高中数学变化率问题导数的概念(老师版).doc

1.1.1　变化率问题1.1.2　导数的概念
[学习目标]　1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.

知识点一　函数的平均变化率
1.平均变化率的概念
设函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1).于是，平均变化率可以表示为.
2.求平均变化率
求函数y＝f(x)在[x1，x2]上平均变化率的步骤如下：
(1)求自变量的增量Δx＝x2－x1；
(2)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)求平均变化率＝＝.
思考　(1)如何正确理解Δx，Δy?
(2)平均变化率的几何意义是什么？
答案　(1)Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，其值可取正值、负值，但Δx≠0；Δy也是一个整体符号，若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)，Δy可为正数、负数，亦可取零.
(2)如图所示：

y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.
平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y＝f(x)图象上有两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，则＝kAB.
知识点二　瞬时速度与瞬时变化率
把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度，即＝＝.
物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度，即t0时刻的瞬时速度，用v表示，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率在Δt→0时的极限，即v＝ ＝ .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.
思考　(1)瞬时变化率的实质是什么？
(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？
答案　(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.
(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
知识点三　导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ ＝ .
思考　(1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在？
(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么？
答案　(1)函数f(x)在x0处可导，是指Δx→0时，有极限，如果不存在极限，就说函数在点x0处无导数.
(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下：
①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率：＝；
③取极限，得导数：f′(x0)＝ ＝ .

题型一　求平均变化率
例1　求函数y＝f(x)＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝时该函数的平均变化率.
解　当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为
＝＝＝＝4x0＋2Δx.
当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为4×2＋2×＝9.
反思与感悟　平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率问题，即求＝的值.
跟踪训练1　(1)已知函数y＝f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝ .
答案　2Δx＋4
解析　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(Δx)2＋4Δx，所以平均变化率＝2Δx＋4.
(2)求函数y＝f(x)＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率(x0≠0).
解　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－＝－，∴＝＝－.
题型二　实际问题中的瞬时速度
例2　一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.
解　(1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3.
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v瞬＝ ＝ ＝ ＝ (－Δt－1)＝－1.
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反.
(3)＝＝＝1.即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
反思与感悟　作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt趋近于0，指时间间隔Δt越来越小，但不能为0，Δt，Δs在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.
跟踪训练2　已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s＝gt2，其中g为重力加速度，g≈9.8米/平方秒(s的单位：米).
(1)求t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度；
(2)求t＝3秒时的瞬时速度.
解　(1)当t在区间[3,3.1]上时，Δt＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs＝s(3.1)－s(3)＝g·3.12－g·32≈2.989(米).
＝≈＝29.89(米/秒).
同理，当t在区间[3,3.01]上时，≈29.449(米/秒)，当t在区间[3,3.001]上时，≈29.404 9(米/秒)，当t在区间[3,3.000 1]上时，≈29.400 49(米/秒).
(2)＝＝＝g(6＋Δt)，
＝ g(6＋Δt)＝3g≈29.4(米/秒).所以t＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒.
题型三　函数在某点处的导数
例3　求函数y＝x－在x＝1处的导数.
解　Δy＝(1＋Δx)－－(1－)＝Δx＋，＝＝1＋，
∴ ＝ (1＋)＝2，从而y′|x＝1＝2.
反思与感悟　求函数在x＝x0处的导数的步骤：
(1)求函数值的增量，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率，＝；
(3)取极限，f′(x0)＝ .
跟踪训练3　求函数y＝在x＝2处的导数；
解　∵Δy＝－＝－1＝－，∴＝－，
∴ ＝－ ＝－1.

因对导数的概念理解不到位致误

例4　设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)已知，求下列各式的极限值.
(1) ；
(2) .
错解　(1) ＝f′(x0).
(2) ＝ ＝ f′(x0).
错因分析　在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式.如(1)中Δx的改变量为Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改变量为2h＝(x0＋h)－(x0－h).
正解　(1) ＝－ ＝－ ＝－f′(x0).
(2) ＝ ＝f′(x0).
防范措施　自变量的改变量Δx的值为变后量与变前量之差.

1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足(　　)
A.Δx＞0 B.Δx＜0
C.Δx≠0 D.Δx可为任意实数
答案　C
解析　因平均变化率为，故Δx≠0.
2.沿直线运动的物体从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么 为(　　)
A.从时间t到t＋Δt时物体的平均速度
B.t时刻物体的瞬时速度
C.当时间为Δt时物体的速度
D.从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率
答案　B
解析　＝，而 则为t时刻物体的瞬时速度.
3.函数f(x)＝在x＝1处的导数为 .
答案　
解析　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，
∴＝＝，
∴f′(1)＝ ＝ ＝.
4.设f(x)在x0处可导，若 ＝A，则f′(x0)＝ .
答案　A
解析　 ＝3 ＝3f′(x0)＝A.故f′(x0)＝A.
5.以初速度为v0(v0＞0)作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时加速度.
解　∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－v0t0＋gt＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt.
当Δt→0时，→v0－gt0.∴物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
由此，类似地可得到物体运动的速度函数为
v(t)＝v0－gt，∴＝＝－g.
∴当Δt→0时，→－g.
故物体在t0时刻的瞬时加速度为－g.

1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy，Δx.(2)求.
2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs及Δt.(2)求.　(3)求 .
3.利用定义求函数f(x)在x＝x0处的导数：(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).(2)求.(3)y′|＝ .

一、选择题
1.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于(　　)
A.6＋Δt B.6＋Δt＋
C.3＋Δt D.9＋Δt
答案　A
解析　因为＝＝＝6＋Δt.故选A.
2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A.f′(x)＝a B.f′(x0)＝a
C.f′(x)＝b D.f′(x0)＝b
答案　B
解析　由导数定义得f′(x0)＝ ＝ ＝a.故选B.
3如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)

A.1 　　 B.－1
C.2 　　 D.－2
答案　B
解析　 ＝＝＝－1.
4.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　)
A.－4.8 m/s B.－0.88 m/s
C.0.88 m/s D.4.8 m/s
答案　A
解析　物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.
5.设函数f(x)可导，则 等于(　　)
A.f′(1) B.3f′(1) C.f′(1) D.f′(3)
答案　A
解析　 ＝f′(1).
6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　　)
A.1秒末 B.1秒末和2秒末
C.4秒末 D.2秒末和4秒末
答案　D
解析　据导数的定义，得s′＝t2－6t＋8，令s′＝0，即t2－6t＋8＝0.
解得t＝2或t＝4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末.
二、填空题
7.已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝ .
答案　
解析　Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.
8.已知函数f(x)＝，则f′(1)＝ .
答案　－
解析　f′(1)＝ ＝ ＝ ＝－.

9.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 .

答案　[x3，x4]
解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为 m/s.
答案　800
解析　运动方程为s＝at2.
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt，∴v＝ ＝at0.
又∵a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴v＝at0＝8×102＝800(m/s).
三、解答题
11.求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数.
解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
12.若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值.
解　∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝ ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.
13.试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大.
解　当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝.
当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为k2＝＝.
由于是在x＝0和x＝的附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可化为正，又可化为负.
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2.
当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝.
∵Δx＜0，∴Δx－＜－，∴sin(Δx－)＜－，从而有sin(Δx－)＜－1，
sin(Δx－)＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.
综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率.