资源描述
2024 学年初二上学期期中考联考数学
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且
只有一个是正确的
1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 一个多边形的内角和为 360°，则这个多边形可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知三角形的两边的长分别为 2cm 和5cm ，设第三边的长为 xcm ，则 x 的取值范围是（）
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A. 2 < x < 5
B. 3 < x < 5
C. 3 < x < 7
D. 5 < x < 7
4. 下面四个图形中，线段 BD 是V ABC 的高的是（ ）．
A. B.
C. D.
5. 如图， △ABC ≌△ADE ， ÐB = 30° ， ÐE = 115° ，则ÐBAC 的度数是（ ）
A. 35° B. 30° C. 45° D. 25°
6. 如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD 的是（ ）
A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD
7. 如图，在V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， CE 是 AB 边上的高，若 AB = 3 ， S△ ADC = 6 ，则CE 的长度为（ ）
A. 4 B. 8 C. 7 D. 6
8. V ABC 中，如果ÐA + ÐB = ÐC ，那么V ABC 的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这 个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动， C 点固定，
OC = CD = DE ，点 D ， E 可在槽中滑动，若ÐBDE = 75° ，则ÐCDE 的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
10. 平面直角坐标系中， A(3, 3) 、B(0, 5) ．若在坐标轴上取点C ，使V ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）．
A 3 B. 4 C. 5 D. 7
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 五边形从某一个顶点出发可以引 条对角线．
12. 已知点 M(﹣6，2)，则 M 点关于 x 轴对称点的坐标是 .
13. 已知等腰三角形的两边长是5cm 和11cm ，则它的周长是 ．
14. 如图， V ABC 的面积为19cm2 ， BP 平分ÐABC ，过点 A 作 AP ^ BP 于点 P，则△PBC 的面积为
cm2 ．
15. 如图，在VPMN 中，点 P，M 在坐标轴上， P (0, 2) ， N (2, -2) ， PM = PN ， PM ^ PN ，则点 M
的坐标是
16. 如图，在VABC 和V ADE 中， AB = AC ， AD = AE ， ÐDAE = ÐBAC = 85°，若ÐBDC = 165° ， 则ÐDCE = ° ．
三、解答题（共 72 分）
17. 在V ABC 中，已知ÐA + ÐB = 80°, ÐC = 2ÐB ，求ÐA, ÐB, ÐC 的度数．
18. 如图，在VABC 中，𝐴， AE 分别是VABC 的高和角平分线，若ÐB = 32° ，ÐC = 52° ，求ÐDAE 的度数．
19. 如图，已知在V ABC 中， AB = AC ，点 D、E 在边 BC 上，且 AD = AE ，证明： BD = CE ．
20. 数学与生活．
如图，轮船从 A 港出发，以 28 海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔 M 在北偏东30° 的方向上．半小时后，轮船到达 B 处，此时测得灯塔 M 在北偏东60° 的方向上．
（1） 求轮船在 B 处时与灯塔 M 的距离；
（2） 轮船从 B 处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达 C 处，则此时轮船与灯塔 M 的距离是 ，
灯塔 M 在轮船的 方向上．
21. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A， B ， C 的坐标分别为(-1, 0) ， −2,3 ， (-3,1) ．
（1） 作出V ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ，直接写出 B1 ，C1 两点的坐标：B1（ ， ），C1（ ，
）；
（2） 写出V ABC 的面积 SV ABC = ；
（3） 在 y 轴上找一点 D ，使得 BD + DA 的值最小，作出点 D 并写出点 D 的坐标 ．
22. 如图，已知VABC 中， ÐB = ÐC ， AB = 8 厘米， BC = 6 厘米，点 D 为𝐴的中点，如果点 P 在线段
BC 上以每秒 2 厘米的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段��上以每秒 a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为t （秒）（ 0 £ t < 3 ）．
（1） 用含t 的代数式表示 PC 的长度： PC = ．
（2） 若点 P 、Q 的运动速度相等，经过1秒后， VBPD 与VCQP 是否全等，请说明理由；
（3） 若点 P 、Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度 a 为多少时，能够使VBPD 与VCQP 全等？
23. 如图所示， VABC 是等腰三角形，若 BA = BC ，且ÐABC > 90°．
（1） 基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线段 AC 上确定一点 F ，使得 FA = FB ，连接 BF ；
（2） 在（1）问所作图中，当CF = BC 时，求ÐABC 的度数．
24. 在边长为 2 的等边V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边△BEF ．
（1） 当 BD = DE 时，连接CF ，
① ÐABF = ．
② 求证： △ABE≌△CBF
（2） 连接 DF ， V BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时ÐDBF 的度数；若没有请说明理由．
25. 如图，点 A(-4, 0) ，B (0, 3) 在平面直角坐标系中的坐标轴上，点 P (-1,1) 为V AOB 内一点， AB = 5 ．
（1） ①求点 P 到𝐴的距离；
②点 P 为VABO 的三条 线的交点．（①角平分线；②垂直平分线．直接填写序号）
（2） 如图 1，射线 BP 交OA 的垂直平分线于点C ，证明VPAC 是等腰直角三角形．
（3） 如图 2，Q (m, 0) 为 x 轴正半轴上一点，将 AQ 沿 PQ 所在直线翻折，与 y 轴，线段𝐴分别交于点 F ，
G ，试探究VBFG 的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求VBFG 的周长．
2024 学年初二上学期期中考联考数学
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且
只有一个是正确的
1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全 重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断 即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C．
2. 一个多边形的内角和为 360°，则这个多边形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，n 边形的内角和为(n - 2) ×180° ( n ³ 3 且
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n 为整数)．根据多边形的内角和计算公式列方程求解作答．
【详解】解：设这个多边形边数为 n ， 依题意，得： (n - 2)×180° = 360° ， 解得： n = 4 ，
∴这个多边形的边数是 4． 故选：B．
3. 已知三角形的两边的长分别为 2cm 和5cm ，设第三边的长为 xcm ，则 x 的取值范围是（）
A. 2 < x < 5
【答案】C
【解析】
B. 3 < x < 5
C. 3 < x < 7
D. 5 < x < 7
【分析】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是 大于两边的差而小于两边的和．
由三角形的两边的长分别为 2cm 和5cm ，第三边的长为 xcm ，根据已知三角形两边，则第三边的长度应
是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．
【详解】解：∵三角形的两边的长分别为 2cm 和5cm ，第三边的长为 xcm ，
∴根据三角形的三边关系，得： 5 - 2 < x < 5 + 2 ， 即： 3 < x < 7 ．
故选：C．
4. 下面四个图形中，线段 BD 是V ABC 的高的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高，理解三角形的高的定义是解题关键．三角形的高线是指从三角形的 一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段就是三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析
判断即可．
【详解】解：依题意，线段 BD 是V ABC 的高的是：
故选：D
5. 如图， △ABC ≌△ADE ， ÐB = 30° ， ÐE = 115° ，则ÐBAC 的度数是（ ）
A. 35° B. 30° C. 45° D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质， 三角形的内角和定理． 关键是根据全等三角形的性质得出
ÐC = ÐE = 115°，然后根据三角形的内角和定理解题．
【详解】解：∵ VABC≌VADE，ÐE = 115°，
∴ÐC = ÐE = 115°，
∵ ÐB = 30° ，
∴ÐBAC = 180° -ÐC -ÐB = 35°． 故选：A．
6. 如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD 的是（ ）
A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD
【答案】D
【解析】
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知 AB＝AC，可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA 添加条件， 逐一证明即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠A 为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用 ASA 即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添 AD＝AE，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添 BD＝CE，等量关系可得 AD＝AE，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添 BE＝CD，因为 SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D．
【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握 全等三角形的判定定理．
7. 如图，在V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， CE 是 AB 边上的高，若 AB = 3 ， S△ ADC = 6 ，则CE 的长度为（ ）
A. 4 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可求得 SV ABC = 2SV ABD = 2SV ACD ，再由面积公式即可求出CE 的长度，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ SV ABC = 2SV ACD = 12 ，
∵ CE 是 AB 边上的高，
∴ SV ABC
= 1 AB ´ CE = 12 ，
2
∵ AB = 3 ，
∴ CE = 8 ，
故选： B ．
8. V ABC 中，如果ÐA + ÐB = ÐC ，那么V ABC 的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据在V ABC 中， ÐA + ÐB = ÐC ， ÐA + ÐB + ÐC = 180° 可求出ÐC 的度数，即可得出结论.
【详解】解：∵在V ABC 中， ÐA + ÐB = ÐC ， ÐA + ÐB + ÐC = 180° ，
∴ 2ÐC = 180° ，
∴ ÐC = 90° ，
∴V ABC 是直角三角形. 故选 B.
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180° 是解答本题的关键.
9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这 个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动， C 点固定，
OC = CD = DE ，点 D ， E 可在槽中滑动，若ÐBDE = 75° ，则ÐCDE 的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
【答案】D
【解析】
【 分 析】 根据 OC=CD=DE ， 可 得∠O=∠ODC ， ∠DCE=∠DEC ， 根 据三角 形的外 角性质 可知
∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的度数．
【详解】∵ OC = CD = DE ，
∴ ÐO = ÐODC ， ÐDCE = ÐDEC ， 设ÐO = ÐODC = x ，
∴ ÐDCE = ÐDEC = 2x ，
∴ ÐCDE = 180° - ÐDCE - ÐDEC
∵ ÐBDE = 75° ，
= 180° - 4 x ，
∴ ÐODC + ÐCDE + ÐBDE = 180° ， 即 x +180° - 4x + 75° = 180° ，
解得： x = 25° ，
ÐCDE = 180°- 4x = 80° .
故答案为 D.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
10. 平面直角坐标系中， A(3, 3) 、B(0, 5) ．若在坐标轴上取点C ，使V ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知，△ABC 是等腰三角形，故需分三种情况进行讨论，分别是 AB=AC，AB=BC，AC=BC， 画出图形即可得到结论．
【详解】当 AC=CB 时，作 AB 的垂直平分线，交 x 轴，y 轴有二个点 C；
当 AB=AC 时，以点 A 为圆心，AB 为半径作圆 A，交 y 轴，x 轴有三个点 C； 当 AB=BC 时，以点 B 为圆心，AB 为半径作圆 B，交 y 轴有二个点 C；
由作图可得，一共有 7 个满足条件的点 C， 故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，定义三角形的判定，利用圆的定义作图，掌握等 腰三角形的作图是解题的关键．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 五边形从某一个顶点出发可以引 条对角线．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查多边形的对角线，根据对角线定义，一个五边形从某一顶点出发，除去它自己及与它相 邻的左右两边的点外，还剩下 2 个顶点可以与这个顶点连成对角线，熟记对角线定义是解决问题的关键．
【详解】解：五边形从某一个顶点出发可以引 2 条对角线， 故答案为：2．
12. 已知点 M(﹣6，2)，则 M 点关于 x 轴对称点的坐标是 .
【答案】(－6，－2)
【解析】
【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出横坐标相等，纵坐标互为相反数进而得出答案．
【详解】解：∵点 M（－6，2），
∴点 M 关于 x 轴的对称点的坐标是(－6，－2)． 故答案为：(－6，－2)．
【点睛】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
13. 已知等腰三角形的两边长是5cm 和11cm ，则它的周长是 ．
【答案】 27cm
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和11cm ，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当三边是5cm ， 5cm ，11cm 时，
5 + 5 < 11 ，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三边是5cm ，11cm ，11cm 时，符合三角形的三边关系， 此时周长是5 +11+11 = 27 (cm) ，
故答案为： 27cm ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14. 如图， V ABC 的面积为19cm2 ， BP 平分ÐABC ，过点 A 作 AP ^ BP 于点 P，则△PBC 的面积为
cm2 ．
【答案】9.5
【解析】
【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等；
延长 AP 交 BC 于 E ， 先证明△ABP≌△EBP(ASA) ， 根据全等三角形的性质得到 AP = PE ， 得出
S△ABP
= S△EBP
， S△ACP
= S△ECP
，进而推出 S
V PBC
= 1 S
2
V ABC
，即可得出答案．
【详解】解：延长 AP 交 BC 于 E，
Q BP 平分ÐABC ，
\ÐABP = ÐEBP ，
Q AP ^ BP ，
\ÐAPB = ÐEPB = 90° ，
Q BP = BP ，
\△ABP≌△EBP(ASA) ，
\ AP = PE ，
\ SV ABP = SV EBP ， S△ACP = S△ECP ，
\S = 1 S = 1 ´19 = 9.5cm2 ，
VPBC 2 V ABC 2
故答案为： 9.5 ．
15. 如图，在VPMN 中，点 P，M 在坐标轴上， P (0, 2) ， N (2, -2) ， PM = PN ， PM ^ PN ，则点 M
的坐标是
【答案】(-4, 0)
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明VPAM ≌VNBP ．过点 P 作 x 轴的平行线，过点 M 作 MA ^ AB 于点 A，过点
N 作 NB ^ AB 于点 B，根据 P (0, 2) ， N (2, -2) ，得出 AM = 2 ， BN = 2 + 2 = 4 ，证明
VPAM≌VNBP (AAS) ，得出 AP = BN = 4 ，即可得出答案．
【详解】解：过点 P 作 x 轴的平行线，过点 M 作 MA ^ AB 于点 A，过点 N 作 NB ^ AB 于点 B，如图所示：
则ÐPAM = ÐPBN = 90° ，
∵ P (0, 2) ， N (2, -2) ，
∴ AM = 2 ， BN = 2 + 2 = 4 ，
∵ PM ^ PN ，
∴ ÐMPN = 90°，
∵ ÐAPM + ÐBPN = ÐBPN + ÐPNB = 90° ，
∴ ÐAPM = ÐPNB ，
∵ PM = PN ，
∴ VPAM≌VNBP (AAS)，
∴ AP = BN = 4 ，
∴ OM = AP = 4 ，
∴点 M 的坐标为(-4, 0) ． 故答案为： (-4, 0) ．
16. 如图，在VABC 和V ADE 中， AB = AC ， AD = AE ， ÐDAE = ÐBAC = 85°，若ÐBDC = 165° ，
则ÐDCE = ° ．
【答案】110
【解析】
【分析】本题考查了四边形的内角和、三角形全等的判定定理与性质，先根据四边形的内角和可得
ÐACD + ÐABD = 110° ，再根据三角形全等的判定定理证出△ABD≌△ACE ，然后根据全等三角形的性质可得ÐABD = ÐACE ，最后根据角的和差即可得．
【详解】解：在四边形 ABDC 中， ÐBAC = 85°, ÐBDC = 165° ，
\ÐACD + ÐABD = 360° - Ð BAC - Ð BDC = 110° ，
QÐEAD = ÐBAC = 85° ，
\ÐEAD - ÐCAD = ÐBAC - ÐCAD ，即ÐCAE = ÐBAD ，
ì AB = AC
í
在△ABD 和△ACE 中， ïÐBAD = ÐCAE ，
î
ï AD = AE
\V ABD≌V ACE (SAS) ，
\ÐABD = ÐACE ，
\ÐDCE = ÐACD + ÐACE = ÐACD + ÐABD = 110° ， 故答案为：110 ．
三、解答题（共 72 分）
17. 在V ABC 中，已知ÐA + ÐB = 80°, ÐC = 2ÐB ，求ÐA, ÐB, ÐC 的度数．
【答案】ÐA, ÐB, ÐC 的度数分别为30°, 50°,100°
第 30页，共 24页
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理可知ÐA + ÐB + ÐC = 180° ，则ÐC = 100° ，根据ÐC = 2ÐB = 100° ， 即可求出ÐB = 50° ，进而求出ÐA = 30°．
【详解】解：∵ ÐA + ÐB = 80°, ÐA + ÐB + ÐC = 180°，
∴ ÐC = 100° ，
∵ ÐC = 2ÐB ，
∴ ÐC = 2ÐB = 100° ，
∴ ÐB = 50° ，
∴ ÐA = 30°．
即ÐA, ÐB, ÐC 的度数分别为30°, 50°,100°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用内角和定理列出等式解题．
18. 如图，在VABC 中，𝐴， AE 分别是VABC 的高和角平分线，若ÐB = 32° ，ÐC = 52° ，求ÐDAE 的度数．
【答案】10°
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质等知识在VABC 中，利用三角形内角和定理，可求出ÐBAC 的度数，结合角平分线的定义，可得出ÐCAE 的度数，由𝐴是VABC 的高，可得出ÐADC = 90° ，结合三角形内角和定理，可求出ÐCAD 的度数，再结合ÐDAE = ÐCAE - ÐCAD ，
即可求出ÐDAE 的度数．
【详解】解：∵ ÐB + ÐC + ÐBAC = 180°且ÐB = 32° ， ÐC = 52° ，
∴ ÐBAC = 180° - ÐB - ÐC = 180° - 32° - 52° = 96°，
Q AE 是V ABC 的角平分线
\ ÐBAE = 48°
又Q AD 是V ABC 的高
\ ÐADE = 90°
\ÐCAD = 180° - ÐADC - ÐC = 180° - 90° - 52° = 38° ，
\ÐDAE = ÐCAE - ÐCAD = 48° - 38° = 10°．
19. 如图，已知在V ABC 中， AB = AC ，点 D、E 在边 BC 上，且 AD = AE ，证明： BD = CE ．
【答案】见详解
【解析】
【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据 AD = AE 和 AB = AC 推出ÐADB = ÐAEC ， ÐB = ÐC ，证明△ADB ≌△AEC ，即可求解；
【详解】证明：∵ AD = AE ，
∴ ÐADE = ÐAED ，
∵ ÐADE + ÐADB = 180°，ÐAEC + ÐAED = 180° ，
∴ ÐADB = ÐAEC ，
∵ AB = AC ，
∴ ÐB = ÐC ，
在VADB 和△AEC 中
ìÐADB = ÐAEC
í
ïÐB = ÐC ，
î
ï AB = AC
∴ V ADB≌V AEC ( AAS ) ，
∴ BD = CE ．
20. 数学与生活．
如图，轮船从 A 港出发，以 28 海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔 M 在北偏东30° 的方向上．半小时后，轮船到达 B 处，此时测得灯塔 M 在北偏东60° 的方向上．
（1） 求轮船在 B 处时与灯塔 M 的距离；
（2） 轮船从 B 处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达 C 处，则此时轮船与灯塔 M 的距离是 ， 灯塔 M 在轮船的 方向上．
【答案】（1）14 海里
（2）14 海里，南偏东60°
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及性质，方向角等知识．
（1） 由三角形外角定义求出ÐBMA = 30°，再由等角对等边得出 AB = BM ．
（2） 证明△BMC 是等边三角形，即可求出CM 以及ÐBCM
【小问 1 详解】
解：据题意得， ÐCBM = 60° ， ÐBAM = 30° ，
= 60° ．
∵ ÐCBM = ÐBAM + ÐBMA ，
∴ ÐBMA = 30° ，
∴ ÐBMA = ÐBAM ，
∴ AB = BM ，
∴ AB = 28 ´ 0.5 = 14 ，
∴ BM = 14 ，
答：轮船在 B 处时与灯塔 M 的距离为 14 海里；
【小问 2 详解】
∵ BC = 28´ 0.5 = 14 ， BM = BC 且ÐCBM = 60° ，
∴△BMC 是等边三角形，
∴ CM = BC = 14 ， ÐBCM = 60° ，
答：轮船在 C 点时与灯塔 M 的距离是 14 海里，灯塔 M 在轮船的南偏东60° 方向上， 故答案为：14 海里，南偏东60°．
21. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A， B ， C 的坐标分别为(-1, 0) ， −2,3 ， (-3,1) ．
（1） 作出V ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ，直接写出 B1 ，C1 两点的坐标：B1（ ， ），C1（ ，
）；
（2） 写出V ABC 的面积 SV ABC = ；
（3） 在 y 轴上找一点 D ，使得 BD + DA 的值最小，作出点 D 并写出点 D 的坐标 ．
【答案】（1）图见解析， -2, -3, -3, -1
（2） 2.5
（3）图见解析， D (0,1)
【解析】
【分析】（1）先根据题意，画弧图形，再根据图形即可写出 B1 ， C1 两点的坐标；
（2） 用割补法求面积即可；
（3） 作点 A 关于 y 轴的对称点 A¢ ，连接 BA¢ 与 y 轴相交于点 D，点 D 即为所求，求出直线 BA¢ 的函数解析式，即可求出点 D 的坐标．
【小问 1 详解】解：如图所示：
由图可知： B1 (-2，- 3)、C1 (-3，-1) ；故答案为： -2, -3, -3, -1；
【小问 2 详解】
由图可知： S = 2´ 3 - 1 ´1´ 2 - 1 ´ 2´1- 1 ´1´ 3 = 2.5；
V ABC
故答案为： 2.5 ；
【小问 3 详解】
2 2 2
作点 A 关于 y 轴的对称点 A¢ ，连接 BA¢ 与 y 轴相交于点 D，点 D 即为所求；
∵ A (-1，0) ，
∴ A¢(1，0) ，
设直线 BA¢ 的函数解析式为： y = kx + b (k ¹ 0) ， 将 A¢(1，0) ， B (-2，3) 代入得：
ì3 = -2k + b
î
í0 = k + b
ìk = -1
í
，解得： ，
îb = 1
∴直线 BA¢ 的函数解析式为： y = -x +1， 当 x = 0 时， y = 1，
∴ D (0,1) ．
故答案为： D (0，1) ．
【点睛】此题考查了轴对称的最短路径问题、网格中三角形的面积、轴对称图形与坐标以及一次函数等知 识，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键．
22. 如图，已知VABC 中， ÐB = ÐC ， AB = 8 厘米， BC = 6 厘米，点 D 为𝐴的中点，如果点 P 在线段
BC 上以每秒 2 厘米的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段��上以每秒 a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为t （秒）（ 0 £ t < 3 ）．
（1） 用含t 的代数式表示 PC 的长度： PC = ．
（2） 若点 P 、Q 的运动速度相等，经过1秒后， VBPD 与VCQP 是否全等，请说明理由；
（3） 若点 P 、Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度 a 为多少时，能够使VBPD 与VCQP 全等？
【答案】（1） 6 - 2t
（2） VBPD 和VCQP 全等，理由见解析
（3） a = 8
3
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1） 先表示出 BP ，根据 PC = BC - BP ，可得出答案；
（2） 根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS 判定两个三角形全等．
（3） 根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程= 速度´时间公式，先求得点 P 运动的时间，再求得点Q 的运动速度；
【小问 1 详解】
解：依题意， BP = 2t, 则 PC = BC - BP = 6 - 2t ；
【小问 2 详解】
VBPD 和VCQP 全等，理由如下：
Qt = 1秒
\ BP = CQ = 2 ´1 = 2 厘米，
\CP = BC - BP = 6 - 2 = 4 厘米，
Q AB = 8厘米，点 D 为𝐴的中点，
\ BD = 4 厘米．
\ PC = BD ，
在VBPD 和VCQP 中，
ìBD = PC
í
ïÐB = ÐC
î
ïBP = CQ
\VBPD≌VCQP （ SAS ）；
【小问 3 详解】
Q点 P 、Q 的运动速度不相等，
\ BP ¹ CQ ，
又QVBPD≌VCPQ ， ÐB = ÐC ，
\ BP = PC = 3cm ， CQ = BD = 4cm ，
∴点 P ，点Q 运动的时间t = BP = 3 秒，
2 2
\ a = CQ = 4 = 8
t 3 3 厘米/ 秒．
2
\当点Q 的运动速度 a 为 8 厘米/ 秒时，能够使VBPD 与VCQP 全等．
3
23. 如图所示， VABC 是等腰三角形，若 BA = BC ，且ÐABC > 90°．
（1） 基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线段 AC 上确定一点 F ，使得 FA = FB ，连接 BF ；
（2） 在（1）问所作图中，当CF = BC 时，求ÐABC 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）108°
【解析】
【分析】本题考查作垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理；
（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段𝐴的垂直平分线，交 AC 于点 F ，连接 BF ，则点 F 即为所求．
（ 2 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 ÐA Ð =ABF ， ÐBFC Ð =CBF =2ÐA ， ÐC Ð =A ， 则ÐABC Ð =ABF Ð +CBF =3ÐA ．根据ÐA Ð +ABC Ð +C =180 °，可求出ÐA ，进而可得ÐABC 的度数．
【小问 1 详解】
解：如图，作线段� 的垂直平分线，交 AC 于点 F ，连接 BF ， 则点 F 即为所求．
【小问 2 详解】
Q FA = FB ，
\ÐA = ÐABF ，
\ÐBFC = ÐA + ÐABF = 2ÐA ．
QCF = BC ，
\ÐBFC = ÐCBF = 2ÐA ，
\ÐABC = ÐABF + ÐCBF = 3ÐA ．
Q BA = BC ，
\ÐC = ÐA ．
QÐA + ÐABC + ÐC = 180°，
\ÐA + 3ÐA + ÐA = 180° ，
\ÐA = 36° ，
\ÐABC = 3ÐA = 108° ．
24. 在边长为 2 的等边V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边△BEF ．
（1） 当 BD = DE 时，连接CF ，
① ÐABF = ．
② 求证： △ABE≌△CBF
（2） 连接 DF ， V BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时ÐDBF 的度数；若没有请说明理由．
【答案】（1）① 75°，②证明过程
（2） 30°
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得ÐABC = ÐEBF = 60° ， ÐADB = 90° ，再根据等腰直角三角形的性质可得ÐEBD = ÐBED = 45° ，求得ÐCBF = 15° ，再利用ÐABF = ÐABC + ÐCBF 求解即可；
②根据等边三角形的性质可得ÐABC = ÐEBF = 60° ， AB = BC ， BE = BF ，再利用等量代换可得
ABE = ÐCBF ，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）连接CF ，由②同理可证VABE≌VCBF (SAS ) ，可得ÐBCF = ÐBAD = 30° ，作点 D 关于CF 的对称点 G，连接CG 、DG ，则 DF = FG ，当 B、F、G 三点共线，BF + DF 的最小值为 BG ，且 BG ^ CG 时， V BD
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