资源描述
八年级（上）期中数学练习卷（问卷）
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1. 下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
第 5页，共 6页
A. a2 + a3 = a5
B. a2 × a2 = 2a2
C. (-a2 )3 = -a5
D. 6a5 ¸ 3a3 = 2a2
3. 如图， AE PDF ， AE = DF ，则添加下列条件还不能使VEAC≌VFDB 的为（ ）
A. AB = CD B. ÐE = ÐF
C. ÐACE = ÐDBF
D. EC = BF
4. 设三角形 ABC 与某长方形相交于如图所示的A 、 E 、 D 、 F 点，如果ÐC = 90° ， ÐB = 30° ，
ÐBAF = 15°，那么ÐCDE = （ ）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
5. 已知点 P (a + b,3) 、Q (2, -b) 关于 y 轴对称，则ab 的值是（ ）
A. -3
B. -2
C. 1 D. 3
6. 如图，已知VABC 中，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中点．若VABC 的面积等于8 ，则 SVBDE =（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 已知 a + 1 = 5 ，则a2 + 1 的值是（ ）
a a2
A. 27 B. 25 C. 23 D. 21
8. 在联欢晚会上，有A 、 B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在V ABC 的
（ ）
A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点
9. 已知VABC ( AC < BC ) ，用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P，使 PA + PC = BC ，则符合要求的作图痕迹（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图， AB = BE ， ÐDBC = 1 ÐABE ， BD ^ AC ，下列结论正确的有（ ）
2
① BC 平分ÐDCE ；
③ AC = 2BE + CE ；
② ÐABE + ÐECD = 180° ；
④ AC = 2CD - CE ．
A 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11. 因式分解： 4x2 y2 - y2 = ．
12. 如图，在V ABC 中， AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD ，若 AB = AC = 8 ，
△BCD 的周长为 13，则 BC = ．
13. 如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 ．
14. 如图，在V ABC 中， AC = BC ，ÐB = 38° ，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B¢ ， 当 B¢D // AC 时，则ÐBCD 的度数为 ．
15. 若2x + 3y - 3 = 0 ，则 4x ´8y = ．
16. 如图，在VABC 中，AB = AC = 5，BC = 6 ，AD 是ÐBAC 的平分线，AD = 4 ．若 P，Q 分别是 AD
和 AC 上的动点，则 PC + PQ 的最小值是 ．
三、解答题（本大题满分 72 分，共 9 小题）
17. 计算：
（1） (2x3 y )2 × (-2xy ) + (-2x3 y )3 ¸ (2x2 )
（2）(6m2n - 6m2n2 - 3m2 ) ¸(-3m2 )
18. 如图，B 是 AD 的中点， BC∥DE ， BC = DE .求证： ÐC = ÐE ．
19. （1）解方程： x ( x - 3) + 22 = ( x + 9)( x + 1) ；
2
（2）先化简，再求值： (2x + y )2 - ( x - 2 y )( x + 2 y ) - 3x ( x - y ) ，其中 x = - 1 ， y = 2 ．
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，V ABC 的顶点A，C 的坐标分别为 A(-4, 5) ，C (-1, 3) ．
（1） 请在网格平面内作出平面直角坐标系，并作出V ABC 关于 y 轴对称的V A¢B¢C¢ （A，B，C 的对应点分别为 A¢ ， B¢ ， C¢ ）；
（2） 分别写出点 A¢ ，B¢ ，C¢ 的坐标．
21. （1）如图，已知V ABC ，P 为边 AB 上一点，请用尺规作图的方法在 AC 边上求作一点 E，使点 E 到
P、C 两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果 AC = 5cm ， AP = 3cm ，则V APE 的周长是 cm．
22. 如图，在V ABC 中， AD 平分ÐBAC 交 BC 于点 D， DE ^AB ， DF ^AC ，垂足为 E、F．
（1） 若 S△ABD = 10 ， AB = 5 ，求 DF 的长度；
（2） 连接 EF ，求证： AD ^ EF ．
23. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为 A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n
﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．
（1）OA＝ ，OB＝ ．
（2） 连接 PB，若△POB 的面积为 3，求 t 的值；
（3） 过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样点 P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
24. 如图，在三角形 ABC 中， ÐABC = 90°， AB = BC ，点A ， B 分别在坐标轴上．
（1） 如图①，若点 C 的横坐标为-3 ，点 B 的坐标为 ；
（2） 如图②，若 x 轴恰好平分ÐBAC ，BC 交 x 轴于点 M，过点 C 作CD 垂直 x 轴于 D 点，试猜想线段CD 与 AM 的数量关系，并说明理由；
（3） 如图③，OB = BF ，ÐOBF = 90° ，连接CF 交 y 轴于 P 点，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，VBPC
与V AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
25. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1） 如图①中，若△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC 和
∠BAE 之间的数量关系，并证明．
（2） 如图②，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点 D、点 E 均在△ABC 外， 连接 BD、CE 交于点 M，连接 AM，求证：AM 平分∠BME．
（3） 如图③，若 AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B 和∠C 的数量关系，并说明理由．
八年级（上）期中数学练习卷（问卷）
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1. 下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合逐一进 行判断即可得出答案．
【详解】A 不是轴对称图形，故该选项错误；
B 是轴对称图形，故该选项正确； C 不是轴对称图形，故该选项错误； D 不是轴对称图形，故该选项错误； 故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，会判断轴对称图形是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
第 15页，共 24页
A. a2 + a3 = a5
B. a2 × a2 = 2a2
C. (-a2 )3 = -a5
D. 6a5 ¸ 3a3 = 2a2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂 乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可．
【详解】A． a2 ， a3 不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B. a2 × a2 = a4 ，故该选项错误；
C. (-a2 )3 = -a6 ，故该选项错误；
D. 6a5 ¸ 3a3 = 2a2 ，故该选项正确； 故选：D．
3. 如图， AE PDF ， AE = DF ，则添加下列条件还不能使VEAC≌VFDB 的为（ ）
A. AB = CD B. ÐE = ÐF
C. ÐACE = ÐDBF
D. EC = BF
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据所添加的条件判段能否得出V EAC ≌V FDB 即可，判定两个三角形全等的一般方法有： SAS、ASA、AAS、SSS、HL ．解题时注意：判定两个三角形全等时， 必须有边相等的条件，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【详解】解∶∵ AE ∥ DF ，
∴ ÐA = ÐD ，
A. 当 AB = CD 时， AB + BC = CD + BC ，
∴ AC = DB ，根据SAS 可以判定V EAC ≌V FDB ，故 A 不符合题意；
B. 当ÐE = ÐF 时，根据ASA 可以判定V EAC ≌V FDB ；故 B 不符合题意；
C. 当ÐACE = ÐDBF 时，根据AAS 可以判定V EAC ≌V FDB ；
D. 当 EC = BF 时，不能判定V EAC ≌V FDB ；
故选：D．
4. 设三角形 ABC 与某长方形相交于如图所示的A 、 E 、 D 、 F 点，如果ÐC = 90° ， ÐB = 30° ，
ÐBAF = 15°，那么ÐCDE = （ ）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质， 平行线的性质等知识点， 根据三角形外角性质求出
ÐCFA = ÐB + ÐBAF = 45° ， 根 据 长 方 形 的 性 质 得 出 DE∥AF
ÐCDE = ÐCFA ，再得出答案即可．
【详解】解：Q ÐB = 30° ， ÐBAF = 15°，
\ ÐCFA = ÐB + ÐBAF = 30° +15° = 45° ，
Q DE ∥ AF ，
\ ÐCDE = ÐCFA = 45° ． 故选：C．
5. 已知点 P (a + b,3) 、Q (2, -b) 关于 y 轴对称，则ab 的值是（ ）
， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出
A. -3
B. -2
C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于 y 轴对称的点的坐标，根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数” 求 a、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：Q点 P (a + b,3) 、Q (2, -b) 关于 y 轴对称，
\ a + b = -2 ， -b = 3 ，
\ a = 1 ， b = -3 ，
\ ab = 1´(-3) = -3 ． 故选：A．
6. 如图，已知VABC 中，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中点．若VABC 的面积等于8 ，则 SVBDE =（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中线平分面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据三角形中线平分面积即可得到结论．
【详解】解：∵点 D 是边 BC 的中点， VABC 的面积等于8 ，
∴ SV ABD
= 1 S
2
V ABC
= 4 ，
∵ E 是 AB 的中点，
∴ SV BDE
= 1 S
2
V ABD
= 2 ，
故选：A．
7. 已知 a + 1 = 5 ，则a2 + 1 的值是（ ）
a a2
A. 27 B. 25 C. 23 D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式，把已知等式左右两边平方，利用完全平方公式 化简，计算即可．
【详解】解：Q a + 1 = 5 ，
a
2
2
\ 2 1 æ 1 ö 1
a + a2 = ç a + a ÷
- 2a × = 5
è ø
a
- 2 = 23 ，
故选：C．
8. 在联欢晚会上，有A 、 B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在V ABC 的
（ ）
A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解．
【详解】解： A 、 B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行，
∴凳子应放的最适当的位置是在V ABC 的三边垂直平分线的交点． 故选：D．
【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．
9. 已知VABC ( AC < BC ) ，用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P，使 PA + PC = BC ，则符合要求的作图痕迹（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是 解题的关键．根据 PA + PC = BC ，结合图形分析可得 PB + PC = BC ，只需作线段 AB 的垂直平分线， 分析选项即可得出结论．
【详解】解：根据题意， PA + PC = BC ， 由图可知， PB + PC = BC ，
∴ PA = PB ，
故符合要求的作图是作线段 AB 的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有 B 选项符合题意．
故选：B．
10. 如图， AB = BE ， ÐDBC = 1 ÐABE ， BD ^ AC ，下列结论正确的有（ ）
2
① BC 平分ÐDCE ；
③ AC = 2BE + CE ；
② ÐABE + ÐECD = 180° ；
④ AC = 2CD - CE ．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知ÐDBC = 1 ÐABE ， BD ^ AC ，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD ，在CD 的
2
延长线于取点 F ，使得 BF = BC ，就得到ÐFBC = 2ÐDBC ，然后再证明△FAB≌△CBE ，就可以判断出 BC 平分ÐDCE ，再由角平分线的性质想到过点 B 作 BG ^ CE ，交CE 的延长线于点G ，从而证明
△ABD≌△EBG ，即可判断．
【详解】解：延长CD ，在CD 的延长线于取点 F ，使得 BF = BC ，过点 B 作 BG ^ CE ，交CE 的延长线于点G ，
∵ BF = BC ， BD ^ AC ，
∴ DF = DC ， ÐDBC = ÐDBF = 1 ÐFBC ，
2
∵ ÐDBC = 1 ÐABE ，
2
∴ ÐFBC = ÐABE ，
∴ ÐFBA = ÐCBE ，
∵ AB = AE ，
∴ VFAB≌VCEB (SAS) ，
∴ ÐF = ÐBCE ，
∵ BF = BC ，
∴ ÐF = ÐBCD ，
∴ ÐBCD = ÐBCE ，
∴ BC 平分ÐDCE ，故①正确；
∵ ÐFBC + ÐF + ÐBCD = 180° ，
∴ ÐABE + ÐBCE + ÐBCD = 180° ，
∴ ÐABE + ÐDCE = 180°，故②正确；
∵ ÐBDC = ÐBGC = 90° ， BC = BC ，
∴△BDC≌△BGC (AAS) ，
∴ BG = BD ， CD = CG ，
∵ AB = BE ，
∴△ABD≌△EBG (HL) ，
∴ AD = GE ，
∵ AC = AD + DC ，
∴ AC = AD + CG = AD + GE + CE = 2GE + CE ，
∵ GE ¹ BE ，
∴ AC ¹ 2BE + CE ，故③错误；
∵ AC = CF - AF ，
∴ AC = 2CD - CE ，故④正确； 故正确的由①②④，共 3 个．
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，综合 运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键．
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11. 因式分解： 4x2 y2 - y2 = ．
【答案】 y2 (2x +1)(2x -1)
【解析】
【分析】本题主要考查分解因式，先提公因式 y2 ，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解： 4x2 y2 - y2 = y2 (4x2 -1) = y2 (2x +1)(2x -1) ， 故答案为： y2 (2x +1)(2x -1) ．
12. 如图，在V ABC 中， AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD ，若 AB = AC = 8 ，
△BCD 的周长为 13，则 BC = ．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质．根据垂直平分线性质得到
AD = BD ，根据三角形周长公式求解 BC 长度．
【详解】∵ AB 的垂直平分线交 AB
∴ AD = BD
∴ BC = C△BCD -(BD + DC ) = C△BCD -( AD + DC ) = C△BCD - AC = 13 - 8 = 5 ． 故答案为：5．
13. 如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 ．
【答案】(6a＋15)(cm2)
【解析】
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算.
【详解】矩形的面积为：
(a + 4)2 - (a +1)2
= (a2 + 8a +16) - (a2 + 2a +1)
= a2 + 8a + 16 - a2 - 2a -1
= 6a +15 .
故答案为(6a2 +15) cm2 .
【点睛】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式.
14. 如图，在V ABC 中， AC = BC ，ÐB = 38° ，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B¢ ， 当 B¢D // AC 时，则ÐBCD 的度数为 ．
【答案】33°
【解析】
【分析】如图，连接CB¢ ，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得ÐB¢ = ÐB = 38° ，
ÐDCB = ÐDCB¢ ，并由平行线的性质可推出ÐACB¢ = ÐB¢ = 38° ，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接CB¢
∵点 B 关于直线 CD的对称点为 B¢ ，
∴ CB = CB¢ ， DB = DB¢ ．
∵ CD = CD ，
∴△DCB @ △DCB¢ ．
∴ ÐB¢ = ÐB = 38° ， ÐDCB = ÐDCB¢ ．
∵ B¢D // AC ，
∴ ÐACB¢ = ÐB¢ = 38° ．
∵ AC = BC ，
∴ ÐA = ÐB = 38° ．
∴ ÐACB = 180° - 2ÐB = 104° ．
∵ ÐACB = ÐACB¢ + ÐDCB + ÐDCB¢ = ÐACB¢ + 2ÐDCB = 104° ．
∴ 2ÐDCB = 104° - ÐACB¢ = 66° ．
∴ ÐDCB = 33° ． 故答案为： 33° ．
【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15. 若2x + 3y - 3 = 0 ，则 4x ´8y = ．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、幂的乘方与同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．先得出 2x + 3y = 3 ，再根据幂的乘方可得 4x ´8y = (22 )x ´ (23 )y = 22x +3y ，然后利用同底数幂的乘法法则计算即可得．
【详解】解：∵ 2x + 3y - 3 = 0 ，
∴ 2x + 3y = 3 ，
4x ´8y = (22 )x ´ (23 )y
= 22 x ´ 23 y
= 22 x+3 y
= 23
= 8 ．
故答案为：8．
16. 如图，在VABC 中，AB = AC = 5，BC = 6 ，AD 是ÐBAC 的平分线，AD = 4 ．若 P，Q 分别是 AD
和 AC 上的动点，则 PC + PQ 的最小值是 ．
第 30页，共 24页
24
【答案】
5
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出 BP = CP ，过点 B 作 BQ ^ AC 于点 Q， BQ 交 AD 于点 P， 则此时 PC + PQ 取最小值，最小值为 BQ 的长，然后利用三角形等面积法求解即可．
【详解】解：∵ AB = AC ， AD 是ÐBAC 的平分线，
∴ AD 垂直平分 BC ，
∴ BP = CP ．
过点 B 作 BQ ^ AC 于点 Q， BQ 交 AD 于点 P，则此时 PC + PQ 取最小值，最小值为 BQ 的长，如图所示．
∵ SV ABC
= 1 BC·AD = 1 AC·BQ ，
2 2
∴ BQ = BC ´ AD ＝ 24 ，
AC 5
即 PC + PQ 的最小值是 24 ．
5
24
故答案为： ．
5
【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形等面积法，最短距离问题，理解题意，熟练掌握等腰三 角形的性质是解题关键．
三、解答题（本大题满分 72 分，共 9 小题）
17. 计算：
（1） (2x3 y )2 × (-2xy ) + (-2x3 y )3 ¸ (2x2 )
（2）(6m2n - 6m2n2 - 3m2 ) ¸(-3m2 )
【答案】（1） -12x7 y3
（2） -2n + 2n2 +1
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算．
（1） 先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可；
（2） 根据多项式除以单项式法则计算即可．
【小问 1 详解】
解： (2x3 y )2 × (-2xy ) + (-2x3 y )3 ¸ (2x2 )
= 4x6 y2 ×(-2xy)+ (-8x9 y3 )¸ (2x 2 )
= -8x7 y3 - 4x7 y3
= -12x7 y3 ；
【小问 2 详解】
解：(6m2n - 6m2n2 - 3m2 ) ¸(-3m2 )
= 6m2n ¸ (-3m2 )- 6m2n2 ¸ (-3m2 )- 3m2 ¸ (-3m2 )
= -2n + 2n2 +1 ．
18. 如图，B 是 AD 的中点， BC∥DE ， BC = DE .求证： ÐC = ÐE ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件证得 AB = BD ，ÐABC = ÐD ，然后证明V ABC ≌VBDE (SAS) ，应用全等三角形的性质得到ÐC = ÐE ．
【详解】证明：∵B是 AD 的中点，
∴ AB = BD ，
∵ BC∥DE ，
∴ ÐABC = ÐD ，
在V ABC 和V BDE 中，
ì AB = BD
í
ïÐABC = ÐD
î
ïBC = DE
∴ V ABC ≌VBDE (SAS) ，
∴ ÐC = ÐE ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
19. （1）解方程： x ( x - 3) + 22 = ( x + 9)( x + 1) ；
2
（2）先化简，再求值： (2x + y )2 - ( x - 2 y )( x + 2 y ) - 3x ( x - y ) ，其中 x = - 1 ， y = 2 ．
【答案】（1） x = 1 ；（2） 7xy + 5 y2 ，13
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，
（1） 首先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的运算法则化解，然后解一元一次方程即可；
（2） 首先根据整式乘法的混合运算法则化简，然后代入求解即可． 熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
【详解】（1） x ( x - 3) + 22 = ( x + 9)( x + 1)
x2 - 3x + 22 = x2 +10x + 9
-3x -10x = 9 - 22
-13x = -13
x = 1 ；
（2） (2x + y )2 - ( x - 2 y )( x + 2 y ) - 3x ( x - y )
= 4x2 + 4xy + y2 - x2 + 4 y2 - 3x2 + 3xy
= 7xy + 5 y2 ．
∵ x = - 1 ， y = 2
2
∴原式= 7xy + 5 y2 = 7 ´æ - 1 ö´ 2 + 5´ 22 = -7 + 20 = 13 ．
ç 2 ÷
è ø
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，V ABC 的顶点A，C 的坐标分别为 A(-4, 5) ，C (-1, 3) ．
（1） 请在网格平面内作出平面直角坐标系，并作出V ABC 关于 y 轴对称的V A¢B¢C¢ （A，B，C 的对应点分别为 A¢ ， B¢ ， C¢ ）；
（2） 分别写出点 A¢ ，B¢ ，C¢ 的坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2） (4,5) ， (2,1) ， (1, 3)
【解析】
【分析】（1）把C (-1, 3) 向右边平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度可得原点，再建立平面直角坐标系即可，再分别确定 A，B，C，关于 y 轴的对应点 A¢ ， B¢ ， C¢ ，再顺次连接即可；
（2）根据点 A¢ ，B¢ ，C¢ 的位置可得其坐标．
【小问 1 详解】
解：如图，把C (-1, 3) 向右边平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度可得原点，再建立如图平面直角坐标系， V A¢B¢C¢ 为所求作图形．
【小问 2 详解】
根据图象知，点 A¢ ，B¢ ，C¢ 的坐标分别为(4,5) ， (2,1) ， (1, 3) ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移与坐标变换，画轴对称图形，掌握轴对称的性质进行画图是解本 题的关键．
21. （1）如图，已知V ABC ，P 为边 AB 上一点，请用尺规作图的方法在 AC 边上求作一点 E，使点 E 到
P、C 两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果 AC = 5cm ， AP = 3cm ，则V APE 的周长是 cm．
【答案】（1）作图见解析；（2）8．
【解析】
【分析】（1）连接 PC ，作线段的垂直平分线交 AC 于点 E ，点 E 即为所求；
（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，点 E 即为所求；
（2）由作图可知 EP = EC ，
\V APE 的周长= AP + AE + EP = AP + AE + EC = AP + AC = 5 + 3 = 8(cm) ， 故答案为：8．
【点睛】本题考查作图- 复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22. 如图，在V ABC 中， AD 平分ÐBAC 交 BC 于点 D， DE ^AB ， DF ^AC ，垂足为 E、F．
（1） 若 S△ABD = 10 ， AB = 5 ，求 DF 的长度；
（2） 连接 EF ，求证： AD ^ EF ．
【答案】（1）4 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，等边对等角性质，三角形面积公式等知识，
（1） 首先根据三角形面积公式求出 DE = 4 ，然后利用角平分线的性质定理求解即可；
（2） 连接 EF ，根据等边对等角得到ÐDEF = ÐDFE ，然后结合∠EAD = ∠FAD 得到
ÐAOE = ÐAOF = 90° ，即可证明．
解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理：角的内部到角两边相等的点在角的平分线上．
【小问 1 详解】
∵ S△ABD = 10 ， DE ^AB ， AB = 5
∴ 1 AB × DE = 10 ，即 1 ´ 5 × DE = 10
2 2
解得 DE = 4
∵ AD 平分ÐBAC 交 BC 于点 D， DE ^AB ， DF ^AC ，
∴ DF = DE = 4 ，
【小问 2 详解】
如图所示，连接 EF ，
∵ DF = DE
∴ ÐDEF = ÐDFE
∵ ÐAED = ÐAFD = 90°
∴ ÐAEF = ÐAFE
∵∠EAD = ∠FAD
∴ ÐAOE = ÐAOF = 90°
∴ AD ^ EF ．
23. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为 A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n
﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．
（1）OA＝ ，OB＝ ．
（2） 连接 PB，若△POB 的面积为 3，求 t 的值；
（3） 过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样点 P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6，3；（2）t＝4 或 8；（3）当 t＝3 或 9 时，△POQ 与△AOB 全等
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出 m、n；
（2） 分点 P 在线段 AO 上、点 P 在线段 AO 的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
（3） 分点 P 在线段 AO 上、点 P 在线段 AO 的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，|m﹣n﹣3|≥0，（2n﹣6）2≥0，
∴|m﹣n﹣3|＝0，（2n﹣6）2＝0，
∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0， 解得，m＝6，n＝3，
∴OA＝6，OB＝3， 故答案为：6；3；
2
（2） 当点 P 在线段 AO 上时，OP＝6﹣t， 则 1 ×（6﹣t）×3＝3，
解得，t＝4，
2
当点 P 在线段 AO的延长线上时，OP＝t﹣6， 则 1 ×（t﹣6）×3＝3，
解得，t＝8，
∴当 t＝4 或 8 时，△POB 的面积等于 3；
（3） 如图 1，当点 P 在线段 AO 上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即 6﹣t＝3， 解得，t＝3，
如图 2，当点 P 在线段 AO 的延长线上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即 t﹣6＝3， 解得，t＝9，
∴当 t＝3 或 9 时，△POQ 与△AOB 全等．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的非负性，准确计算是解题的关键．
24. 如图，在三角形 ABC 中， ÐABC = 90°， AB = BC ，点A ， B 分别在坐标轴上．
（1） 如图①，若点 C 的横坐标为-3 ，点 B 的坐标为 ；
（2） 如图②，若 x 轴恰好平分ÐBAC ，BC 交 x 轴于点 M，过点 C 作CD 垂直 x 轴于 D 点，试猜想线段CD 与 AM 的数量关系，并说明理由；
（3） 如图③，OB = BF ，ÐOBF = 90° ，连接CF 交 y 轴于 P 点，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，VBPC
与V AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
【答案】（1） (0, 3) ；
（2） AM = 2CD ，理由见解析；
3
（ ）不会变化， 1 ．
2
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构 造全等三角形是本题的关键．
（1） 过点C 作CH ^ y 轴于 H ，由AAS 可证△ABO ≌△BCH ，可得CH = BO = 3 ，可求解；
（2） 延长 AB ， CD 交于点 N ，由ASA 可证△ADN≌△ADC ，可得CD = DN ，由ASA 可证
△ABM ≌△CBN ，可得 AM = CN ，可得结论；
（3） 作 EG ^ y 轴于G ，由AAS 可证△BAO≌△CBG ，可得 BG = AO ， CG = OB ，由AAS 可证
△CGP≌△FBP ，可得 PB = PG ，可得 PB = 1 BG = 1 AO ，由三角形面积公式可求解．
2 2
【小问 1 详解】
解：如图①，过点C 作CH ^ y 轴于 H ，
\ÐBHC = 90° = ÐABC
\ÐBCH + ÐCBH = ÐABH + ÐCBH = 90°
\ÐBCH = ÐA
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
