广东省惠州市惠东县燕岭学校2025届高二数学第二学期期末预测试题含解析.doc

广东省惠州市惠东县燕岭学校2025届高二数学第二学期期末预测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，则实数a的值为 ( )
A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或8
2．已知，那么“”是“且”的
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数的值为（ ）

2
3
4
5
6

4
8
11
14
18
A．2.6 B．-2.6 C．-2.8 D．-3.4
4．若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
5．小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点彼此互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
6．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
10．二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（ ）
A． B． C． D．
11．在中，， ，，则等于(　 　)
A．或 B． C．或 D．
12．在的展开式中，的系数为（ ）
A．-10 B．20 C．-40 D．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线，焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么的面积为________.
14．椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________．
15．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.
16．在直角中，，，，为斜边的中点，则= ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
18．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，.若，，成等比数列.
（I）求及；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
19．（12分）（1）用分析法证明：；
（2）用数学归纳法证明：.
20．（12分）在中，内角的对边分别为，已知，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
21．（12分）如图所示，四棱锥中，底面，，为中点.
（1）试在上确定一点，使得平面；
（2）点在满足（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.

22．（10分）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
分析：利用全集，由，列方程可求的值.
详解：由，且，
又集合，
实数的值为或，故选D.
点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
2、C
【解析】
先利用取特殊值法判断x•y＞0时，x＞0且y＞0不成立，再说明x＞0且y＞0时，x•y＞0成立，即可得到结论．
【详解】
若x＝﹣1，y＝﹣1，
则x•y＞0，但x＞0且y＞0不成立，
若x＞0且y＞0，则x•y＞0一定成立，
故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件
故选：C．
本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3、B
【解析】
根据最小二乘法：，求得平均数后代入回归直线即可求得结果.
【详解】
由题意得：；

本题正确选项：
本题考查利用最小二乘法求解回归直线问题，关键在于明确回归直线必过，因此代入点即可求解出.
4、C
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可
【详解】
解：变量，满足约束条件的可行域如图所示：
目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，
当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，
则此时目标函数取得最大值，
由可得，
目标函数的最大值为：5
故选C．

本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．
5、D
【解析】
分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．
详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为 种 
所以小赵独自去一个景点的可能性为种
因为4 个人去的景点不相同的可能性为 种，
所以 ．
故选：D．
点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
6、A
【解析】
设所求直线为，
由直线与圆相切得，
，
解得．所以直线方程为或．选A.
7、D
【解析】
分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.
详解：先排乙，有种，再排甲，有种，最后排剩余三人，有种
因此共有，
选D.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.
8、B
【解析】
先将化为,再令,则问题转化为:,然后通过导数求得 的最大值代入可得.
【详解】
若存在，使得有解,即存在,使得,
令,则问题转化为:,
因为,
当 时, ;当 时, ,
所以函数 在 上递增,在 上递减,
所以 ,
所以.
故选B.
本题考查了不等式能成立问题,属中档题.
9、B
【解析】
分析：利用函数的解析式，判断大于时函数值的符号，以及小于时函数值的符号，对比选项排除即可.
详解：当时，函数，
排除选项；
当时，函数，
排除选项，故选B.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
10、A
【解析】
因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.
【详解】
因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足 ，又因为，所以，故选A.
本题主要考查类比推理以及导数的计算.
11、D
【解析】
已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.
【详解】
由正弦定理，可得.
由，可得，所以.故选D.
本题考查正弦定理的应用. 已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.
12、C
【解析】
分析：根据二项式展开式的通项求的系数.
详解：由题得的展开式的通项为
令5-r=2,则r=3,所以的系数为故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 二项式通项公式： （）.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：首先根据题中所给的抛物线的方程，求得抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A点的坐标，根据两点斜率坐标公式求得，从而得到，代入抛物线的方程，求得对应的横坐标，之后求得相应的线段的长度，根据面积公式求得三角形的面积.
详解：因为，所以准线，因为，垂足为，所以设，因为，所以，所以，所以，把代入中，得，所以，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关抛物线的定义和有关性质的问题，以及直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要对相应的公式和结论要熟记并能熟练地应用，从而求得结果.
14、
【解析】
利用定积分在几何中的应用解答；所求为计算可得．
【详解】
解：由，得，
将椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为
故答案为：
本题考查了定积分的应用；将旋转得到几何体的体积为，属于基础题．
15、7
【解析】
n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇
数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个
数为个，所以.
故答案为：7
本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.
16、
【解析】
试题分析：由于为直角三角形，且，，所以，由正弦定理得，
，
.
考点：1.正弦定理；2.平面向量的数量积

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（3）3．35；（4）3．45；（4）3433.
【解析】
（3）先列举出所有的事件共有43种结果，摸出的4个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（4）先列举出所有的事件共有43种结果，摸出的4个球为3个黄球4个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（4）先列举出所有的事件共有43种结果，根据摸得同一颜色的4个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的4个球，摸球者付给摊主3元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果.
【详解】
把4只黄色乒乓球标记为A、B、C，4只白色的乒乓球标记为3、4、4．
从6个球中随机摸出4个的基本事件为：ABC、AB3、AB4、AB4、AC3、AC4、AC4、A34、A34、A44、BC3、BC4、BC4、B34、B34、B44、C34、C34、C44、344，共43个.
(3)事件E={摸出的4个球为白球}，事件E包含的基本事件有3个，即摸出344号4个球，P（E）==3．35.
(4)事件F={摸出的4个球为4个黄球3个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）==3．45.
（4）事件G={摸出的4个球为同一颜色}={摸出的4个球为白球或摸出的4个球为黄球}，P（G）==3．3，假定一天中有333人次摸奖，
由摸出的4个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有33次，不发生93次．
则一天可赚，每月可赚3433元．
考点：3．互斥事件的概率加法公式；4．概率的意义
18、（I），；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据题中条件列方程组求出和的值，于此可得出和的表达式；
（Ⅱ）将的通项表示为，再利用裂项法可求出数列的前项和.
【详解】
（Ⅰ）由题意，得，即，，解得，
所以，；
（Ⅱ）因为，
所以.
本题考查等差数列通项和求和公式，考查裂项求和法，在求解等差数列的问题时，一般都是通过建立首项与公差的方程组，求解这两个基本量来解决等差数列的相关问题，考查计算能力，属于中等题。
19、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）利用分析法逐步平方得出成立，可证明出原不等式成立；
（2）先验证时等式成立，然后假设当时等式成立，可得出，然后再等式两边同时加上，并在所得等式右边提公因式，化简后可得出所证等式在时成立，由归纳原理得知所证不等式成立.
【详解】
（1）要证明成立，只需证明成立，
即证明成立，只需证明成立，即证明成立，
因为显然成立，所以原不等式成立，即；
（2）①当时，，等式左边，右边，等式成立；
②设当时，等式成立，即，
则当时，
，
即成立，
综上所述，．
本题考查分析法与数学归纳法证明不等式以及等式问题，证明时要熟悉这两种方法证明的基本步骤与原理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
20、（1）或；（2）．
【解析】
由已知及正弦定理可得，结合范围，利用特殊角的三角函数值可求A的值．
由利用同角三角函数基本关系式可得cosA，由余弦定理可求b的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，
即．
因为
所以，或．
（2）因为，
所以，
所以，解得．
所以．
本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
21、 (1). (2).
【解析】
【试题分析】（1）先确定点的位置为等分点，再运用线面平行的判定定理进行证明平面；（2）借助（1）的结论，及线面角的定义构造三角形找出直线与平面所成角，再通过解直角三角形求出其正弦值：
解：(1)证明: 平面PAD.过M作交PA于E,连接DE. 因为,所以，又，故,且，即为平行四边形,则 ,又平面PAD, 平面PAD, 平面；
(2)解:因为，所以直线MN与平面PAB所成角等于直线DE与平面PAB所成角
底面ABCD,所以 ，又因为，所以底面PAB , 即为直线DE与平面PAB所成角.因为，所以，所以直线MN与平面PAB所成角的正弦值为。
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意，分类讨论即可得解；
（2）利用绝对值三角不等式求出，利用基本不等式求出，利用恒成立问题的解决办法即可得解.
【详解】
（1）由题意，
则不等式可转化为
或或，
整理可得，
故不等式的解集为.
（2）由于，当时，等号成立；
而，
当且仅当，即，时，等号成立.
要使不等式恒成立，
则，解得，
实数的取值范围为.
本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.