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高中文科数学立体几何知识点总结.doc

1、立体几何知识点整理(文科)一 直线和平面的三种位置关系:1. 线面平行 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内符号表示: 二 平行关系:1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。方法二:用面面平行实现。方法三:用线面垂直实现。 若,则。方法四:用向量方法: 若向量和向量共线且l、m不重合,则。2. 线面平行:方法一:用线线平行实现。方法二:用面面平行实现。方法三:用平面法向量实现。若为平面的一个法向量,且,则。3. 面面平行:方法一:用线线平行实现。方法二:用线面平行实现。三垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。方法二:用面面垂直实现。2. 面面垂直: 方法一:

2、用线面垂直实现。方法二:计算所成二面角为直角。3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。方法二:三垂线定理及其逆定理。方法三:用向量方法: 若向量和向量的数量积为0,则。三 夹角问题。(一) 异面直线所成的角:(1) 范围:(2)求法:方法一:定义法。步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理:(计算结果可能是其补角)方法二:向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角):(二) 线面角(1)定义:直线l上任取一点P(交点除外),作PO于O,连结AO,则AO为斜线PA在面内的射影,(图中)为直线l与面所成的角。(2)范围: 当时,或当时,(3)求法

3、:方法一:定义法。步骤1:作出线面角,并证明。步骤2:解三角形,求出线面角。(三) 二面角及其平面角(1)定义:在棱l上取一点P,两个半平面内分别作l的垂线(射线)m、n,则射线m和n的夹角为二面角l的平面角。(2)范围: (3)求法:方法一:定义法。步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。步骤2:解三角形,求出二面角的平面角。方法二:截面法。步骤1:如图,若平面POA同时垂直于平面,则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2:解三角形,求出二面角。方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。步骤一:计算步骤二:判断与的关系,可能相等或者互补。四 距离问题。1点面距。方法一:几

4、何法。步骤1:过点P作PO于O,线段PO即为所求。步骤2:计算线段PO的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一:转化为线面距离。如图,m和n为两条异面直线,且,则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二:直接计算公垂线段的长度。方法三:公式法。如图,AD是异面直线m和n的公垂线段,则异面直线m和n之间的距离为:ABCD 11 / 11五 空间向量(一) 空间向量基本定理若向量为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量,都存在唯一的有序实数对,使得。(二) 三点共线,四点共面问题1. A,B,C三

5、点共线,且当时,A是线段BC的 A,B,C三点共线2. A,B,C,D四点共面,且当时,A是BCD的 A,B,C,D四点共面(三)空间向量的坐标运算1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为:, 则: ; 2. 若空间中的向量,则 六 常见几何体的特征及运算(一) 长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为,则若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为,则3.若长方体的长宽高分别为a、b、c,则体对角线长为 ,表面积为 ,体积为 。(二) 正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三) 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。(四)

6、正多面体:每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五) 棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。(六) 体积: (七) 球1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为R,小圆的半径为r,小圆圆心为O1,球心O到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关系是 。3. 球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式: 体积公式: 高考题典例考点1 点到平面的距离例1如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点(

7、)求证:平面;()求二面角的大小;()求点到平面的距离解答过程()取中点,连结为正三角形,ABCDOF正三棱柱中,平面平面,平面连结,在正方形中,分别为的中点, , 在正方形中, 平面()设与交于点,在平面中,作于,连结,由()得平面 , 为二面角的平面角在中,由等面积法可求得,又, 所以二面角的大小为()中,在正三棱柱中,到平面的距离为设点到平面的距离为由,得, 点到平面的距离为考点2 异面直线的距离例2 已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,且垂直于底面.分别为的中点,求CD与SE间的距离.解答过程: 如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,为的中位线,面,到平面的距离即

8、为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面的距离,设其为h,由题意知,,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,在Rt中,在Rt中,又 由于,即,解得 故CD与SE间的距离为.考点3 直线到平面的距离例3 如图,在棱长为2的正方体中,G是的中点,求BD到平面的距离.BACDOGH思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.解答过程:解析一平面,上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求点O平面的距离,,平面,又平面 平面,两个平面的交线是,作于H,则有平面,即OH是O点到平面的距离.在中,.又.即BD到平面的距离等于.解析二 平面,上任意一点到平面的距离皆为

9、所求,以下求点B平面的距离.设点B到平面的距离为h,将它视为三棱锥的高,则 , 即BD到平面的距离等于.小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成的角例4如图,在中,斜边可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角的直二面角是的中点(I)求证:平面平面;(II)求异面直线与所成角的大小解答过程:(I)由题意,是二面角是直二面角,又,平面,又平面平面平面(II)作,垂足为,连结(如图),则,是异面直线与所成的角在中,又在中,异面直线与所

10、成角的大小为小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:.考点5 直线和平面所成的角例5. 四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面已知,()证明;()求直线与平面所成角的大小解答过程:()作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面DBCAS因为,所以,又,故为等腰直角三角形,由三垂线定理,得()由

11、()知,依题设,故,由,得 , 的面积连结,得的面积设到平面的距离为,由于,得,解得设与平面所成角为,则所以,直线与平面所成的我为小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,计算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值.考点6 二面角例6如图,已知直二面角,ABCQP,直线和平面所成的角为(I)证明(II)求二面角的大小ABCQPOH过程指引:(I)在平面内过点作于点,连结因为,所以,又因为,所以而,所以,从而,又,所以平面因为平面,故(II)由(I)

12、知,又,所以过点作于点,连结,由三垂线定理知,故是二面角的平面角由(I)知,所以是和平面所成的角,则,不妨设,则,在中,所以,于是在中,故二面角的大小为小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点7 利用空间向量求空间距离和角例7 如图,已知是棱长为的正方体,点在上,点在上,且(1)求证:四点共面; (2)若点在上,点在上,垂足为,求证:平面; (3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求过程指引:(1)如图,在上取点,使,连结,则,因为,所以四边形,都为平行四边形从而,又因为,所以,故四边形是平行四边形,由此推知,从而因此,四点共面(2)如图,又,所以,因为,所以为平行四边形,从而又平面,所以平面(3)如图,连结因为,所以平面,得于是是所求的二面角的平面角,即因为,所以,

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