贵州省黔西南自治州兴仁市凤凰中学2025年高二数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

贵州省黔西南自治州兴仁市凤凰中学2025年高二数学第二学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
3．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（ ）

A． B．
C． D．
4．已知函数，正实数满足且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为
A．，2 B．， C．，2 D．，4
5．已知是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为，则到这个四面体各面的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
6．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知，若函数在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m的取值范围是（　）
A． B．（ C． D．
9．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为李明根据所学的椭圆知识，得到下列结论：

①卫星向径的最小值为，最大值为；
②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁；
③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
其中正确结论的个数是
A． B． C． D．
10．已知，，，成等差数列，，，成等比数列，则（ ）
A． B． C．或 D．或
11．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知米，点C位于BD上，则山高AB等于()

A．100米 B．米 C．米 D．米
12．集合，，则=( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆锥的母线长是，高是，则其侧面积是________.
14．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用表示取到次品的件数，则的概率是_______；_______．
15．在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）
16．若关于的不等式的解集为，则实数____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若，，二面角的平面角的余弦值为，求的正弦值．
18．（12分）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在上的最小值为，求的值.
19．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆的圆心重合.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设定点，当P点在C上何处时，的值最小，并求最小值及点P的坐标；
（3）若弦过焦点，求证：为定值.
20．（12分）己知抛物线的顶点在原点，焦点为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）是抛物线上一点，过点的直线交于另一点，满足与在点处的切线垂直，求面积的最小值，并求此时点的坐标。

21．（12分）设复数（其中），．
（Ⅰ）若是实数，求的值；
（Ⅱ）若是纯虚数，求．
22．（10分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:
（1）第一次抽到次品的概率；
（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分别化简集合和，然后直接求解即可
【详解】
∵，，∴.
本题考查集合的运算，属于基础题
2、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
3、D
【解析】
首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.
【详解】
解：因为直角三角形的斜边为，，，
所以，
以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.
所以图形总面积，，所以.
故选：
本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.
4、A
【解析】
试题分析：画出函数图像，因为正实数满足且，且在区间上的最大值为1，所以=1，由解得，即的值分别为，1．故选A．
考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．
点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n的方程．
5、A
【解析】
先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离.
【详解】
解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，
设它到四个面的距离分别为，
由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是；
又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，
又高为，
所以底面中心到底面顶点的距离都是；
由此知顶点到底面的距离是；
此正四面体的体积是.
所以：，
解得.
故选：A.
本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.
6、C
【解析】
根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，第一循环：，能被3整除，不成立，
第二循环：，不能被3整除，不成立，
第三循环：，不能被3整除，成立，
终止循环，输出，故选C．
本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7、A
【解析】
根据框图，模拟计算即可得出结果.
【详解】
程序执行第一次，，，第二次，，第三次，，第四次，，跳出循环，输出，故选A.
本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.
8、B
【解析】
通过参变分离、换元法，把函数的零点个数转化成直线与抛物线的交点个数.
【详解】
，
函数在有两个不同零点方程在有两个不同的根，设，
在有且仅有两个不同的根与抛物线有且仅有两个不同的交点，

通过换元把复杂的分式函数转化为熟知的二次函数，但要注意换元后新元的取值范围.
9、C
【解析】
根据椭圆的焦半径的最值来判断命题①，根据椭圆的离心率大小与椭圆的扁平程度来判断命题②，根据题中“速度的变化服从面积守恒规律”来判断命题③。
【详解】
对于命题①，由椭圆的几何性质得知，椭圆上一点到焦点距离的最小值为，最大值为，所以，卫星向径的最小值为，最大值为，结论①正确；
对于命题②，由椭圆的几何性质知，当椭圆的离心率越大，椭圆越扁，卫星向径的最小值与最大值的比值，当这个比值越小，则越大，此时，椭圆轨道越扁，结论②正确；
对于命题③，由于速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星越靠近远地点时，向径越大，当卫星越靠近近地点时，向径越小，由于在相同时间扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，结论③错误。故选：C。
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆几何量对椭圆形状的影响，在判断时要充分理解这些几何量对椭圆形状之间的关系，考查分析问题的能力，属于中等题。
10、D
【解析】
根据等差数列的性质可得出的值，利用等比中项的性质求出的值，于此可得出
的值。
【详解】
由于、、、成等差数列，则，
又、、成等比数列，则，，
当时，；当时，，因此，或，
故选：D。
本题考查等差数列和等比数列的性质，在处理等差数列和等比数列相关问题时，可以充分利用与下标相关的性质，可以简化计算，考查计算能力，属于中等题。
11、C
【解析】
设，，中，分别表示，最后表示求解长度.
【详解】
设，中，，，
中，，
解得：米.
故选C.
本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型.
12、C
【解析】
先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．
【详解】
解得集合，
所以，故选C．
本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积.
【详解】
由题意知，圆锥的底面半径为，
因此，圆锥的侧面积为，故答案为：.
本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.
14、
【解析】
表示两件产品中，一个正品一个次品，可求概率；求出的所有取值，分别求出概率可得.
【详解】
,根据题意的所有取值为；，，，故.
本题主要考查随机变量的期望，明确随机变量的可能取值及分布列是求解关键.
15、
【解析】
根据二项式定理展开式的通项公式,即可求得项的系数.
【详解】
二项式展开式的通项公式为
所以当时为项
则
所以项的系数为
故答案为:
本题考查了二项式定理展开式的应用,求指定项的系数,属于基础题.
16、
【解析】
由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．
【详解】
由题意得：1为的根，所以，
从而
故答案为
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0；（2）.
【解析】
（1）首先设与的交点为，连接.根据已知及三角形全等的性质可证明面，即可得到异面直线与所成角的余弦值.
（2）首先作于点，连接，易证，得到，即为二面角的一个平面角，再利用余弦定理即可得到的正弦值.
【详解】
（1）设与的交点为，连接.

因为四边形是平行四边形，且，
所以四边形是菱形.
因为，，，
所以，.
又因为，，及，
所以，，即，
面.
故异面直线与夹角的余弦值为.
（2）作于点，连接，

因为，，，
所以，
所以，，，
即为二面角的一个平面角，
设，则，
，
解得，.
所以的正弦值为．
本题第一问考查异面直线成角问题，第二问考查二面角的计算，属于中档题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程；（2）由题得，再对m分类讨论求出函数f(x)的最小值，解方程即得m的值.
【详解】
解：（1），则
，，
所以曲线在处的切线方程为，
即.
（2）由，可得
①若，则在上恒成立，即在上单调递减，
则的最小值为，故，不满足，舍去；
②若，则在上恒成立，即在单调递增，
则的最小值为，故，不满足，舍去；
③若，则当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，解得，满足.
综上可知，实数的值为.
本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
19、（1）（2）4（3）1，
【解析】
分析：（1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标，可得抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线方程；（2）设点在抛物线的准线上的射影为点，根据抛物线定义知,要使的值最小，必三点共线，从而可得结果；（3），设 ， ，根据焦半径公式可得 ，利用韦达定理化简可得结果.
详解：（1）由已知易得，
则求抛物线的标准方程C为.
（2）设点P在抛物线C的准线上的摄影为点B，
根据抛物线定义知
要使的值最小，必三点共线.
可得，.即
此时.
（3），设

所以

.
点睛：本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最小值为，此时点坐标为．
【解析】
（Ⅰ）设抛物线的方程是，根据焦点为的坐标求得，进而可得抛物线的方程．
（Ⅱ）设，进而可得抛物线在点处的切线方程和直线的方程，代入抛物线方程根据韦达定理可求得，从而，又点到直线的距离，可得．利用导数求解．
【详解】
（Ⅰ）设抛物线的方程是，则，，
故所求抛物线的方程为．
（Ⅱ）设，由抛物线方程为，得，则，
∴直线方程为：，
联立方程，得，
由，得，
从而，
又点到直线的距离，
∴．
令，则，
则，
∴在上递减，在上递增，∴，
面积的最小值为，此时点坐标为．
本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系，考查了函数思想，属于中档题．
21、（Ⅰ）22＋4i（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用复数z1＋z2是实数，求得a＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果；
（Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得，利用复数是纯虚数的条件求得的值，之后应用复数模的公式求得结果
【详解】
（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是实数，
∴a＝4，z1＝2＋4i，
∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；
（Ⅱ）∵是纯虚数，
∴，
故．
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.
22、（1）（2）
【解析】
（1）抽到每件产品的可能性相同，直接做比即可（2）考虑剩余产品数目和剩余次品数目再做比例。
【详解】
设第一次抽到次品的事件为，第二次抽到次品的事件为.
（1）因为有20件产品，其中5件是次品，抽到每件产品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率为.
（2）第一次抽到次品后，剩余件产品，其中有件次品，又因为抽到每件产品的可能性相同，所以在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为.
本题考查古典概型和条件概率，属于基础题。