资源描述
中大附中 2024 学年第一学期期中质量监测八年级数学科试卷
考生注意事项：
1. 试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第 Ⅰ卷用 2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答；
2. 质量监测时间 120 分钟，全卷满分 120 分；
第Ⅰ卷 选择题（30 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．请将正确选项填涂在答题卷上．
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知三角形两边长分别为 3 和 5，则第三边的长可能是（ ）
A 2 B. 6 C. 8 D. 9
3. 如图，已知 AB ^ BD，CD ^ BD ，若用 “ HL ”判定Rt△ABD 和Rt△CDB 全等，则需要添加的条件是（ ）
第 5页，共 6页
A. ÐB = ÐD
B. ÐACB = ÐCAD
C. AB = CD
D. AD = CB
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD 是△ABC 的高，且 BD=2，则 AD 的长为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A. 360° B. 720° C. 1260° D. 1440°
6. 如图，在V ABC 中， DE 是边 AC 的垂直平分线，垂足为 E，交 BC 于点 D，若 AB = 6，BC = 9 ，则
△ABD 的周长是（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
7. 如图，E、B、F、C 四点在一条直线上， ED = AB ， ÐA = ÐD ， AC ∥ DF ，则不能得到的是（ ）
A. EB = FC
B. DF = AC
C. ÐABC = ÐDFE
D. ED ∥ AB
8. 如图，V ABC 中， AD 是角平分线，BE 是△ABD 的中线，若V ABE 的面积是 2.5，AB = 5，AC = 3 ， 则V ABC 的面积是（ ）
A 5 B. 6.8 C. 7.5 D. 8
9. 如图所示的网格是由 9 个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则Ð1- Ð2 - Ð3 的度数为
（ ）．
A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
10. 如图，在V ABC 中，ÐACB = 90° ，AC = BC , AD 平分ÐBAC, CE ^ AD 交 AB 于 E, BE = CF , BF 交CE 于 P ，连接 PD ，下列说法：① AC = AE ；② CD = BE ；③ BP = PF ；④ ÐBDP = 67.5° ． 其中正确结论是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请将正确答案填写在答题卷上．
11. 公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有 性．
12. 已知点 M (-2,1) 关于 x 轴对称的点为 ．
13. 如图，已知△ABC ≌△ADC ，若ÐBAC = 60° ， ÐACD = 20° ，则ÐD = 度．
14. 如图，已知ÐA = 27° ， ÐCBD = 82° ，则ÐC = ．
15. 在等腰V ABC 中， ÐA = 70°，则ÐB 的度数是 ．
16. 如图，在等边三角形 ABC 中， BD 是中线，点 P，Q 分别在 AB，AD 上，且 BP = AQ = QD = 1，动点 E 在 BD 上，则 PE + QE 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知V ABC 的三边长分别为 a，b，c，化简| a + b - c | - | b - a - c |．
18. 如图，已知 AB = AE, BD = CE ，求证： ÐB = ÐE ．
19. 如图，在V ABC 中，BD 平分ÐABC ，DE ∥ BC 交 AB 于 E ，ÐA = 78° ，ÐBDC = 100° ，求ÐBDE
的度数．
20. 如图，BE = CF ，DE ^AB ，交 AB 的延长线于点 E ，DF ^AC 于点 F ，且 DB = DC ，求证：AD
是ÐBAC 的平分线．
21. 图，在△ABC 中， AC > AB ．
（1） 尺规作图：过点 A 作 AD ^BC ，点 D 为垂足，在线段 CD 上取一点 E，使得 DE = BD ，连接 AE；
（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 若在（1）中恰好 AB + BD = CD ．求证：点 E 在线段 AC 的垂直平分线上．
22. 如图， ÐA = ÐB ， AE = BE ， Ð1 = Ð2 ，点 D 在 AC 边上．
（1）求证： △AEC ≌△BED ；
（2）若Ð1 = 40°，求ÐBDE 的度数．
23. 数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可 考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．
（1） 【问题初探】如图1：在VABC 中， AB = 2，AC = 6，AD 为 BC 边上的中线，则𝐴的取值范围为
．
（2） 【类比分析】如图 2 ：在VABC 中，ÐB = 90o，AB = 7，AD 是VABC 的中线， CE ^ BC 于点
C，CE = 11 且ÐADE = 90o ． 求 AE 的长度．
24. 如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，点 E 在 BC 上，AE 的延长线交 BD 于点 F．
（1） 求证：△ACE≌△BCD；
（2） 探究ÐCFD 的度数；
（3） 探究 EF、DF、CF 之间的关系．
25. 如图，在平面直角坐标系中， V ABC 的顶点C, B 分别在 x 轴和 y 轴上，且ÐACB = 90°, AC = BC ．
（1） 如图 1，若点 B 的坐标(0, 6) ，点C 的坐标(-2, 0) ，求点 A 的坐标；
（2） 过点 A 作 AN∥BC ，交 x 轴于点 D，E 是𝐴边上一点，过 E 作 EG ^ CE 交射线 AN 于点G ．
① 如图 2，若点G 与点 D 重合． 求证： CE = ED ；
② 如图 3，过点 E 作线段 EF ^ AB 且 EF = AE ，取 AC 的中点 M , EM 交 FG 于点 H ，设 MH = m, EH = n ，求 FG 的长（用含 m，n 的式子表示）．
中大附中 2024 学年第一学期期中质量监测八年级数学科试卷
考生注意事项：
1. 试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第 Ⅰ卷用 2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答；
2. 质量监测时间 120 分钟，全卷满分 120 分；
第Ⅰ卷 选择题（30 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．请将正确选项填涂在答题卷上．
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着 一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：选项 A、C、D 均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项 B 能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选 B．
2. 已知三角形两边长分别为 3 和 5，则第三边的长可能是（ ）
A. 2 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取 值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
故第三边的长度5 - 3 < x < 5 + 3 ，即 2 < x < 8 ，
∴这个三角形的第三边长可以是 6． 故选：B．
第 15页，共 24页
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式，确定取值 范围即可．
3. 如图，已知 AB ^ BD，CD ^ BD ，若用 “ HL ”判定Rt△ABD 和Rt△CDB 全等，则需要添加的条件
是（ ）
A. ÐB = ÐD
B. ÐACB = ÐCAD
C. AB = CD
D. AD = CB
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直定义 得出ÐBDC = ÐABD = 90°，根据图形可知 BD 是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL 得出需要添加的条件是斜边相等．
【详解】解： Q
AB ^ BD，CD ^ BD ，
\ÐBDC = ÐABD = 90° ，
Q BD = DB, AD = CB ，
\RtV ABD≌RtVCDB (HL ) ，
则需要添加的条件是 AD = CB ， 故选： D ．
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD 是△ABC 的高，且 BD=2，则 AD 的长为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的两锐角互余可证出∠A=∠BCD=30°，根据直角三角形中 30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得 AB 的长，从而求出 AD 的长．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD 是△ABC 的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，
∵∠BCD=30°，
∴∠A=∠BCD=30°，
∵BD=2，
∴BC=2BD=4，
∴AB=2BC=8，
∴AD=AB-BD=8-2=6．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形中 30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得 AB 的长是解题的关键．
5. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A. 360° B. 720° C. 1260° D. 1440°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和，正多边形外角性质，根据多边形外角为360° 求出这个正多边的边数，再结合内角和公式计算，即可作答．
【详解】解：∵正多边形的一个外角是60° ，
∴ 360° ¸ 60° = 6 ，
∴这个正多边的边数为 6，
∴180°´(6 - 2) = 720°， 故选：B．
6. 如图，在V ABC 中， DE 是边 AC 的垂直平分线，垂足为 E，交 BC 于点 D，若 AB = 6，BC = 9 ，则
△ABD 的周长是（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得 AD = CD ，再根据三角形周长计算公式可推出△ABD 的周长= AB + BD + AD = AB + BC ，即可求解．
【详解】解：∵ DE 是边 AC 的垂直平分线，
∴ AD = CD ，
∵ AB = 6，BC = 9 ，
∴△ABD 的周长= AB + BD + AD = AB + BD + CD = AB + BC = 15 ， 故选：C．
7. 如图，E、B、F、C 四点在一条直线上， ED = AB ， ÐA = ÐD ， AC ∥ DF ，则不能得到的是（ ）
A. EB = FC
【答案】C
【解析】
B. DF = AC
C. ÐABC = ÐDFE
D. ED ∥ AB
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵ AC ∥ DF ，
∴ ÐAFE = ÐC ，
在VDEF 和V ABC 中，
ì ÐD = ÐA
í
ïÐDFE = ÐC ，
î
ï DE = AB
∴ VDEF≌V ABC(AAS) ，
∴ EF = BC，DF = AC，ÐE = ÐABC ，
∴ ED ∥ AB ，
故 B 不符合题意，D 不符合题意；
∵ EF - BF = BC - BF ，
∴ EB = FC ，
故 A 不符合题意；
假设ÐABC = ÐDFE 成立，则ÐE = ÐDFE ，与已知条件不符，
∴ ÐABC = ÐDFE 不成立， 故 C 符合题意，
故选：C．
8. 如图，V ABC 中， AD 是角平分线，BE 是△ABD 的中线，若V ABE 的面积是 2.5，AB = 5，AC = 3 ， 则V ABC 的面积是（ ）
A. 5 B. 6.8 C. 7.5 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中线的性质得出 SV ABD = 2SV ABE = 5 ，根据角平分线的性质得出 DF = DG ，进而得
出 S = 3SV ABD
= 3 ´ 5 = 3 ，即可得结论．
V ADC 5 5
【详解】解：如图，
过点 D 作 DF ^ AB，DG ^ AC ，垂足分别为 F、G ，
∵ AD 是角平分线，
∴ DF = DG ，设 DF = DG = h ，
∵ V ABE 的面积是 2.5 ， BE 是△ABD 的中线，
∴ SV ABD = 2SV ABE = 5 ，
∵ SV ABD
1 AB × DF
= 2 =
AB = 5 ，
SV ADC
1 AC × DG AC 3
2
∴ S = 3SV ABD
= 3 ´ 5 = 3 ，
V ADC 5 5
∴ SV ABC = SV ABD + SV ADC = 5 + 3 = 8 ， 故选∶D．
【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上 的点到角的两边的距离相等．
9. 如图所示的网格是由 9 个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则Ð1- Ð2 - Ð3 的度数为
（ ）．
A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格特点，可得出Ð1 = 90o ，Ð2 = Ð4 ， Ð3 + Ð4 = 45o ，进而可求解．
【详解】解：如图，则Ð1 = 90o ，Ð2 = Ð4 ， Ð3 + Ð4 = 45o ，
∴ Ð1- Ð2 - Ð3 = 90o - 45o = 45o ， 故选：B．
【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解 答的关键．
10. 如图，在V ABC 中，ÐACB = 90° ，AC = BC , AD 平分ÐBAC, CE ^ AD 交 AB 于 E, BE = CF , BF 交CE 于 P ，连接 PD ，下列说法：① AC = AE ；② CD = BE ；③ BP = PF ；④ ÐBDP = 67.5° ． 其中正确结论是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关 键；根据角平分线的定义和同角的余角相等即可判断① ，过 B 作 BM ^ BC 交CE 的延长线于 M，则
BM P AC ，先证明VDAC≌VMCB (ASA) ，再根据等腰三角形的性质和判定即可判断② ，证明
VMPB≌VCPF (AAS) 即可判断③ ，连接 DF ，求得ÐDFB = ÐCBF = 22.5° ，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得ÐBPD = 90° ，即可判断④ ．
【详解】解：Q AD 平分ÐBAC ，
\ÐEAD = ÐCAD ，
QCE ^ AD ，
\ÐAEC + ÐEAD = ÐECA + ÐCAD = 90° ，
\ÐAEC = ÐACE ，
\ AE = AC ， 故① 结论正确；
过 B 作 BM ^ BC 交CE 的延长线于 M，则 BM P AC ，
QÐACB = 90° ， AC = BC ，
\ÐABC = ÐBAC = 45° ，
Q BM ∥ AC ，
\ÐMBE = ÐBAC = 45° ，
QÐECD + ÐCDA = 90° = ÐDAC + ÐCDA ，
\ÐDCP = ÐDAC = 45° = 22.5° ，
2
\VDAC≌VMCB(ASA) ，
\ BM = CD ，
QÐM = 90° - ÐMCB = 67.5°,ÐMBE = 45° ，
\ÐBEM = 67.5° = ÐM ，
\ BM = BE ，
\ BE = CD ， 故② 结论正确；
Q BM ∥ AC ，
\ÐMBP = ÐCFP ，
Q BE = CF , BM = BE ，
\ BM = CF ，
QÐMPB = ÐFPC ，
\VMPB≌VCPF (AAS) ，
\ BP = PF ，
故③ 结论正确； 连接 DF ，
Q AD 平分ÐBAC ，
\ÐCAD = 1 ÐBAC = 22.5° ，
2
Q BE = CF ， BE = CD ，
\CF = CD ，
QÐACB = 90° ，
\ÐCFD = ÐFDC = 45° ，
Q BC = AC,ÐBCF = ACB,CF = CD ，
\ÐCBF = ÐCAD = 22.5° ，
\ÐDFB = ÐCBF = 22.5° ，
\ BD = DF ，
Q BP = PF ，
\ DP ^ BF ，
\ÐBPD = 90°，
\ÐBDP = 90° - ÐCBF = 67.5° ， 故④ 结论正确；
故选： D ．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请将正确答案填写在答题卷上．
11. 公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有 性．
【答案】稳定
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】解：公交车上乘客双腿岔开站立使得站立平稳，这样的原理是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形具有稳定性是解题的关键．
12. 已知点 M (-2,1) 关于 x 轴对称的点为 ．
【答案】(-2, -1)
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握关于 x 轴对称的点的特点是解题的关键；根据关于 x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点关于 x 轴对称的点的坐标．
【详解】解：点 M (-2,1) 关于 x 轴对称的点为(-2, -1) ，
故答案为： (-2, -1)．
13. 如图，已知△ABC ≌△ADC ，若ÐBAC = 60° ， ÐACD = 20° ，则ÐD = 度．
【答案】100
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据全等三角形对应角相等得到
ÐDAC = ÐBAC = 60°，再由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵△ABC ≌△ADC ， ÐBAC = 60° ，
∴ ÐDAC = ÐBAC = 60°，
∵ ÐACD = 20° ，
∴∠D = 180° - ÐACD -∠DAC = 100° ， 故答案为：100 ．
14. 如图，已知ÐA = 27° ， ÐCBD = 82° ，则ÐC = ．
【答案】55° ##55 度
【解析】
【分析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵ ÐA = 27° ， ÐCBD = 82°
第 30页，共 24页
∴∠C =∠CBD -∠A = 82° - 27° = 55° ． 故答案为： 55° ．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．
15. 在等腰V ABC 中， ÐA = 70°，则ÐB 的度数是 ．
【答案】55° 或 40° 或70°
【解析】
【分析】ÐA 为顶角、ÐB 为顶角和ÐA、ÐB 为底角，再根据三角形内角和定理可求得ÐB 的度数．
180° - ÐA
【详解】解：当ÐA 为顶角时，则ÐB = = 55° ；
2
当ÐB 为顶角时，则ÐB = 180° - 2ÐA = 40° ； 当ÐA、ÐB 为底角时，则ÐB = ÐA = 70° ；
故答案为： 55° 或 40° 或70° ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．
16. 如图，在等边三角形 ABC 中， BD 是中线，点 P，Q 分别在 AB，AD 上，且 BP = AQ = QD = 1，动点 E 在 BD 上，则 PE + QE 的最小值为 ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决 最短问题，属于中考常考题型．作点 P 关于 BD 的对称点 P¢ ，连接 P¢Q 交 BD 于 E ，此时 PE + EQ 的值最小．最小值 PE + QE = P¢E + EQ = P¢Q ．
【详解】解：QV ABC 是等边三角形，
\ BA = BC = AC ， ÐACB = 60° ，
∵ BD 是中线，
∴ BD ^ AC ， ÐABD = ÐCBD ， AD = CD ．
∵ BP = AQ = QD = 1，
\ AD = DC = AQ + QD = 2 ， AC = BC = AB = 4 ，
如图，作点 P 关于 BD 的对称点 P¢ ，连接 P¢Q 交 BD 于 E ， 此时 PE + EQ 的值最小．最小值 PE + QE = P¢E + EQ = P¢Q ，
Q BP = 1，
∴ BP¢ = BP = 1 ，
∴ CQ = CP¢ = 3 ，而ÐACB = 60° ，
\VCP¢Q 是等边三角形，
\ P¢Q = CQ = 3 ，
\ PE + QE 的最小值为 3． 故答案为：3．
三、解答题：本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知V ABC 的三边长分别为 a，b，c，化简| a + b - c | - | b - a - c | ．
【答案】 2b - 2c
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【详解】解：∵a，b，c 是V ABC 的三边长，
∴ a + b - c > 0，b - a - c < 0 ，
∴| a + b - c | - | b - a - c |
= (a + b - c ) - (-b + a + c )
= a + b - c + b - a - c
= 2b - 2c
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值．熟记相关结论即可．
18. 如图，已知 AB = AE, BD = CE ，求证： ÐB = ÐE ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用“边角边”证明△ABC 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠E．
【详解】.证明：∵ AB = AE, BD = CE ，
∴ AB - BD = AE - CE ，即 AD = AC ．
ì AB = AE ,
í
在V ABC 和△AED 中， ïÐA = ÐA,
î
ï AC = AD,
∴ VABC≌VAED(SAS) ，
∴ ÐB = ÐE ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是三角形全等的判定方法是解题的关键．
19. 如图，在V ABC 中，BD 平分ÐABC ，DE ∥ BC 交 AB 于 E ，ÐA = 78° ，ÐBDC = 100° ，求ÐBDE
的度数．
【答案】 22°
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性 质成为解题的关键．
利用三角形的外角性质先求ÐABD = 22° ，再根据角平分线的定义可得ÐDBC = ÐABD = 22° ，运用平行
线的性质即可得出答案．
【详解】解：∵ ÐBDC = ÐA + ÐABD ，
∴ ÐABD = ÐBDC - ÐA = 100° - 78° = 22° ，
∵ BD 平分ÐABC ，
∴ ÐDBC = ÐABD = 22° ， 又∵ DE ∥ BC ，
∴ ÐBDE = ÐDBC = 22° ．
20. 如图，BE = CF ，DE ^AB ，交 AB 的延长线于点 E ，DF ^AC 于点 F ，且 DB = DC ，求证：AD
是ÐBAC 的平分线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据全等三角形的判定定理得出RtV BDE≌RtV CDF ，进而得出 DE = DF ，由角平分线的判定即可得证．
【详解】证明：∵ DE ^AB ， DF ^AC ，
∴ ÐBED = ÐCFD = 90° ，
∴ Rt△BDE 与Rt△CDF 都是直角三角形， 在Rt△BDE 和Rt△CDF 中，
ìBD = CD
î
íBE = CF ，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ，
∴ DE = DF ，
∴ AD 是ÐBAC 的平分线．
【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分 线上是解题的关键．
21. 图，在△ABC 中， AC > AB ．
（1） 尺规作图：过点 A 作 AD ^BC ，点 D 为垂足，在线段 CD 上取一点 E，使得 DE = BD ，连接 AE；
（不写作法，保留作图痕迹）
（2） 若在（1）中恰好 AB + BD = CD ．求证：点 E 在线段 AC 的垂直平分线上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线及等腰三角形的尺规作图求解即可，
（2）由（1）知： AB = AE ， BD = DE ，根据 AB + BD = CD ， CE + DE = CD 得出 AE = CE ，即可证明结论．
【小问 1 详解】
以A 为圆心， AB 为半径作弧与 BC 交于点 E ，
分别以 B ， E 为圆心，大于 1 BE 为半径作弧相交于 M ，
2
连接 AM 交 BC 于点 D ，
线段 AD ，点 E ，线段 AE 即为所求．
【小问 2 详解】
由（1）得 DB = DE ， AD ^BC ，
∴ AD 垂直平分 BE ，
∴ AE = AB ，
∵ AB + BD = CD ， CE + DE = CD ，
∴ AB = CE ，
∴ AE = CE ，
∴点 E 在线段 AC 的垂直平分线．
【点睛】本题考查作图-基本作图、等腰三角形的判定与性质以及垂直平分线的判定，解题的关键是正确作 图并熟记性质判定．
22. 如图， ÐA = ÐB ， AE = BE ， Ð1 = Ð2 ，点 D 在 AC 边上．
（1）求证： △AEC ≌△BED ；
（2）若Ð1 = 40°，求ÐBDE 的度数．
【答案】（1）见解析 （2） ÐBDE = 70°
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质：
（1） 由Ð1 = Ð2 可得ÐAEC = ÐBED ，进而利用 ASA 即可求证；
（2） 根据全等三角形的性质可得 ED = EC ，ÐACE = ÐBDE ，再根据等腰三角形的性质，即可求解．
【小问 1 详解】 解：∵ Ð1 = Ð2 ，
∴ Ð1+ ÐAED = Ð2 + ÐAED ，
∴ ÐAEC = ÐBED ， 在△AEC 和VBED 中
ìÐA = ÐB
í
ï AE = BE
î
ïÐAEC = ÐBED
∴ VAEC≌VBED( ASA).
【小问 2 详解】
解：∵△AEC ≌△BED ，
∴ ED = EC ， ÐACE=ÐBDE
∴ ÐECD = ÐEDC ，
∵ Ð1 = 40°，
∴ ÐECD = ÐEDC = 70° ，
∴ ÐECA = 70° ，
∴ ÐBDE = 70° ．
23. 数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可 考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．
（1） 【问题初探】如图1：在VABC 中， AB = 2，AC = 6，AD 为 BC 边上的中线，则𝐴的取值范围为
．
（2） 【类比分析】如图 2 ：在VABC 中，ÐB = 90o，AB = 7，AD 是VABC 的中线， CE ^ BC 于点
C，CE = 11 且ÐADE = 90o ． 求 AE 的长度．
【答案】（1） 2 < AD < 4 ；
（2）18 ．
【解析】
【分析】(1) 延长𝐴到点 E 使 DE = AD ，构造VEDB 使VADC≌VEDB ，根据全等三角形对应边相等可知 AE = 2 AD ，根据三角形三边关系可得 4 < AE < 8 ，从而可得 2 < AD < 4 ；
(2) 延长𝐴交 EC 的延长线于点 F ，构造VABD≌VFCD ，从而可证， FC = AB = 7 ， AD = FD ，可证
V ADE≌VFDE ，根据全等三角形对应边相等可得 FE = EC + FC = EC + AB = 7 +11 = 18 ，从而可得
AE = 18
【小问 1 详解】
解：如下图所示，延长𝐴到点 E 使 DE = AD ，
Q AD 是 BC 边上的中线，
\ BD = CD ，
ì AD = ED
í
在VADC 和VEDB 中ïÐADC = ÐEDC ，
î
ïCD = BD
\VADC≌VEDB ，
在V ABE 中， AC - AB < AE < AB + AC ，
\6 - 2 < AE < 6 + 2 ，
\4 < AE < 8，
Q AD = ED ，
\ AE = 2 AD ，
\4 < 2AD < 8 ，
\ 2 < AD < 4 ；
【小问 2 详解】
解：如下图所示，延长𝐴交 EC 的延长线于点 F ，
Q AD 是VABC 的中线，
\ BD = CD ，
QCE ^ DC ，
\ÐECD = ÐFCD = 90°，
ìÐB = ÐFCD = 90°
í
在V ABD 和VFCD 中ïBD = CD ，
î
ïÐADB = ÐFDC
\VABD≌VFCD ，
\ FC = AB = 7 ， AD = FD ，
QÐADE = 90° ，
\ÐFDE = 90° ，
ì AD = FD
í
在V ADE 和VFDE 中ïÐADE = ÐFDE ，
î
ïDE = DE
\V ADE≌VFDE ，
\ AE = FE ，
Q FE = EC + FC = EC + AB = 7 +11 = 18 ，
\ AE = 18 ．
【点睛】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利 用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系．
24. 如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，点 E 在 BC 上，AE 的延长线交 BD 于点 F．
（1） 求证：△ACE≌△BCD；
（2） 探究ÐCFD 的度数；
（3） 探究 EF、DF、CF 之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）CF=EF+DF，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质和“SAS”即可证明△ACE≌△BCD；
（2） 延长 AF 到 Q，使 FQ=DF ，连接 DQ，先证明△DFQ 是等边三角形，再根据“SAS”证明△CDF≌△
EDQ，即可求出∠CFD 的度数；
（3） 由△CDF≌△EDQ，可得 CF=EQ ，进而可得到 EF、DF、CF 之间的关系．
【详解】解：（1）∵△ABC 和△CDE 都为等边三角形，
∴∠ACE=∠BCD=60°，AC=BC，CE=CD，
在△ACE 和△BCD 中
ï
ì AC = BC
í∠ACE =∠BCD ，
î
ïCE = CD
∴△ACE≌△BCD；
（2） 延长 AF 到 Q，使 FQ=DF，连接 DQ，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD， 又∵∠AEC=∠BEF，
∴∠AFB=∠ACB=60°．
∴∠DFQ=60°，
∴△DFQ 是等边三角形，
∴∠FDQ=∠FQD=60°，DF=DQ，
∴∠CDF=∠EDQ， 在△CDF 和△EDQ 中
ìCD = DE
í
ïÐCDF = ÐEDQ ，
î
ïDF = DQ
∴△CDF≌△EDQ，
∴∠CFD=∠DQF=60°；
（3） ∵△CDF≌△EDQ，
∴CF=EQ，
∵EQ=DF+FQ=EF+DF，
∴CF=EF+DF．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中， V ABC 的顶点C, B 分别在 x 轴和 y 轴上，且ÐACB = 90°, AC = BC ．
（1） 如图 1，若点 B 的坐标(0, 6) ，点C 的坐标(-2, 0) ，求点 A 的坐标；
（2） 过点 A 作 AN∥BC ，交 x 轴于点 D，E 是𝐴边上一点，过 E 作 EG
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
