一次函数和反比例函数的重点知识复习及练习(精讲精练).doc

一次函数和反比例函数的复习及练习
一、 函数的定义
如果两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。
练习：1、n边形的内角和S与边数n的函数关系为 ，其中 是常量， 是变量, 自变量的取值范围是 ；
2、小华以每分钟x字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函数关系式为( )
x
y
o
A
x
y
o
B
x
y
o
D
x
y
o
C
(A) x= (B) y=
(C) x+y=300 (D) y=
3、 右图给出了变量x与y之间的函数的是 （ ）
4、 下列式子中，y不是x的函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、甲乙两地相距30千米，某人骑车以每小时10千米的速度从甲地前往乙地，写出此人距离乙地的路程s（千米）与骑车时间t（小时）之间的函数关系式是 ，自变量的取值范围是 。
二、 自变量的取值范围
①函数关系式是整式的，自变量取全体实数；②函数关系式是分式的，分母不等于0；
③函数关系式是二次根式的，被开方数大于或等于0；
（注意：若上述情况同时出现，则要同时满足条件；实际问题中要考虑使实际问题有意义。）
练习：1、写出下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y= ； （2）y= ； （3）y= 。
2、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=·
3、一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．则y和x间的关系式为 ，自变量x的取值范围是
4、函数中，自变量x的取值范围是___________；函数y的取值范围是___________。
三、 点的坐标
1、 平面直角坐标系
2、 点的坐标P（x，y），x表示点的横坐标，即过点P作x轴的垂线，垂足所对应的数；y表示点的纵坐标，即过点P作y轴的垂线，垂足所对应的数。
3、 象限：x轴和y轴把一个平面分成了四个区域，即四个象限，特别地，x轴和y轴不属于任何象限。
4、 象限内点的坐标特点（最好利用图象来记忆）：第一象限（），第二象限（），第三象限（），第四象限（）。
5、 坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，即（x ，0）；y轴上的点横坐标为0，即（0 ，y）。
6、 对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点的坐标，横同纵反；②关于y轴对称的点的坐标，纵同横反；③关于原点对称的点的坐标，横反纵反。
练习：1、若点P（，3）在第二象限，则m 的取值范围是（　） .A．m＞ B.m＜ C.m≥－ D.m≤.
2、一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是
3、点P关于原点对称的点是Q（-2，3），则P的坐标是__________
4、若点P（，5）与点Q（-3，）关于y轴对称，则点（，）在第______象限。
5、点P（，1）在第二象限内，则点Q（，0）在___________
6、在平面直角坐标系中，点（-1，）一定在第_______象限。
7、已知点P（x，y）的坐标满足方程，则点P关于y轴对称的点的坐标是____________
8、已知点（）在第四象限，则的取值范围是____________。
四、 函数的图象及画法
1、 函数的图象是由一系列的点组成的，每一点的坐标（x ，y）代表了函数的一对对应值。
2、 画法（描点法）：列表、描点、连线。
练习：1、下面哪个点在函数y=x+1的图象上（ ）A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，0） D．（-2，0）
2、若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．
五、 函数的实际应用
练习：1、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）

2、A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．x/小时
y/千米
600
14
6
O
F
E
C
D

六、 一次函数的定义
1、 一般形式：（）
2、 正比例函数：当时，（）叫正比例函数（正比例函数
是一次函数的特殊形式）
练习：1、下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=2x-1 B．y= C．y=2x2 D．y=-2x+1
2、已知是的一次函数，则的值为___________
3、已知自变量为的函数是正比例函数，则=________，该函数的解析式为_________．
七、 一次函数的图象及性质
1、 一次函数图象是一条直线，所以也称为直线，正比例函数图象是一条经过原点（0，0）的直线。
2、 画一次函数的图象：两点确定一条直线--与x轴的交点（，0）和与y轴的交点（0 ，）。
3、 一次函数图象的位置取决于的值，并且有：①相同，表示两条直线互相平行（平移：左加右减，上加下减），反之亦成立；②的值等于该直线与y轴交点的纵坐标，如，直线与y轴交于（0 ，-3）.
4、 一次函数的图象及性质
k、b的符号
k＞0，b＞0
k＞0，b＜0
k＜0，b＞0
k＜0，b＜0
图像的大致位置

经过象限
第 象限
第 象限
第 象限
第 象限
性质
y随x的增大
而
y随x的增大而而
y随x的增大
而
y随x的增大
而

练习：1、函数y＝+2的图像经过点（ ，0）和点（0， ），点(-1,a)和(,b)都在其图像上,则a和b的关系为
2、直线不经过（ ） A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限.
3、写出一个具体的随的增大而减小的一次函数解析式____________________
4、一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四
5、若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<3
6、若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”）
7、已知一次函数的随的增大而增大，则其图象经过___________
8、若是一次函数，它的图象经过一、三、四象限，则的值是___________
9、若点（）和（）都在直线上，则和的大小关系是__________
10、把直线y=-2x+1向下平移2个单位长度，所得的直线是__________，再向左平移1个单位长度所得直线是__________

八、 求一次函数的关系式
待定系数法：①设-所求函数关系式；②列-方程或方程组；③解-未知系数的值；④还原成一次函数关系式。
（一般情况下求一次函数关系式要知道两个点的坐标，代入列出方程组求解。但有时根据条件可以只需知道一个点列方程求解，如：已知平行可知相同、已知与y轴的交点可知的值。）

练习：1、一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为 。
2、已知一条直线经过点（1，3），它与x轴的交点到原点的距离是2，则这条直线的关系式是 。
3、已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-1
4、已知y是x-1的正比例函数，且当x＝3时，y＝8，则y和x的函数关系式为
5、已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．

6、将函数 的图像平移，使它经过点（2，-1）. 求平移后直线所对应的函数关系式.

7、判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

8、如图等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后C点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．

9、 已知点是第一象限内的点，且，点A的坐标为(10，0) .设△OAP的面积为.(1)求与 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

九、 反比例函数
1、 一般形式： ；也可以，。
2、 求反比例函数关系式：待定系数法（只要已知一个点的坐标即可）

y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
第1题图
练习：1、矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）

A． B． C． D．

A
B
O
x
y
2、如果函数为反比例函数，则的值是 （ ）
A 、 B、 C 、±1 D、
3、如右图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若S△AOB＝3，则的值为（ ）
A、6 B、3 C、 D、不能确定
P
(第4题)
4、如图，点P在反比例函数(x > 0)的图象上，且横坐标为2. 若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点.则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是( )
A． B. C. D.
5、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3
6、已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（　 ） A、（2，1） B、（2，-1） C、（2，4） D、（-1，-2）
7、已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，则y和x之间的函数关系式是 ；
8、点在反比例函数的图象上，则

十、 反比例函数图象及性质
1、 反比例函数的图象是双曲线，也叫双曲线
2、 反比例函数的图像是中心对称图形（对称中心是坐标原点），也是轴对称图形（对称轴是或）
3、 的几何意义：① ； ②过反比例图象上的任意点A （x,y）作两条坐标轴的垂线围成的矩形面积。
4、 反比例的图象及性质如表：

k的符号
o
y
x
k＞0
y
x
o
k＜0
图像的大致位置

经过象限
第 象限
第 象限
性质
在每一象限内,y随x的增大而
在每一象限内,y随x的增大而
注意：在不同象限内的两个点比较，

练习：1、在反比例函数的图象的每一条曲线上，的增大而增大，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2、已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，若，则有（　　）
A． B． C． D．
3、如图 ，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则 （ ）
A． S1＞S2 B． S1<S2 C． S1=S2 D． S1与S2的大小关系不能确定
4、在反比例函数的图像上有三点，，，，， 。若则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5、如图，函数y＝与y＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（ ）

x
y
O
A
B
第3题图
6、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（　 　）
A、－1或1 　 B、小于 的任意实数 C、－1　　 　Ｄ、不能确定
7、如图，在直角坐标系中，点A是轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小

十一、 函数与二元一次方程组
画出方程组对应的两个一次函数的图象，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解；相反，二元一次方程组的解就是所对应的两个一次函数的图象的交点的横纵坐标。
练习：
1、已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．
2、已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组的解是________．
3、我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件60元．经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系．
售价x(元)
…
70
90
…
销售量y(件)
…
3000
1000
…
（利润＝(售价－成本价)×销售量）
（1）求销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式；
（2）你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 000 元？
O
O
O
P

4、如图，直线：与直线：相交于点．

（1）不解关于的方程组 请你直接写出它的解；

（2）直线：是否也经过点？请说明理由．

十二、 函数与一元一次方程及一元一次不等式
⑴当一次函数y=kx+b（k0）的函数值y=0时，自变量x的取值就是一元一次方程kx+b=0的解；反之，方程kx+b=0的解即是一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标。
⑵使一次函数y=kx+b（k0）的函数值y>0的自变量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集；反之，亦成立。（关键点是图象与x轴交点横坐标）。
⑶不等式＞的解集与一次函数和的图象的关系：利用图象的交点坐标分析，当自变量x在一定范围内取值时使所对应的函数值满足＞，其他情况类推。
练习：1、若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．
2、如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
* 3、一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：
销售方式
粗加工后销售
精加工后销售
每吨获利（元）
1000
2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.
⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工.
①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？

*4、某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服。
（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？
（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？

5、某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．

（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．

十三、 函数图象与面积
A
O
B
C

第1题图
指引：利用面积公式，须找到底和高，经常用到某个点的横坐标或纵坐标的绝对值，有时会进行加减。在遇到不规则的形状时要合理分解图形。
练习：1、如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2

2、如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．
3、如右图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为__________，△AOC的面积为_________．
4、点A（0，2）、B（3，0）、C（5，6）为顶点的三角形的面积是_____________
5、如图，双曲线经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB
第5题图
于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）
（A）（B）（C） （D）
6、如图，在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图
象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积。

7、已知：如图，直线与反比例函数的图象相交于点和点，与轴交于点，其中点的坐标为（－2，4），点的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求的面积。

8、如图,已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4。（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标的绝对值为8，求△AOC的面积

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