数列大题训练50题.doc

完整word)数列大题训练50题
1 ．数列{}的前n项和为，且满足，.
（1）求｛｝的通项公式； (2）求和Tn =。
2 ．已知数列，a1=1，点在直线上。
（1）求数列的通项公式；
（2）函数，求函数最小值。
3 ．已知函数 （a，b为常数)的图象经过点P(1,）和Q（4，8）
(1） 求函数的解析式；
（2） 记an=log2,n是正整数,是数列{an｝的前n项和，求的最小值。
4 ．已知y＝f(x）为一次函数,且f（2）、f（5)、f(4）成等比数列,f（8)＝15．
求＝f（1)＋f（2)＋…＋f(n)的表达式．
5 ．设数列的前项和为，且,其中是不等于和0的实常数.
(1)求证: 为等比数列;
（2)设数列的公比，数列满足，试写出 的通项公式，并求的结果。
6 ．在平面直角坐标系中，已知An（n，an）、Bn(n，bn）、Cn(n-1,0)（n∈N＊），满足向量与向量共线,且点Bn（n，bn) （n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上.
(1)试用a1，b1与n来表示an；
（2)设a1=a，b1=—a,且12I)试求a2，a3的值；
（II）若存在实数为等差数列，试求λ的值。
9 ．已知数列的前项和为，若，
（1)求数列的通项公式;
（2）令，①当为何正整数值时，:②若对一切正整数，总有，求的取值范围。
10．已知数列的前n项和是n的二次函数，满足且
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列满足，求中数值最大和最小的项。
12．已知数列中，,且当时，
（1）求数列的通项公式；
（2)若的前项和为，求。
13．正数数列的前项和，满足,试求：（I）数列的通项公式；(II)设,数列的前项的和为，求证：。
14．已知函数=,数列中,2an+1－2an+an+1an=0，a1=1，且an≠0， 数列{bn｝中, bn=f(an－1）
（1)求证：数列｛｝是等差数列；
（2）求数列｛bn}的通项公式；
(3)求数列｛}的前n项和Sn.
15．已知函数＝a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）．
(1）求函数解析式；
(2）记an＝log2 n∈N＊，是数列的前n项和，解关于n的不等式
16．已知数列的前项的和为，且，。
(1）求证：为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
17．在平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上。
（1）证明数列是等差数列；（2）试用与n来表示;
(3)设,且12，求数中的最小值的项
18．设正数数列｛｝的前n项和满足．
（I）求数列{}的通项公式；
（II)设，求数列{｝的前n项和．
19．已知等差数列{an｝中，a1=1，公差d〉0，且a2、a5、a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项。
（Ⅰ）求数列｛an｝、｛bn｝的通项an、bn；
(Ⅱ）设数列｛cn｝对任意的n∈N*,均有+…＋＝an+1成立，求c1+c2+…+c2005的值。
20．已知数列{}满足,且
（1）求证:数列{｝是等差数列；（2）求数列｛｝的通项公式；
(3）设数列{｝的前项之和，求证:。
21．设数列｛an}的前n项和为=2n2，｛bn｝为等比数列,且a1=b1，b2(a2 －a1） =b1。
（1）求数列{an｝和｛bn｝的通项公式；
（2）设cn=, 求数列｛cn｝的前n项和Tn.
22．已知函数与函数＞0）的图象关于对称.
(1) 求;
(2) 若无穷数列满足,且点均在函数上,求的值，并求数列的所有项的和(即前项和的极限)。
23．已知函数
(1）求证：数列是等差数列；
(2）若数列的前n项和
24．已知数列和满足：，,，（），且是以为公比的等比数列　
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和：
25．已知a1=2,点(an，an+1）在函数f(x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列｛lg（1+an）}是等比数列；
(2）设Tn=（1+a1) (1+a2) …(1+an），求数列｛an}的通项及Tn;
26．等差数列是递增数列，前n项和为,且a1，a3，a9成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2)若数列满足，求数列的前n项的和．
27．已知向量且。若与共线,
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
28．已知:数列满足。
（1）求数列的通项;
（2）设求数列的前n项和Sn.
29．对负整数a，数可构成等差数列.
（1）求a的值；
（2）若数列满足首项为，①令,求的通项公式;②若对任意，求取值范围。
30．数列
（1）求证:数列是等比数列;
（2)求数列{}的通项公式;
(3）若
31．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为,点均在函数的图像上。
(Ⅰ）、求数列的通项公式；
（Ⅱ）、设，是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m；
32．已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足
（Ⅰ）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（Ⅱ）求Sn和an
20070209
（Ⅲ)求证：
33．若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数有.
（1)求；
（2）求数列的通项公式；
（3)设集合，若等差数列的任一项是的最大数，且，求的通项公式。
34．已知点列在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点,等差数列｛an}的公差为
(Ⅰ）求｛an}、｛bn}的通项公式；
(Ⅱ），求和:C2 + C3 + … +Cn；
（Ⅲ）若，且d1 = 1，求证数列为等比数列：求｛dn}的通项公式
35．已知数列是首项为，公比的等比数列,设,数列满足.
（Ⅰ)求证：数列成等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和；
（Ⅲ）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
36．已知数列｛an｝的前n项和为Sn()，且
(1）求证：是等差数列；
（2）求an;
（3)若，求证:
37．已知
（Ⅰ）当，时,问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在R上恒为增函数，试求的取值范围；
（Ⅲ）已知常数，数列满足，试探求的值，使得数列成等差数列．
38．在数列
(I）求数列的通项公式；
(II）求证：
39．设函数f(x）的定义域为,且对任意正实数x，y都有恒成立，已知
（1)求的值；
（2）判断上单调性；
（3)一个各项均为正数的数列{an｝满足：其中Sn是数列{an}的前n项和，求Sn与an的值.
40．已知定义在（－1，1)上的函数f (x)满足,且对x，y时，有。
（I）判断在（－1，1）上的奇偶性，并证明之;
（II）令，求数列的通项公式；
(III)设Tn为数列的前n项和,问是否存在正整数m，使得对任意的,有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由。
41．已知,且
（1)求的表达式；
（2）若关于的函数在区间（-，-1］上的最小值为12，求的值。
42．设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为 。（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
(I）求数列的通项公式；
（II）记数列的前n项和为，且，若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围。
43．在数列中，,其中
（Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立
44．设数列｛an｝是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且
（I)求{an}及｛bn}的通项公式an和bn。
（II）若成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（III)若对任意的正整数n，不等式恒成立，求正数a的取值范围。
45．函数的最小值为且数列的前项和为．
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数;
（Ⅲ)若，求数列的最大项．
46．设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足．其中．
⑴求数列和的通项公式;
⑵设，求证：数列的前项的和（）．
47．设数列;
（1）证明:数列是等比数列；
（2)设数列的公比求数列的通项公式；
（3）记；
48．已知二次函数满足，且对一切实数恒成立。
（1）求 （2）求的表达式;
（3）求证：。
49．在数列中，，，
（Ⅰ）若对于，均有成立，求的值；
（Ⅱ）若对于，均有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）请你构造一个无穷数列,使其满足下列两个条件,并加以证明：
① ;
② 当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.
50．对任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）数列满足：=+,数列是等差数列吗?请给予证明;
（Ⅲ）令试比较与的大小．

数列大题训练50题
参考答案
1 ．解：（1） ∵ ，两式相减，得，
∴ ,
∴.
（2
=
==.
2 ．解 （1）∵在直线x－y+1=0上,
∴ 故是首项为1，公差为1的等差数列.
∴
（2）∵
∴ ∴的最小值是
3 ．解:（1）因为函数f（x)=abx(a，b为常数）的图象经过点P，Q则有

（2）an = log2(n) = log2 = 2n — 5
因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 —（2n -5） = 2 ;
所以｛an｝是首项为-3,公差为 2的等差数列
所以 当n=2时,取最小值 — 4
4 ．解：设y＝f（x）＝kx＋b( k≠0），则f(2)＝2k＋b，f(5）＝5k＋b，f（4)＝4k＋b，
依题意:［f（5）]2＝f（2)·f(4)．
即：(5k＋b)2＝(2k＋b)（4k＋b），化简得k(17k＋4b）＝0．
∵k≠0，∴b＝－k ①
又∵f（8)＝8k＋b＝15 ②
将①代入②得k＝4，b＝－17．
∴Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(4×1－17)＋（4×2－17）＋…＋(4n－17）
＝4（1＋2＋…＋n）－17n＝2n2－15n．
5 ．（1)，所以是等比数列
（2），所以是等差数列

（3）
6 ．解：（1)∵点Bn(n,bn）（n∈N＊)都在斜率为6的同一条直线上,
∴=6，即bn+1-bn=6,
于是数列｛bn}是等差数列，故bn=b1+6(n-1).
∵共线。
∴1×(-bn）-（—1)(an+1-an ）=0,即an+1—an=bn
∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3—a2)+ …+（an—an—1）=a1+b1+b2+b3+…+bn-1
=a1+b1（n—1)+3（n—1)(n-2)
当n=1时，上式也成立.
所以an=a1+b1（n-1)+3（n-1）（n—2）。
(2）把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a—a（n-1)+3（n—1）(n—2)=3n2-（9+a）n+6+2a。
∵12n取最小值，最小值为a4=18-2a。
7 ．解：（1）已知…N＊） 　 ①
时，…N*）　 ②
①—②得，,求得，
在①中令,可得得,
所以N＊）．
由题意，，，所以，，
∴数列的公差为,
∴，

N*)．
（2），
当时，单调递增，且,
所以时，，
又，
所以，不存在N＊，使得．
8 ．（I）解 依a1=5可知：a2=23, a3=95
（II）解 设 若｛bn}是等差数列，则有2b2=b1+b3
即

得
事实上，
因此,存在、公差是1的等差数列
9 ．解:（1)令，，即
由
∵，∴,即数列是以为首项为公差的等差数列， ∴
(2)①，即
②∵，又∵时，
∴各项中数值最大为，∵对一切正整数，总有恒成立,因此
10．依题意设
（1），∴ ①
又∴ ②
由①、②得所以
又
而符合上式，∴
（2）
当时，是增函数，因此为的最小项，且
又，所以中最大项为,最小项为。
11．（1）由y＝得 x＝，∴
又an＋1＝f—1（an）(n），∴an＋1＝
a1＝ ,an＋1＝ ，∴an（nN＋）
∴且
∴｛}是以－2007为首项， 2为公差的等差数列
∴
∴为所求
（2）由（1）知bn＝，
记g（n）＝（2n－2009)(2n－2011）（nN＋）
当1≤n≤1004时，g（n）单调递减且gmin（n)＝g（1004）＝3
此时bn>0且bn的最大值为; 当n＝1005时，g（n）＝－1；
当n≥1006时，g（n）单调递增且gmin（n）＝g（1006）＝3此时bn〉0且bn的最大值为;
综上:bn的最大值为，最小值为－1
12．(1）
等差数列

（2）错位相减，
13．（I）由已知，得
作差，得.
又因为正数数列，所以，由,得
（II），
所以……=
14．解：(1）2an+1－2an+an+1an=0 ∵an≠0, 两边同除an+1an

∴数列{｝是首项为1公差为的等差数列
（2)∵=
∴an－1=
∵bn=f(an－1）=f(）=－n+6 （n∈N)
（3） －n+6 （n≤6, n∈N)
= n－6 (n>6， n∈N)
（n≤6， n∈N）
∴Sn= (n〉6, n∈N)
15．（1）
(2)n=5，6，7，8，9
16．解：（1）当时，，∴,
∴， ∴数列为等差数列．
(2）由（1）知，，
∴．
当时，，
∴
17．解：(1）∵点都在斜率为6的同一条直线上,

于是数列是等差数列，故
（2)共线,

当n=1时，上式也成立。
所以
（3）把代入上式，
得
，
∴当n=4时，取最小值，最小值为
18．解：（Ⅰ）当时，，∴ .
∵ ， ①
∴ （n. ②
①－②，得 ，
整理得，，
∵ ∴ 。
∴ ，即。
故数列是首项为,公差为的等差数列。
∴ 。
（Ⅱ）∵ ，
∴

。
19．解：（Ⅰ)由题意，有 （a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2.
而a1=1，d>0.∴d=2,∴an=2n—1。
公比q==3,a2=b2=3。
∴bn=b2·qn-2=3·3 n-2=3 n-1。
（Ⅱ)当n=1时,=a2，∴c1=1×3=3.
当n≥2时，∵ ……①
……②
②-①,得∴cn=2bn=
∴cn=
∴c1+c2+c3+…+c2005=3+2(31+32+33+…+32004） =3+2·
20．（1)

21．解：(1）∵当n=1时 ，a1=S1=2；
当n≥2时，an=Sn －Sn－1=2n2 －2(n－1）2=4n－2。
故数列{an｝的通项公式an=4n－2,公差d=4
设｛bn}的公比为q，则b1qd= b1,∵d=4，∴q=。∴bn=b1qn－1=2×=，
即数列{ bn }的通项公式bn=。
（2）∵
∴Tn=1+3·41+5·42+······+（2n－1）4n－1
∴4Tn=1·4+3·42+5·43+······+(2n－1)4n
两式相减得3Tn=－1－2(41+42+43+······+4n－1）+(2n－1)4n=
∴Tn=
22．(1）
(2) 在上
,当时
等比且公比为，首项为 等比公比为,首项为1 ，所以的各项和为
23．解：(1）由已知得：
是首项为1，公差d=3的等差数列
（2)
由

24．解法：(I)证：由,有， 　
（II）证：，
，，

是首项为5，以为公比的等比数列　
（III）由（II)得，,于是

当时，　
当时，

故
25．解:（1)由已知，
，，两边取对数得，即
是公比为2的等比数列。
(2)由（1）知
=
26．(1）解：设数列公差为d(d＞0)
　　∵a1，a3，a9成等比数列，∴，即
　　整理得:
∵,∴　 　①
　　∵ ∴　 　②
　　由①②得：，
∴
(2）
∴

27．（1） ①
取得
②
②①得：
中的奇数项是以为前项，4为公比的等比数列，偶数项是以的前项,4为公比的等比数列

（2）当为偶数时，

当为奇数时，

28．（Ⅰ）

验证n=1时也满足上式:
（Ⅱ)

29．（1） 又
（2）①
又
②
即
而

30．解（1）由题意知：
是等比数列
（2)由(1）知数列以是a2－a1=3为首项,
以2为公比的等比数列，所以
故a2－a1=3·20，所以a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，
所以
（3）
设①
2②
①—②得:

31．解：（Ⅰ）设这二次函数f（x)＝ax2+bx （a≠0） ，则 f`（x)=2ax+b,由于f`（x）=6x－2，得
a=3 ， b=－2， 所以 f（x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上,所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以,an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由(Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝(1－）.
因此,要使(1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10。
32．解证：（Ⅰ）
当n≥2时,
故是以2为首项，以2为公差的等差数列。
（Ⅱ)由(Ⅰ)得
当n≥2时，
当n=1时，
（Ⅲ）

33．解：（1），
∴数列是以为首项，—1为公差的等差数列,
.
(2）由,得。
.
而当时，.
。
（3）对任意，
所以，即。
是中的最大数，。
设等差数列的公差为，则。
， ，
是一个以—12为公差的等差数列,
，
.
34．解:（Ⅰ）在直线
∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0,1） ，
又数列的公差为1

(Ⅱ）

（Ⅲ）
是以2为公比，4为首项的等比数列，

35．解:(Ⅰ)由题意知， （ )
∵，
∴
∴数列是首项,公差的等差数列，
其通项为（ ）．

（Ⅱ）∵，（ ）
∴,
于是
两式相减得

。
∴ （ )
（Ⅲ)　∵ ， （ ）
∴当时,
当时，，即
∴当时,取最大值是
又对一切正整数n恒成立 ∴
即得或
36．（1）∵,∴，又∵ ∴
∴数列是等差数列，且
(2）当时,
当n=1时，不成立。 ∴
(3），∴.
∴左边显然成立.
37．解：（Ⅰ）当时，
（1）时,
当时，；当时,
（2）当时，
当时,；当时，
综上所述，当或4时,;当时，
（Ⅱ）
在上恒为增函数的充要条件是，解得
（Ⅲ）,
① 当时，，即 （1）
当n=1时，；当n≥2时， （2）
（1）—（2）得，n≥2时,，即
又为等差数列,∴ 此时
②当时 ，即 ∴
若时，则(3),将（3）代入(1)得，
对一切都成立
另一方面,，当且仅当时成立，矛盾
不符合题意，舍去。
综合①②知，要使数列成等差数列,则
38．(I)解：由
从而由

的等比数列

故数列
（II)

39．1°

40．解：（I）令x=y=0，得f（0）=0。
又当x=0时，即。
∴对任意时，都有。
为奇函数.
（II）满足
。.
在上是奇函数, ∴,即。
是以为首项,以2为公比的等比数列。.
（III）=。
假设存在正整数m,使得对任意的，
有成立，
即对恒在立。
只需，即
故存在正整数m，使得对，有成立.
此时m的最小值为10。
41．解(1）
（2）∵，∴，
∴。
①当即时，函数在区间(—，—1]上是减函数
∴当时，即，
又,∴该方程没有整数解；
②当，即时,
∴，解得或（舍去）
综上所述，为所求的值
42．解：（I）由，得
或
∴内的整点在直线和上，记直线为l,l与直线的交点的纵坐标分别为,则

(II)

∴当时，，且
是数列中的最大项，故
43．(Ⅰ) 解：由,，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故,所以数列的通项公式为
(Ⅱ）解：设,　　　①
　　　　　　　　②
当时，①式减去②式,
得，

这时数列的前项和
当时, 这时数列的前项和
(Ⅲ）证明：通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:
　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因为

所以③式成立
因此，存在，使得对任意均成立
44．解：(I）

(II）假设符合条件的k(k∈N*)存在,
由于 ∴当k为正奇数时，k + 27为正偶数
由 （舍）
当k为正偶数时，k + 27为正奇数，
由 即（舍）
因此，符合条件的正整数k不存在
（III）将不等式变形并把代入得

设

又，

45．解：(Ⅰ）由
，，
由题意知：的两根，

（Ⅱ），
为等差数列，，，
经检验时，是等差数列，
（Ⅲ）

46．⑴由已知条件得， ①
当时，， ②
①－②得：，即,
∵数列的各项均为正数，∴(），
又，∴；
∵,
∴,∴;
⑵∵，
∴，
,
两式相减得，
∴．

47．解：（1)由
相减得:是等比数列
（2），

（3)，
①
②
①－②得：,
，
所以：
48．解： (1）根据对一切实数恒成立，
令，可得，；
（2）设，则,解得
又恒成立,即恒成立，
，解得,，
（3）由（2）得，

49．（Ⅰ）解：依题意,，
所以,解得，或，符合题意。
(Ⅱ解不等式，即, 得
所以，要使成立，则
（1）当时，,
而，即，不满足题意.
（2）当时，，,，满足题意.
综上，。
（Ⅲ）解：构造数列:， 。 那么 。 不妨设取，
那么,，，，
. 由，可得， （，).
因为,所以.
又，所以数列是无穷数列,因此构造的数列符合题意。
50．解：（Ⅰ）因为．所以．
令，得，即．
（Ⅱ）
又
两式相加
．
所以,
又．故数列是等差数列．分
（Ⅲ)

所以

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