高中文科数学立体几何知识点总结.doc

立体几何知识点整理（文科）一 直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内符号表示： 二 平行关系：1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。方法三：用线面垂直实现。 若，则。方法四：用向量方法： 若向量和向量共线且l、m不重合，则。2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用面面平行实现。方法三：用平面法向量实现。若为平面的一个法向量，且,则。3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现。三垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。方法二：计算所成二面角为直角。3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。方法二：三垂线定理及其逆定理。方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则。三 夹角问题。(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：(2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：(二) 线面角(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，(图中)为直线l与面所成的角。(2)范围： 当时，或当时，(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角l的平面角。(2)范围： (3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。步骤一：计算步骤二：判断与的关系，可能相等或者互补。四 距离问题。1点面距。方法一：几何法。步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，则异面直线m和n之间的距离为：ABCD 11 / 11五 空间向量(一) 空间向量基本定理若向量为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对，使得。(二) 三点共线，四点共面问题1. A，B，C三点共线，且当时，A是线段BC的 A，B，C三点共线2. A，B，C，D四点共面，且当时，A是BCD的 A，B，C，D四点共面(三)空间向量的坐标运算1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：， 则： ; 2. 若空间中的向量，则 六 常见几何体的特征及运算(一) 长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为，则3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。(二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六) 体积： (七) 球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是 。3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式： 体积公式： 高考题典例考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离解答过程（）取中点，连结为正三角形，ABCDOF正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点， ， 在正方形中， 平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面 ， 为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又， 所以二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由，得， 点到平面的距离为考点2 异面直线的距离例2 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.解答过程： 如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，为的中位线，面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，在Rt中，在Rt中，又 由于，即，解得 故CD与SE间的距离为.考点3 直线到平面的距离例3 如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.BACDOGH思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点O平面的距离,，平面,又平面 平面，两个平面的交线是,作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.在中，.又.即BD到平面的距离等于.解析二 平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则 , 即BD到平面的距离等于.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成的角例4如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角是的中点（I）求证：平面平面；（II）求异面直线与所成角的大小解答过程：（I）由题意，是二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：.考点5 直线和平面所成的角例5. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的大小解答过程：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面DBCAS因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得（）由（）知，依题设，故，由，得 ， 的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的我为小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.考点6 二面角例6如图，已知直二面角，ABCQP，直线和平面所成的角为（I）证明（II）求二面角的大小ABCQPOH过程指引：（I）在平面内过点作于点，连结因为，所以，又因为，所以而，所以，从而，又，所以平面因为平面，故（II）由（I）知，又，所以过点作于点，连结，由三垂线定理知，故是二面角的平面角由（I）知，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，在中，所以，于是在中，故二面角的大小为小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点7 利用空间向量求空间距离和角例7 如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且（1）求证：四点共面； （2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面； （3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求过程指引：（1）如图，在上取点，使，连结，则，因为，所以四边形，都为平行四边形从而，又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而因此，四点共面（2）如图，又，所以，因为，所以为平行四边形，从而又平面，所以平面（3）如图，连结因为，所以平面，得于是是所求的二面角的平面角，即因为，所以，