2019届山西省高三考前适应性训练二(二模)数学(理)试题(解析版).doc

2019届山西省高三考前适应性训练二（二模）数学（理）试题

一、单选题
1．已知集合，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解一元二次不等式求得集合，然后求两个集合的交集.
【详解】
由，解得，所以，故选C.
【点睛】
本小题主要考查两个集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．设命题 ，则为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断出正确选项.
【详解】
原命题是特称命题，否定是全称命题，注意要否定结论，故本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.
3．已知向量满足，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对两边平方，利用数量积的运算公式，求得两个向量的夹角.
【详解】
对两边平方得，即，解得.故选A.
【点睛】
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，考查向量夹角的计算，属于基础题.
4．椭圆C：的右焦点为F，过F作轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意得出两点的坐标，利用列方程，化简后求得椭圆的离心率.
【详解】
过作轴的垂线交椭圆于两点，故，由于三角形是直角三角形，故，即，也即，化简得，，解得，故选C.
【点睛】
本小题主要考查直线与椭圆的交点，考查椭圆离心率的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
5．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和在内的单调性，对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.
【详解】
对于A选项，由于函数的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排除A选项.对于B选项，由于，所以函数不是奇函数，排除B选项.对于C选项，眼熟在上递增，在上递减，排除C选项.由于A,B,C三个选项不正确，故本小题选D.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的定义域，属于基础题.
6．如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q—BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】根据三棱锥的正视图确定的位置，由此画出俯视图并计算出俯视图的面积.
【详解】
由正视图可知，为的中点，两点重合，是的中点.画出图像如下图所示，三角形即是几何体的俯视图..故选D.

【点睛】
本小题主要考查由三视图还原原图，考查俯视图面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.
7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为

A．－2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】运行程序，计算的值，当时，输出的值.
【详解】
运行程序，，，判断否，，判断否，，判断否，，判断否，周期为，以此类推，，判断否，，判断否，，判断是，输出.故选A.
【点睛】
本小题主要考查计算循环结构程序框图输出结果，属于基础题.
8．以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】计算出题目所给几何体的体积，除以正方体的体积，由此求得相应的概率.
【详解】
画出图像如下图所示，几何体为，为正四棱锥.设正方体的边长为，故，故，所以概率为，故选C.

【点睛】
本小题主要考查几何概型概率计算，考查椎体的体积计算，属于基础题.
9．函数在上的值域为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用特殊角的三角函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】
由于，故排除A,C选项.由于，故排除D选项.故本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查三角函数的值域，属于基础题.
10．双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C的右支相交于P，若，则双曲线C渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求得点的坐标，利用双曲线的定义求得，并由此列方程，解方程求得的值，进而求得的值，由此求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
由，解得，根据双曲线的定有，双曲线的焦点，故，两边平方化简得，即，解得，故，所以，即双曲线的渐近线方程为，故选C.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义，考查双曲线和直线交点坐标的求法，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.
11．电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte=8bit，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为
A．254 B．381 C．510 D．765
【答案】B
【解析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.
【详解】
恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，，，，，，，共个.转化为十进制并相加得 ，故选B.
【点睛】
本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.
12．函数的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．与a有关
【答案】A
【解析】利用导数求得函数的最小值，这个最小值为正数，由此判断函数没有零点.
【详解】
依题意，令.，，令，解得，故函数在上递减，在上递增，函数在处取得极小值也即是最小值，，由于，故，也即是函数的最小值为正数，故函数没有零点.故选A.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，综合性较强，属于中档题.

二、填空题
13．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则________．

【答案】
【解析】根据图像求得点A,B对应的复数，然后求的值.
【详解】
由图像可知，故.
【点睛】
本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应，属于基础题.
14．某校高三(1)班，高三(2)班，高三(3)班分别有3人，2人，1人被评为该校“三好学生”．现需从中选出4人入选市级“三好学生”，并要求每班至少有1人入选，则不同的人选方案共有____种(用数字作答)．
【答案】9
【解析】利用列举法列举出所有可能的方法数.
【详解】
给学生编号，（1）班为，（2）班为，（3）班为，则符合题意的选法为：1246，1256，1346，1356，2346，2356，1456，2456，3456，共种.
【点睛】
本小题主要考查利用列举法求解简单的排列组合问题.
15．_____．
【答案】
【解析】先求得的和，然后利用裂项求和法求得表达式的值.
【详解】
由于，而，所以所求表达式.
【点睛】
本小题主要考查等差数列前项和，考查裂项求和法，属于基础题.
16．已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，AB=4，AD=2，BC=，则四面体ABCD体积的最大值为_______。
【答案】
【解析】根据为直径得出三角形和三角形是直角三角形，当平面平面时，四面体的体积取得最大值.计算出三角形的高和三角形的面积，由此计算出最大体积.
【详解】
由于为直径，故三角形和三角形是直角三角形，三角形和三角形是直角三角形，,.设三角形中边上的高为，由等面积公式得.当平面平面时，四面体的体积取得最大值..
【点睛】
本小题主要考查球的几何性质，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.

三、解答题
17．在△ABC中，已知的平分线BD交AC于点D，BA=2BC。
(1)求与△BDA的面积之比；
(2) ，求边BC的长．
【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）根据三角形面积公式求得面积的表达式，然后根据角度和边长求得面积的比值.（2）根据（1）中求得的面积比求得，然后利用余弦定理列方程，解方程求得长.
【详解】
（1）设与的面积分别为，则,.因为平分，所以.又因为，所以,即.
(2)设则.由（1）得，所以.在中，由余弦定理得，解得，即.
【点睛】
本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，属于中档题.
18．如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形， ，M是线段DE上的点，满足DM=2ME．

(1)证明：BE//平面MAC；
(2)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接，交于，连接，利用比例证得，由此证得平面（2）以的方向为轴，建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此求得线面角的正弦值.
【详解】
（1）连接，交于，连接，由于，所以.所以.由于平面，平面，所以平面

（2）因为平面平面，，所以平面，可知两两垂直，分别以的方向为轴，建立空间直角坐标系.设则，.设平面的法向量，则，令，得平面的一个法向量，而，设所求角为，则.故直线与平面所成的角的正弦值为.

【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求线面角的正弦值，属于中档题.
19．如图，抛物线的焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线E及其准线相交于A，B，C三点，过F斜率为的直线与E及其准线相交于M，N，P三点．

(1)若；
(2)若的倾斜角互补，的面积比为4：1，求直线的方程．
【答案】（1）8；（2）或
【解析】（1）写出直线的方程，代入抛物线方程，求得，由弦长公式求得.
（2）设出直线的方程，代入抛物线方程，求得，根据相似三角形以及对称性，利用列方程，解方程求得点坐标，进而求得的方程.根据的倾斜角互补可求得的方程.
【详解】
（1），代入中得设，则，所以.
（2）设，设，代入得，则，由及对称性得，把代入上式得，令，解得.所以，由于的倾斜角互补，故.
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：

将频率作为概率，解答下列问题：
(1)当时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率；
(2)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个，求的值(每组数据以中点值代替)；

(3)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C级；达到200但未达280的员工为B级；其他员工为A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】（1）0.42；（2）；（3）
【解析】（1）先求得的值，然后求得员工日加工零件数达到及以上的频率，根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率.

（2）先求得的值，然后根据平均数的估计值列方程，求得的值，进而求得的值.
（3）的可能取值为，列出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）依题意，故员工日加工零件数达到及以上的频率为，所以相应的概率可视为，设抽取的名员工中，加工零件数达到及以上的人数为，则,故所求概率为.
（2）根据后三组数据对应频率分布直方图的纵坐标为，可知，解得，因此，故根据频率分布直方图得到的样本平均数估计值为，解得，进而，故.
(3)由已知可得的可能取值为20,30,50，
且，所以的分布列为

所以.
【点睛】
本小题主要考查频率分布直方图，考查离散型随机变量分布列和数学期望的求法，属于中档题.
21．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若的图象总在的图象下方(其中为的导函数)，求的取值范围．
【答案】（1）增区间，减区间；（2）
【解析】（1）当时，利用的导数求得函数的单调区间.

（2）原命题等价于恒成立，分离常数得恒成立，利用导数求得的最大值为，即.
【详解】
（1）当时，，故函数的递增区间为，减区间为.

（2）由题意得恒成立，即恒成立.令，则令，则，令，则，当时，，递增；当时，，递减，所以，所以，所以在上递减，，所以当时，，递增，当时，，递减.所以，故.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22．已知直线的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，求直线倾斜角的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）把代入曲线的方程，化简求得曲线的直角坐标方程；

（2）设出直线的方程，根据列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得倾斜角.
【详解】
（1）把代入曲线的方程得.

（2）易知直线的斜率存在，可设直线的方程为，设圆心到直线的距离为，由直角三角形可知，所以，解得或，所以或.
【点睛】
本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线和圆相交的弦长公式，属于中档题.
23．已知函数．
(1)当时，画出函数的图象；
(2)不等式恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）当时，求得表达式，进而画出函数图像.（2）求得的最小值为，由此得到成立，利用零点分段法解绝对值不等式求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，，画出图像如下图所示：

（2）因为，所以不等式成立，等价于成立，该不等式转化为或或，解得.
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值的函数图像的画法，考查绝对值不等式的解法，属于中档题.

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