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(完整word)数列大题训练50题1 数列的前n项和为，且满足，.（1）求的通项公式； (2）求和Tn =。2 已知数列，a1=1，点在直线上。（1）求数列的通项公式；（2）函数，求函数最小值。3 已知函数 （a，b为常数)的图象经过点P(1,）和Q（4，8）(1） 求函数的解析式；（2） 记an=log2,n是正整数,是数列an的前n项和，求的最小值。4 已知yf(x）为一次函数,且f（2）、f（5)、f(4）成等比数列,f（8)15 求f（1)f（2)f(n)的表达式5 设数列的前项和为，且,其中是不等于和0的实常数.(1)求证: 为等比数列;（2)设数列的公比，数列满足，试写出 的通项公式，并求的结果。6 在平面直角坐标系中，已知An（n，an）、Bn(n，bn）、Cn(n-1,0)（nN），满足向量与向量共线,且点Bn（n，bn) （nN*）都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1，b1与n来表示an；（2)设a1=a，b1=a,且12a15，求数列an中的最小项.7 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的N*都成立，数列是等差数列（1）求数列与的通项公式；（2)问是否存在N，使得？请说明理由8 已知数列（I)试求a2，a3的值；（II）若存在实数为等差数列，试求的值。9 已知数列的前项和为，若，（1)求数列的通项公式;（2）令，当为何正整数值时，:若对一切正整数，总有，求的取值范围。10已知数列的前n项和是n的二次函数，满足且（1）求数列的通项公式; （2）设数列满足，求中数值最大和最小的项。 12已知数列中，,且当时，（1）求数列的通项公式；（2)若的前项和为，求。13正数数列的前项和，满足,试求：（I）数列的通项公式；(II)设,数列的前项的和为，求证：。14已知函数=,数列中,2an+12an+an+1an=0，a1=1，且an0， 数列bn中, bn=f(an1）（1)求证：数列是等差数列；（2）求数列bn的通项公式；(3)求数列的前n项和Sn.15已知函数abx的图象过点A（4，）和B（5，1）(1）求函数解析式；(2）记anlog2 nN，是数列的前n项和，解关于n的不等式 16已知数列的前项的和为，且，。(1）求证：为等差数列；（2）求数列的通项公式17在平面直角坐标系中，已知、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上。（1）证明数列是等差数列；（2）试用与n来表示;(3)设,且12，求数中的最小值的项.18设正数数列的前n项和满足（I）求数列的通项公式；（II)设，求数列的前n项和19已知等差数列an中，a1=1，公差d0，且a2、a5、a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项。（）求数列an、bn的通项an、bn；(）设数列cn对任意的nN*,均有+an+1成立，求c1+c2+c2005的值。20已知数列满足,且（1）求证:数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；(3）设数列的前项之和，求证:。21设数列an的前n项和为=2n2，bn为等比数列,且a1=b1，b2(a2 a1） =b1。（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=, 求数列cn的前n项和Tn.22已知函数与函数0）的图象关于对称.(1) 求;(2) 若无穷数列满足,且点均在函数上,求的值，并求数列的所有项的和(即前项和的极限)。23已知函数(1）求证：数列是等差数列；(2）若数列的前n项和24已知数列和满足：，,，（），且是以为公比的等比数列（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；（III）求和：25已知a1=2,点(an，an+1）在函数f(x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，（1）证明数列lg（1+an）是等比数列；(2）设Tn=（1+a1) (1+a2) (1+an），求数列an的通项及Tn;26等差数列是递增数列，前n项和为,且a1，a3，a9成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2)若数列满足，求数列的前n项的和27已知向量且。若与共线,（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.28已知:数列满足。（1）求数列的通项;（2）设求数列的前n项和Sn.29对负整数a，数可构成等差数列.（1）求a的值；（2）若数列满足首项为，令,求的通项公式;若对任意，求取值范围。30数列（1）求证:数列是等比数列;（2)求数列的通项公式;(3）若31已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为,点均在函数的图像上。(）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m；32已知数列an的前n项和为Sn，且满足（）判断是否为等差数列？并证明你的结论； （）求Sn和an20070209（)求证：33若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数有.（1)求；（2）求数列的通项公式；（3)设集合，若等差数列的任一项是的最大数，且，求的通项公式。34已知点列在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点,等差数列an的公差为 (）求an、bn的通项公式；(），求和:C2 + C3 + +Cn；（）若，且d1 = 1，求证数列为等比数列：求dn的通项公式 35已知数列是首项为，公比的等比数列,设,数列满足.（)求证：数列成等差数列；（）求数列的前n项和；（）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围36已知数列an的前n项和为Sn()，且(1）求证：是等差数列；（2）求an;（3)若，求证:37已知（）当，时,问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（）若在R上恒为增函数，试求的取值范围；（）已知常数，数列满足，试探求的值，使得数列成等差数列38在数列(I）求数列的通项公式；(II）求证：39设函数f(x）的定义域为,且对任意正实数x，y都有恒成立，已知（1)求的值；（2）判断上单调性；（3)一个各项均为正数的数列an满足：其中Sn是数列an的前n项和，求Sn与an的值.40已知定义在（1，1)上的函数f (x)满足,且对x，y时，有。（I）判断在（1，1）上的奇偶性，并证明之; （II）令，求数列的通项公式；(III)设Tn为数列的前n项和,问是否存在正整数m，使得对任意的,有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由。41已知,且（1)求的表达式；（2）若关于的函数在区间（-，-1上的最小值为12，求的值。42设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为 。（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）(I）求数列的通项公式；（II）记数列的前n项和为，且，若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围。43在数列中，,其中 （)求数列的通项公式；()求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立 44设数列an是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列bn的前n项和，且（I)求an及bn的通项公式an和bn。（II）若成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（III)若对任意的正整数n，不等式恒成立，求正数a的取值范围。 45函数的最小值为且数列的前项和为（)求数列的通项公式；（）若数列是等差数列，且，求非零常数;（)若，求数列的最大项46设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足其中求数列和的通项公式;设，求证：数列的前项的和（） 47设数列;（1）证明:数列是等比数列；（2)设数列的公比求数列的通项公式；（3）记；48已知二次函数满足，且对一切实数恒成立。（1）求 （2）求的表达式;（3）求证：。49在数列中，（）若对于，均有成立，求的值； （）若对于，均有成立，求的取值范围； （）请你构造一个无穷数列,使其满足下列两个条件,并加以证明： ; 当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.50对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+,数列是等差数列吗?请给予证明;（）令试比较与的大小数列大题训练50题参考答案1 解：（1） ，两式相减，得， ,. （2）=. 2 解 （1）在直线xy+1=0上, 故是首项为1，公差为1的等差数列. （2） 的最小值是 3 解:（1）因为函数f（x)=abx(a，b为常数）的图象经过点P，Q则有 （2）an = log2(n) = log2 = 2n 5 因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 （2n -5） = 2 ;所以an是首项为-3,公差为 2的等差数列 所以 当n=2时,取最小值 4 4 解：设yf（x）kxb( k0），则f(2)2kb，f(5）5kb，f（4)4kb，依题意:f（5）2f（2)f(4)即：(5kb)2(2kb)（4kb），化简得k(17k4b）0k0，bk 又f（8)8kb15 将代入得k4，b17 Snf(1)f(2)f(n)(4117)（4217）(4n17）4（12n）17n2n215n 5 （1)，所以是等比数列（2），所以是等差数列（3）6 解：（1)点Bn(n,bn）（nN)都在斜率为6的同一条直线上,=6，即bn+1-bn=6,于是数列bn是等差数列，故bn=b1+6(n-1). 共线。1(-bn）-（1)(an+1-an ）=0,即an+1an=bn 当n2时，an=a1+(a2-a1)+(a3a2)+ +（anan1）=a1+b1+b2+b3+bn-1=a1+b1（n1)+3（n1)(n-2) 当n=1时，上式也成立.所以an=a1+b1（n-1)+3（n-1）（n2）。(2）把a1=a,b1=-a代入上式，得an=aa（n-1)+3（n1）(n2)=3n2-（9+a）n+6+2a。120且bn的最大值为; 当n1005时，g（n）1；当n1006时，g（n）单调递增且gmin（n）g（1006）3此时bn0且bn的最大值为;综上:bn的最大值为，最小值为112(1） 等差数列 （2）错位相减，13（I）由已知，得 作差，得.又因为正数数列，所以，由,得（II），所以=14解：(1）2an+12an+an+1an=0 an0, 两边同除an+1an 数列是首项为1，公差为的等差数列 （2)=an1=bn=f(an1）=f(）=n+6 （nN)（3） n+6 （n6, nN)= n6 (n6， nN) （n6， nN） Sn= (n6, nN) 15（1） (2)n=5，6，7，8，9 16解：（1）当时，, ， 数列为等差数列 (2）由（1）知， 当时， 17解：(1）点都在斜率为6的同一条直线上,于是数列是等差数列，故 （2)共线,当n=1时，上式也成立。 所以 （3）把代入上式，得，当n=4时，取最小值，最小值为18解：（）当时， . ， （n. ，得 ，整理得， 。 ，即。 故数列是首项为,公差为的等差数列。 。 （） ， 。 19解：（)由题意，有 （a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2.而a1=1，d0.d=2,an=2n1。公比q=3,a2=b2=3。bn=b2qn-2=33 n-2=3 n-1。（)当n=1时,=a2，c1=13=3.当n2时，-,得cn=2bn= cn=c1+c2+c3+c2005=3+2(31+32+33+32004） =3+2 20（1) 21解：(1）当n=1时 ，a1=S1=2；当n2时，an=Sn Sn1=2n2 2(n1）2=4n2。故数列an的通项公式an=4n2,公差d=4。设bn的公比为q，则b1qd= b1,d=4，q=。bn=b1qn1=2=，即数列 bn 的通项公式bn=。（2）Tn=1+341+542+（2n1）4n14Tn=14+342+543+(2n1)4n两式相减得3Tn=12(41+42+43+4n1）+(2n1)4n=Tn=22(1）(2) 在上 ,当时 等比且公比为，首项为 等比公比为,首项为1 ，所以的各项和为23解：(1）由已知得：是首项为1，公差d=3的等差数列（2)由24解法：(I)证：由,有， （II）证：，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II)得，,于是当时，当时，故25解:（1)由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列。 (2)由（1）知 = 26(1）解：设数列公差为d(d0)a1，a3，a9成等比数列，即 整理得: , 由得：， (2） 27（1） 取得 得：中的奇数项是以为前项，4为公比的等比数列，偶数项是以的前项,4为公比的等比数列（2）当为偶数时，当为奇数时，28（）验证n=1时也满足上式:（)29（1） 又（2）又 即而30解（1）由题意知：是等比数列（2)由(1）知数列以是a2a1=3为首项,以2为公比的等比数列，所以故a2a1=320，所以a3a2=321，a4a3=322，所以（3）设2得:31解：（）设这二次函数f（x)ax2+bx （a0） ，则 f（x)=2ax+b,由于f（x）=6x2，得a=3 ， b=2， 所以 f（x)3x22x.又因为点均在函数的图像上,所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以,an6n5 （）（）由(）得知，故Tn(1）.因此,要使(1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10。32解证：（） 当n2时, 故是以2为首项，以2为公差的等差数列。 （)由()得 当n2时，当n=1时， （）33解：（1），数列是以为首项，1为公差的等差数列,.(2）由,得。.而当时，.。（3）对任意，所以，即。是中的最大数，。设等差数列的公差为，则。， ，是一个以12为公差的等差数列,，.34解:（）在直线 P1为直线l与y轴的交点，P1（0,1） ， 又数列的公差为1 (） （） 是以2为公比，4为首项的等比数列， 35解:()由题意知， （ ) ， 数列是首项,公差的等差数列，其通项为（ ） （），（ ）,于是两式相减得 。 （ )（) ， （ ）当时,当时，即当时,取最大值是 又对一切正整数n恒成立 即得或 36（1）,，又 数列是等差数列，且(2）当时,当n=1时，不成立。 (3），.左边显然成立.37解：（）当时， （1）时,当时，；当时, （2）当时，当时,；当时， 综上所述，当或4时,;当时， （） 在上恒为增函数的充要条件是，解得 （）, 当时，即 （1）当n=1时，；当n2时， （2）（1）（2）得，n2时,，即 又为等差数列, 此时 当时 ，即 若时，则(3),将（3）代入(1)得，对一切都成立另一方面,，当且仅当时成立，矛盾不符合题意，舍去。 综合知，要使数列成等差数列,则 38(I)解：由从而由的等比数列故数列 （II) 39140解：（I）令x=y=0，得f（0）=0。又当x=0时，即。对任意时，都有。为奇函数.（II）满足。.在上是奇函数, ,即。是以为首项,以2为公比的等比数列。. （III）=。假设存在正整数m,使得对任意的，有成立，即对恒在立。只需，即故存在正整数m，使得对，有成立.此时m的最小值为10。41解(1）（2），。当即时，函数在区间(，1上是减函数当时，即，又,该方程没有整数解； 当，即时,，解得或（舍去）综上所述，为所求的值42解：（I）由，得或内的整点在直线和上，记直线为l,l与直线的交点的纵坐标分别为,则 (II)当时，且是数列中的最大项，故 43() 解：由,，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故,所以数列的通项公式为 (）解：设,当时，式减去式,得， 这时数列的前项和 当时, 这时数列的前项和 (）证明：通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明: 由知，要使式成立，只要，因为 所以式成立 因此，存在，使得对任意均成立 44解：(I）(II）假设符合条件的k(kN*)存在,由于 当k为正奇数时，k + 27为正偶数由 （舍）当k为正偶数时，k + 27为正奇数，由 即（舍）因此，符合条件的正整数k不存在 （III）将不等式变形并把代入得设又， 45解：(）由 ，由题意知：的两根，（），为等差数列，经检验时，是等差数列，（）46由已知条件得， 当时， 得：，即,数列的各项均为正数，(），又，；,;，,两式相减得，47解：（1)由相减得:是等比数列（2），（3)，得：,，所以：48解： (1）根据对一切实数恒成立，令，可得，； （2）设，则,解得又恒成立,即恒成立，解得,， （3）由（2）得，49（）解：依题意,，所以,解得，或，符合题意。 (解不等式，即, 得所以，要使成立，则 （1）当时，,而，即，不满足题意. （2）当时，,，满足题意.综上，。 （）解：构造数列:， 。 那么 。 不妨设取，那么,，. 由，可得， （，).因为,所以.又，所以数列是无穷数列,因此构造的数列符合题意。 50解：（）因为所以 令，得，即 （）又两式相加所以, 又故数列是等差数列分（) 所以 第 32 页 共 32 页