第13讲-等腰三角形的判定.doc

新课标八年级数学竞赛讲座
第十二讲 等腰三角形的判定
由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等， 实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．

1. 如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是 cm． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
2.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( ) (江苏省竞赛题)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．(天津市竞赛题)
4.如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．
(1)求证：AN=BM；
(2)求证：△CEF是等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．(荆门市中考题)

5. 如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD． (武汉市选拔赛试题)
6．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上) (天津市中考题)
7．如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于( )
A．58° B．32° C．36° D．34°

8．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，则AC与2AB之间的关系是( ) (山东省竞赛题)
A．AC>2AB B．AC＝2AB C．AC≤2AB D．AC<2AB
9．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) (“希望杯”邀请赛试题)
A．30° B．30°或150°C． 120°或150° D．30°或120°或150°

12．如图，在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．(全国初中数学竞赛)
13，如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求证：AC=BD+DC． (天津市竞赛题)
14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．