高中数学变化率问题导数的概念(老师版).doc

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学习目标1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一函数的平均变化率1.平均变化率的概念设函数yf(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地，yf(x2)f(x1).于是，平均变化率可以表示为.2.求平均变化率求函数yf(x)在x1，x2上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量xx2x1；(2)求函数值的增量yf(x2)f(x1)；(3)求平均变化率.思考(1)如何正确理解x，y?(2)平均变化率的几何意义是什么？答案(1)x是一个整体符号，而不是与x相乘，其值可取正值、负值，但x0；y也是一个整体符号，若xx1x2，则yf(x1)f(x2)，而不是yf(x2)f(x1)，y可为正数、负数，亦可取零.(2)如图所示：yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线yf(x)在区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数yf(x)图象上有两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，则kAB.知识点二瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数ss(t)描述，设t为时间改变量，在t0t这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是ss(t0t)s(t0)，那么位移改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度，即.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度，即t0时刻的瞬时速度，用v表示，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0t这段时间内的平均变化率在t0时的极限，即v .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.知识点三导数的概念函数yf(x)在xx0处的导数一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|，即f(x0) .思考(1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在？(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么？答案(1)函数f(x)在x0处可导，是指x0时，有极限，如果不存在极限，就说函数在点x0处无导数.(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下：求函数值的增量：yf(x0x)f(x0)；求平均变化率：；取极限，得导数：f(x0) .题型一求平均变化率例1求函数yf(x)2x23在x0到x0x之间的平均变化率，并求当x02，x时该函数的平均变化率.解当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为4x02x.当x02，x时，平均变化率的值为4229.反思与感悟平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间x0，x0x上的平均变化率问题，即求的值.跟踪训练1(1)已知函数yf(x)2x21的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1x,1y)，则 .答案2x4解析因为yf(1x)f(1)2(x)24x，所以平均变化率2x4.(2)求函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率(x00).解yf(x0x)f(x0)，.题型二实际问题中的瞬时速度例2一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s).(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度.解(1)初速度v0 (3t)3.即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬 (t1)1.即此物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反.(3)1.即t0到t2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，t趋近于0，指时间间隔t越来越小，但不能为0，t，s在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为sgt2，其中g为重力加速度，g9.8米/平方秒(s的单位：米).(1)求t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度；(2)求t3秒时的瞬时速度.解(1)当t在区间3,3.1上时，t3.130.1(秒)，ss(3.1)s(3)g3.12g322.989(米).29.89(米/秒).同理，当t在区间3,3.01上时，29.449(米/秒)，当t在区间3,3.001上时，29.404 9(米/秒)，当t在区间3,3.000 1上时，29.400 49(米/秒).(2)g(6t)， g(6t)3g29.4(米/秒).所以t3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒.题型三函数在某点处的导数例3求函数yx在x1处的导数.解y(1x)(1)x，1， (1)2，从而y|x12.反思与感悟求函数在xx0处的导数的步骤：(1)求函数值的增量，yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率，；(3)取极限，f(x0) .跟踪训练3求函数y在x2处的导数；解y1， 1.因对导数的概念理解不到位致误例4设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)已知，求下列各式的极限值.(1) ；(2) .错解(1) f(x0).(2) f(x0).错因分析在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x是哪种形式，y必须选择相对应的形式.如(1)中x的改变量为xx0(x0x)，(2)中x的改变量为2h(x0h)(x0h).正解(1) f(x0).(2) f(x0).防范措施自变量的改变量x的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量x应满足()A.x0 B.x0C.x0 D.x可为任意实数答案C解析因平均变化率为，故x0.2.沿直线运动的物体从时间t到tt时，物体的位移为s，那么 为()A.从时间t到tt时物体的平均速度B.t时刻物体的瞬时速度C.当时间为t时物体的速度D.从时间t到tt时位移的平均变化率答案B解析，而 则为t时刻物体的瞬时速度.3.函数f(x)在x1处的导数为 .答案解析yf(1x)f(1)1，f(1) .4.设f(x)在x0处可导，若 A，则f(x0) .答案A解析 3 3f(x0)A.故f(x0)A.5.以初速度为v0(v00)作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为s(t)v0tgt2，求物体在t0时刻的瞬时加速度.解sv0(t0t)g(t0t)2v0t0gt(v0gt0)tg(t)2，v0gt0gt.当t0时，v0gt0.物体在t0时刻的瞬时速度为v0gt0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v(t)v0gt，g.当t0时，g.故物体在t0时刻的瞬时加速度为g.1.求平均变化率的步骤：(1)求y，x.(2)求.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求s及t.(2)求.(3)求 .3.利用定义求函数f(x)在xx0处的导数：(1)求函数的改变量yf(x0x)f(x0).(2)求.(3)y| .一、选择题1.质点运动规律st23，则在时间3,3t中，相应的平均速度等于()A.6t B.6tC.3t D.9t答案A解析因为6t.故选A.2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()A.f(x)a B.f(x0)aC.f(x)b D.f(x0)b答案B解析由导数定义得f(x0) a.故选B.3如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是() A.1 B.1C.2 D.2答案B解析 1.4.如果某物体的运动方程为s2(1t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()A.4.8 m/s B.0.88 m/sC.0.88 m/s D.4.8 m/s答案A解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.5.设函数f(x)可导，则 等于()A.f(1) B.3f(1) C.f(1) D.f(3)答案A解析 f(1).6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A.1秒末 B.1秒末和2秒末C.4秒末 D.2秒末和4秒末答案D解析据导数的定义，得st26t8，令s0，即t26t80.解得t2或t4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末.二、填空题7.已知函数y3，当x由2变到1.5时，函数的增量y .答案解析yf(1.5)f(2)1.8.已知函数f(x)，则f(1) .答案解析f(1) .9.如图所示，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 .答案x3，x4解析由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均变化率分别为：，结合图象可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x4.10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a5105 m/s2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6103 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为 m/s.答案800解析运动方程为sat2.sa(t0t)2atat0ta(t)2，at0at，v at0.又a5105 m/s2，t01.6103 s，vat08102800(m/s).三、解答题11.求函数yf(x)2x24x在x3处的导数.解y2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x，2x16.y|x3 (2x16)16.12.若函数f(x)ax2c，且f(1)2，求a的值.解f(1x)f(1)a(1x)2caca(x)22ax.f(1) (ax2a)2a，即2a2，a1.13.试比较正弦函数ysin x在x0和x附近的平均变化率哪一个大.解当自变量从0变到x时，函数的平均变化率为k1.当自变量从变到x时，函数的平均变化率为k2.由于是在x0和x的附近的平均变化率，可知x较小，但x既可化为正，又可化为负.当x0时，k10，k20，此时有k1k2.当x0时，k1k2.x0，x，sin(x)，从而有sin(x)1，sin(x)10，k1k20，即k1k2.综上可知，正弦函数ysin x在x0附近的平均变化率大于在x附近的平均变化率.