1、(完整word)数列大题训练50题1 数列的前n项和为,且满足,.(1)求的通项公式; (2)求和Tn =。2 已知数列,a1=1,点在直线上。(1)求数列的通项公式;(2)函数,求函数最小值。3 已知函数 (a,b为常数)的图象经过点P(1,)和Q(4,8)(1) 求函数的解析式;(2) 记an=log2,n是正整数,是数列an的前n项和,求的最小值。4 已知yf(x)为一次函数,且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列,f(8)15 求f(1)f(2)f(n)的表达式5 设数列的前项和为,且,其中是不等于和0的实常数.(1)求证: 为等比数列;(2)设数列的公比,数列满足,试写出 的通项公
2、式,并求的结果。6 在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN),满足向量与向量共线,且点Bn(n,bn) (nN*)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1,b1与n来表示an;(2)设a1=a,b1=a,且12a15,求数列an中的最小项.7 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同,且对任意的N*都成立,数列是等差数列(1)求数列与的通项公式;(2)问是否存在N,使得?请说明理由8 已知数列(I)试求a2,a3的值;(II)若存在实数为等差数列,试求的值。9 已知数列的前项和为,若,(1)求数列的通项公式;(2)令,当为何正整数值时,:若对一切正
3、整数,总有,求的取值范围。10已知数列的前n项和是n的二次函数,满足且(1)求数列的通项公式; (2)设数列满足,求中数值最大和最小的项。 12已知数列中,,且当时,(1)求数列的通项公式;(2)若的前项和为,求。13正数数列的前项和,满足,试求:(I)数列的通项公式;(II)设,数列的前项的和为,求证:。14已知函数=,数列中,2an+12an+an+1an=0,a1=1,且an0, 数列bn中, bn=f(an1)(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列bn的通项公式;(3)求数列的前n项和Sn.15已知函数abx的图象过点A(4,)和B(5,1)(1)求函数解析式;(2)记anlog2
4、nN,是数列的前n项和,解关于n的不等式 16已知数列的前项的和为,且,。(1)求证:为等差数列;(2)求数列的通项公式17在平面直角坐标系中,已知、,满足向量与向量共线,且点都在斜率6的同一条直线上。(1)证明数列是等差数列;(2)试用与n来表示;(3)设,且12,求数中的最小值的项.18设正数数列的前n项和满足(I)求数列的通项公式;(II)设,求数列的前n项和19已知等差数列an中,a1=1,公差d0,且a2、a5、a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项。()求数列an、bn的通项an、bn;()设数列cn对任意的nN*,均有+an+1成立,求c1+c2+c2005的值。20已
5、知数列满足,且(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)设数列的前项之和,求证:。21设数列an的前n项和为=2n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2 a1) =b1。(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn=, 求数列cn的前n项和Tn.22已知函数与函数0)的图象关于对称.(1) 求;(2) 若无穷数列满足,且点均在函数上,求的值,并求数列的所有项的和(即前项和的极限)。23已知函数(1)求证:数列是等差数列;(2)若数列的前n项和24已知数列和满足:,,,(),且是以为公比的等比数列(I)证明:;(II)若,证明数列是等比数列;(III)求和:25已知a1=
6、2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,(1)证明数列lg(1+an)是等比数列;(2)设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an),求数列an的通项及Tn;26等差数列是递增数列,前n项和为,且a1,a3,a9成等比数列, (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求数列的前n项的和27已知向量且。若与共线,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.28已知:数列满足。(1)求数列的通项;(2)设求数列的前n项和Sn.29对负整数a,数可构成等差数列.(1)求a的值;(2)若数列满足首项为,令,求的通项公式;若对任意,求取值范围。30数列(1
7、)求证:数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)若31已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。()、求数列的通项公式;()、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;32已知数列an的前n项和为Sn,且满足()判断是否为等差数列?并证明你的结论; ()求Sn和an20070209()求证:33若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数有.(1)求;(2)求数列的通项公式;(3)设集合,若等差数列的任一项是的最大数,且,求的通项公式。34已知点列在直线l:y = 2x + 1上,P1为直线l与 y轴的交点,等差数列an的公差为 ()求a
8、n、bn的通项公式;(),求和:C2 + C3 + +Cn;()若,且d1 = 1,求证数列为等比数列:求dn的通项公式 35已知数列是首项为,公比的等比数列,设,数列满足.()求证:数列成等差数列;()求数列的前n项和;()若对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围36已知数列an的前n项和为Sn(),且(1)求证:是等差数列;(2)求an;(3)若,求证:37已知()当,时,问分别取何值时,函数取得最大值和最小值,并求出相应的最大值和最小值;()若在R上恒为增函数,试求的取值范围;()已知常数,数列满足,试探求的值,使得数列成等差数列38在数列(I)求数列的通项公式;(II)求证:39设函
9、数f(x)的定义域为,且对任意正实数x,y都有恒成立,已知(1)求的值;(2)判断上单调性;(3)一个各项均为正数的数列an满足:其中Sn是数列an的前n项和,求Sn与an的值.40已知定义在(1,1)上的函数f (x)满足,且对x,y时,有。(I)判断在(1,1)上的奇偶性,并证明之; (II)令,求数列的通项公式;(III)设Tn为数列的前n项和,问是否存在正整数m,使得对任意的,有成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,则说明理由。41已知,且(1)求的表达式;(2)若关于的函数在区间(-,-1上的最小值为12,求的值。42设不等式组所表示的平面区域为,记内的整点个数为 。(整点即横坐标
10、和纵坐标均为整数的点)(I)求数列的通项公式;(II)记数列的前n项和为,且,若对于一切的正整数n,总有,求实数m的取值范围。43在数列中,,其中 ()求数列的通项公式;()求数列的前项和;()证明存在,使得对任意均成立 44设数列an是首项为4,公差为1的等差数列,Sn为数列bn的前n项和,且(I)求an及bn的通项公式an和bn。(II)若成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;(III)若对任意的正整数n,不等式恒成立,求正数a的取值范围。 45函数的最小值为且数列的前项和为()求数列的通项公式;()若数列是等差数列,且,求非零常数;()若,求数列的最大项46设数列的各项均为正数,
11、它的前项的和为,点在函数的图像上;数列满足其中求数列和的通项公式;设,求证:数列的前项的和() 47设数列;(1)证明:数列是等比数列;(2)设数列的公比求数列的通项公式;(3)记;48已知二次函数满足,且对一切实数恒成立。(1)求 (2)求的表达式;(3)求证:。49在数列中,()若对于,均有成立,求的值; ()若对于,均有成立,求的取值范围; ()请你构造一个无穷数列,使其满足下列两个条件,并加以证明: ; 当为中的任意一项时,中必有某一项的值为1.50对任意都有()求和的值()数列满足:=+,数列是等差数列吗?请给予证明;()令试比较与的大小数列大题训练50题参考答案1 解:(1) ,两
12、式相减,得, ,. (2)=. 2 解 (1)在直线xy+1=0上, 故是首项为1,公差为1的等差数列. (2) 的最小值是 3 解:(1)因为函数f(x)=abx(a,b为常数)的图象经过点P,Q则有 (2)an = log2(n) = log2 = 2n 5 因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 (2n -5) = 2 ;所以an是首项为-3,公差为 2的等差数列 所以 当n=2时,取最小值 4 4 解:设yf(x)kxb( k0),则f(2)2kb,f(5)5kb,f(4)4kb,依题意:f(5)2f(2)f(4)即:(5kb)2(2kb)(4kb),化简得k(17k4b)0k
13、0,bk 又f(8)8kb15 将代入得k4,b17 Snf(1)f(2)f(n)(4117)(4217)(4n17)4(12n)17n2n215n 5 (1),所以是等比数列(2),所以是等差数列(3)6 解:(1)点Bn(n,bn)(nN)都在斜率为6的同一条直线上,=6,即bn+1-bn=6,于是数列bn是等差数列,故bn=b1+6(n-1). 共线。1(-bn)-(1)(an+1-an )=0,即an+1an=bn 当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3a2)+ +(anan1)=a1+b1+b2+b3+bn-1=a1+b1(n1)+3(n1)(n-2) 当n=1时,上式也成立.
14、所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n2)。(2)把a1=a,b1=-a代入上式,得an=aa(n-1)+3(n1)(n2)=3n2-(9+a)n+6+2a。120且bn的最大值为; 当n1005时,g(n)1;当n1006时,g(n)单调递增且gmin(n)g(1006)3此时bn0且bn的最大值为;综上:bn的最大值为,最小值为112(1) 等差数列 (2)错位相减,13(I)由已知,得 作差,得.又因为正数数列,所以,由,得(II),所以=14解:(1)2an+12an+an+1an=0 an0, 两边同除an+1an 数列是首项为1,公差为的等差数列 (2)=an1=bn=f
15、(an1)=f()=n+6 (nN)(3) n+6 (n6, nN)= n6 (n6, nN) (n6, nN) Sn= (n6, nN) 15(1) (2)n=5,6,7,8,9 16解:(1)当时,, , 数列为等差数列 (2)由(1)知, 当时, 17解:(1)点都在斜率为6的同一条直线上,于是数列是等差数列,故 (2)共线,当n=1时,上式也成立。 所以 (3)把代入上式,得,当n=4时,取最小值,最小值为18解:()当时, . , (n. ,得 ,整理得, 。 ,即。 故数列是首项为,公差为的等差数列。 。 () , 。 19解:()由题意,有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+
16、4d)2.而a1=1,d0.d=2,an=2n1。公比q=3,a2=b2=3。bn=b2qn-2=33 n-2=3 n-1。()当n=1时,=a2,c1=13=3.当n2时,-,得cn=2bn= cn=c1+c2+c3+c2005=3+2(31+32+33+32004) =3+2 20(1) 21解:(1)当n=1时 ,a1=S1=2;当n2时,an=Sn Sn1=2n2 2(n1)2=4n2。故数列an的通项公式an=4n2,公差d=4。设bn的公比为q,则b1qd= b1,d=4,q=。bn=b1qn1=2=,即数列 bn 的通项公式bn=。(2)Tn=1+341+542+(2n1)4n1
17、4Tn=14+342+543+(2n1)4n两式相减得3Tn=12(41+42+43+4n1)+(2n1)4n=Tn=22(1)(2) 在上 ,当时 等比且公比为,首项为 等比公比为,首项为1 ,所以的各项和为23解:(1)由已知得:是首项为1,公差d=3的等差数列(2)由24解法:(I)证:由,有, (II)证:,是首项为5,以为公比的等比数列(III)由(II)得,,于是当时,当时,故25解:(1)由已知,两边取对数得,即是公比为2的等比数列。 (2)由(1)知 = 26(1)解:设数列公差为d(d0)a1,a3,a9成等比数列,即 整理得: , 由得:, (2) 27(1) 取得 得:中
18、的奇数项是以为前项,4为公比的等比数列,偶数项是以的前项,4为公比的等比数列(2)当为偶数时,当为奇数时,28()验证n=1时也满足上式:()29(1) 又(2)又 即而30解(1)由题意知:是等比数列(2)由(1)知数列以是a2a1=3为首项,以2为公比的等比数列,所以故a2a1=320,所以a3a2=321,a4a3=322,所以(3)设2得:31解:()设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上,所以3n22n.当n2时,anSnSn1(3n22n)6n5.当n1
19、时,a1S13122615,所以,an6n5 ()()由()得知,故Tn(1).因此,要使(1)()成立的m,必须且仅须满足,即m10,所以满足要求的最小正整数m为10。32解证:() 当n2时, 故是以2为首项,以2为公差的等差数列。 ()由()得 当n2时,当n=1时, ()33解:(1),数列是以为首项,1为公差的等差数列,.(2)由,得。.而当时,.。(3)对任意,所以,即。是中的最大数,。设等差数列的公差为,则。, ,是一个以12为公差的等差数列,,.34解:()在直线 P1为直线l与y轴的交点,P1(0,1) , 又数列的公差为1 () () 是以2为公比,4为首项的等比数列, 3
20、5解:()由题意知, ( ) , 数列是首项,公差的等差数列,其通项为( ) (),( ),于是两式相减得 。 ( )() , ( )当时,当时,即当时,取最大值是 又对一切正整数n恒成立 即得或 36(1),,又 数列是等差数列,且(2)当时,当n=1时,不成立。 (3),.左边显然成立.37解:()当时, (1)时,当时,;当时, (2)当时,当时,;当时, 综上所述,当或4时,;当时, () 在上恒为增函数的充要条件是,解得 (), 当时,即 (1)当n=1时,;当n2时, (2)(1)(2)得,n2时,,即 又为等差数列, 此时 当时 ,即 若时,则(3),将(3)代入(1)得,对一切
21、都成立另一方面,,当且仅当时成立,矛盾不符合题意,舍去。 综合知,要使数列成等差数列,则 38(I)解:由从而由的等比数列故数列 (II) 39140解:(I)令x=y=0,得f(0)=0。又当x=0时,即。对任意时,都有。为奇函数.(II)满足。.在上是奇函数, ,即。是以为首项,以2为公比的等比数列。. (III)=。假设存在正整数m,使得对任意的,有成立,即对恒在立。只需,即故存在正整数m,使得对,有成立.此时m的最小值为10。41解(1)(2),。当即时,函数在区间(,1上是减函数当时,即,又,该方程没有整数解; 当,即时,,解得或(舍去)综上所述,为所求的值42解:(I)由,得或内的
22、整点在直线和上,记直线为l,l与直线的交点的纵坐标分别为,则 (II)当时,且是数列中的最大项,故 43() 解:由,,可得,所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为 ()解:设,当时,式减去式,得, 这时数列的前项和 当时, 这时数列的前项和 ()证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明: 由知,要使式成立,只要,因为 所以式成立 因此,存在,使得对任意均成立 44解:(I)(II)假设符合条件的k(kN*)存在,由于 当k为正奇数时,k + 27为正偶数由 (舍)当k为正偶数时,k + 27为正奇数,由 即(舍)因此,符合条件的正整数k不存在 (III)将不等式
23、变形并把代入得设又, 45解:()由 ,由题意知:的两根,(),为等差数列,经检验时,是等差数列,()46由已知条件得, 当时, 得:,即,数列的各项均为正数,(),又,;,;,,两式相减得,47解:(1)由相减得:是等比数列(2),(3),得:,,所以:48解: (1)根据对一切实数恒成立,令,可得,; (2)设,则,解得又恒成立,即恒成立,解得,, (3)由(2)得,49()解:依题意,,所以,解得,或,符合题意。 (解不等式,即, 得所以,要使成立,则 (1)当时,,而,即,不满足题意. (2)当时,,,满足题意.综上,。 ()解:构造数列:, 。 那么 。 不妨设取,那么,,. 由,可得, (,).因为,所以.又,所以数列是无穷数列,因此构造的数列符合题意。 50解:()因为所以 令,得,即 ()又两式相加所以, 又故数列是等差数列分() 所以 第 32 页 共 32 页