②作图见解析， ÐAPC = 180° - 3a
（2） 90° - 3a或 3a
4 2
【解析】
【分析】（1）①尺规作图作∠EAC 的角平分线即可；②作线段 AC 的垂直平分线，交 AD 于点 P ，连接 PC ， 则△APC 即为所求；
（2）分 AP = AC, CA = CP 分别求解即可
【小问 1 详解】
①如图，射线 AD 即为所求
②作线段 AC 的垂直平分线，交 AD 于点 P ，连接 PC ，则△APC 即为所求；
QÐB = 1 ÐC =a
2
\ÐC = 2a
\ÐEAC = ÐB + ÐACB = 3a
又Q PA = PC, AD 平分ÐEAC
\ÐPAC = ÐPCA = 3a
2
\ÐAPC = 180° - 3a
【小问 2 详解】
存在，当 AP = AC 时， ÐAPC = ÐACP = 1 æ180° - 3aö = 90° - 3a
2 ç 2 ÷ 4
è ø
当CP = CA 时， ÐAPC = ÐCAP = 3a
2
综上所述，ÐAPC 的值为90° - 3a或 3a
4 2
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性 质，正确的作图是解题的关键．
24. 已知直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为O ，点A 在射线OQ 上运动，点 B 在射线OM 上运动，点A ，B 均不与点O 重合．如图 1， AI 平分ÐBAO 交OB 于点 I ， BC 平分ÐABM ， BC 的反向延长线交 AI 的延长线于点 D ．
（1） 若ÐBAO = 60° ，求ÐADB 的度数．
（2） 在点A ， B 的运动过程中，ÐADB 的大小是否会发生变化？若不变，求出ÐADB 的度数．若变化， 请说明理由．
（3） 如图 2，已知点 E 在 BA 的延长线上，ÐBAO 的平分线 AI ，ÐOAE 的平分线 AF 与ÐBOP 的平分线所在的直线分别相交于点 D 、F ．在△ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的 3 倍，请直接写出ÐABO
的度数．
【答案】（1） 45°；
（2）ÐADB 的度数不变， ÐADB = 45° ；
（3） ÐOBA 等于60° 或 45°．
【解析】
【分析】（1）由垂直的定义得ÐAOB = 90° ，结合ÐBAO = 60° ，可得ÐABM = ÐAOB + ÐBAO = 150° ，
根据角平分线的定义可得ÐCBA = 1 ÐABM = 75° ，ÐBAD = 1 ÐBAO = 30° ，最后根据三角形的外角性
2 2
质即可求解；
（2） 设ÐBAO =a，则ÐABM = 90° +a，根据角平分线的定义可得ÐCBA = 1 ÐABM = 45° + 1a，
2 2
ÐBAD = 1 ÐBAO = 1 a，最后根据三角形的外角性质即可求解； 2 2
（3） 根据角平分线的定义可得ÐDAP = 1 ÐBAO ， ÐOAF = 1 ÐOAE ， ÐDOP = 1 ÐBOP ，进而得到
2 2 2
ÐDAF = ÐDAP + ÐOAF = 90°，推出ÐD + ÐF = 90°，根据三角形外角性质可推出ÐOBA = 2ÐD ， 然后分 4 种情况讨论：①当ÐDAF = 3ÐD 时，②当ÐF = 3ÐD 时， ③ 当ÐDAF = 3ÐF 时， ④ 当
ÐD = 3ÐF 时．
【小问 1 详解】
解：Q直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为O ，
\ ÐAOB = 90° ，
Q ÐBAO = 60° ，
\ ÐABM = ÐAOB + ÐBAO = 90° + 60° = 150°，
Q AI 平分ÐBAO 交OB 于点 I ， BC 平分ÐABM ，
\ ÐCBA = 1 ÐABM = 75° ， ÐBAD = 1 ÐBAO = 30° ，
2 2
\∠ADB = ÐCBA - ÐBAD = 75° - 30° = 45°；
【小问 2 详解】
解：ÐADB 的度数， ÐADB = 45° ．
Q直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为O ，
\ ÐBOA = 90° ，
Q ÐABM 是V ABO 的外角，设ÐBAO =a，
\ ÐABM = ÐBAO + ÐBOA = 90° +a，
Q AI 平分ÐBAO 交OB 于点 I ， BC 平分ÐABM ，
\ ÐCBA = 1 ÐABM = 1 ´(90° +a) = 45° + 1a， 2 2 2
ÐBAD = 1 ÐBAO = 1 a，
2 2
\ ÐADB = ÐCBA - ÐBAD = æ 45° + 1aö - 1a= 45°，
ç 2 ÷ 2
è ø
\ ÐADB 的值不变，且ÐADB = 45° ；
【小问 3 详解】
解：Q AI 平分ÐBAO ， AF 平分ÐOAE ， OD 平分ÐBOP ，
\ ÐDAP
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
