甘肃省徽县第三中学2025届高二下数学期末质量检测试题含解析.doc

甘肃省徽县第三中学2025届高二下数学期末质量检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A． B． C． D．
2．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
3．设：实数，满足，且；：实数，满足；则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）

A． B． C． D．
5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
A． B． C．2 D．3
6．若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（　　）

A．120种 B．240种 C．144种 D．288种
8．将点的极坐标化成直角坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
10．已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（）
A． B． C． D．
11．已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
12．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：

3
4
5
6

2.5
3
m
4.5
若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（ ）
A．4 B．4.5 C．3 D．3.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______．
14．10件产品中有2件次品，从中随机抽取3件，则恰有1件次品的概率是____．
15．若，则a4+a2+a0＝_____
16．设集合，，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知二项式展开式中的第7项是常数项.
(1)求；
(2)求展开式中有理项的个数.
18．（12分） [选修4-4：坐标系及参数方程]
已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；
（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值.
19．（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，，
（I）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.
20．（12分）某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（如图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（如图（2））.已知图（1）中身高在的男生有16名.

（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？
（2）根据频率分布直方图，完成下面的列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为身高与性别有关？

身高
身高
总计
男生

女生

总计

参考公式：，其中
参考数据：

0.40
0.25
0.10
0.010
0.001

0.708
1.323
2.706
6.635
10.828

21．（12分）在数列中，．
（1）求的值；
（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
22．（10分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在A市的普及情况，A市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如表：（单位：人）

经常使用网络外卖
偶尔或不用网络外卖
合计
男性
50
50
100
女性
60
40
100
合计
110
90
200
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖的情况与性别有关？
（2）将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X，求X的数学期望和方差．
参考公式：，其中．
参考数据：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.
详解：因为随机变量的概率分布为，故得，故E（X）=,又，而,故= ，选B
点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.
2、C
【解析】
分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：
，
计算的数值如下表所示：
底数
指数
幂值
5
1
5
5
2
25
5
3
125
5
4
625
5
5
3125
5
6
15625
5
7
78125
5
8
390625
5
9
1953125
5
10
9765625
据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，
所给选项中，只有2017除以8的余数为1，
则的值可以是2017.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3、A
【解析】
利用充分必要性定义及不等式性质即可得到结果.
【详解】
当，且时，显然成立，故充分性具备；
反之不然，比如：a=100，b=0.5满足，但推不出，且，故必要性不具备，所以是的充分不必要条件.
故选A
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4、C
【解析】
灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．
【详解】
由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
灯泡不亮的概率是，
灯亮和灯不亮是两个对立事件，
灯亮的概率是，
故选：．
本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．
5、D
【解析】
由余弦定理得，
解得（舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
6、A
【解析】
分析：设公共点，求导数，利用曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，建立方程组，即可求出a的值.
详解：设公共点，
，
，
曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，
，解得.
故选：A.
点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键.
7、D
【解析】
首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.
【详解】
不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有种；从而所求的结果为种.故选D.
本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立事件的方法，属于中档题.
8、C
【解析】
利用极坐标与直角坐标方程互化公式即可得出．
【详解】
x＝cos，y＝sin，
可得点M的直角坐标为．
故选：C．
本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
10、B
【解析】
求得的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得所求倾斜角．
【详解】
函数的导数为，
可得在处的切线的斜率为，
即，为倾斜角，可得．
故选：B．
本题主要考查了导数的几何意义，函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，是解题的关键，属于容易题．
11、A
【解析】
构造函数，根据的单调性得出结论．
【详解】
解：令，则，
在上单调递增，
又，
，
即，即
故选：．
本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．
12、A
【解析】
由题意可得，故样本中心为。因为回归直线过样本中心，所以
，解得。选A。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．
考点：1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．
14、；
【解析】
利用超几何分布的概率公式，直接求出恰有1件次品的概率.
【详解】
设事件为“从中随机抽取3件，则恰有1件次品”，则.
求解概率问题的第一步是识别概率模型，再运用公式计算概率值，本题属于超几分布概率模型.
15、1
【解析】
利用特殊值法，令x＝0，1，﹣1，将所得结果进行运算可得解．
【详解】
令x＝0，可得a0＝1；
令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1，
即a1+a2+a3+a4＝0 ①；
令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝81，
即﹣a1+a2﹣a3+a4＝80 ②，
将①和②相加可得，2（a2+a4）＝80，
所以a2+a4＝40，
所以a0+a2+a4＝1．
故答案为1．
本题考查二项式展开式的系数的求解方法：赋值法，对题目中的x合理赋值是解题的关键，属于基础题．
16、
【解析】
先求，再求.
【详解】
,

故答案为：
本题考查集合的运算，属于简单题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）展开式中的有理项共有3项
【解析】
（1）根据二项展开式的通项以及第项是常数项计算的值；（2）根据二项展开式的通项，考虑未知数的指数为整数的情况，然后判断有理项的项数.
【详解】
解：（1）二项式展开式的通项为

第7项为常数项，

（2）由（1）知，
若为有理项，则为整数，
为6的倍数，
，共三个数，
展开式中的有理项共有3项.
本题考查二项展开式的通项的应用，难度一般.二项展开式中的有理项的分析的主要依据是：未知数的指数为整数；二项展开式中的常数项的分析的主要依据是：未知数的指数为.
18、（1），（2）
【解析】
【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.
【试题解析】
（Ⅰ）由得，
即曲线的直角坐标方程为
根据题意得，
因此曲线上的动点到原点的距离的最大值为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程为:，曲线的直角坐标方程为
联立得……8分
又，
所以
19、（1）（2）数学期望为.
【解析】
（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，1．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【详解】
解：(Ⅰ) 为奇函数；为偶函数；为偶函数；为奇函数;为偶函数；为奇函数，所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，满足条件的基本事件个数为，故所求概率.

(Ⅱ) 可取 ；; ； 故的分布列为
.
的数学期望为.
本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
20、（1）男生40名，女生40名；（2）列联表见解析，
【解析】
（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，设抽取的学生中，男生有名，由算出即可
（2）由（1）及频率分布直方图知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），然后列表算出即可.
【详解】
解：（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，
设抽取的学生中，男生有名，
则，解得.
所以女生有（名）.
（2）由（1）及频率分布直方图知，
身高的男生有（名），
身高的女生有（名），所以可得下列列表：

身高
身高
总计
男生
30
10
40
女生
4
36
40
总计
34
46
80
由列联表中数据得的观测值为，
所以能有的把握认为身高与性别有关.
本题考查的是统计的相关知识，注意根据观察值与临界值的大小关系得出结论，本题较简单.
21、（1）4，9，16；（2），证明见解析．
【解析】
（1）根据数列递推关系，把分别代入，求出的值；
（2）先假设时，成立，再证明时，猜想也成立.
【详解】
（1）∵，，
∴，
故的值分别为；
（2）由（1）猜想，用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想显然成立；
②设时，猜想成立，即，
则当时，,
即当时猜想也成立，
由①②可知，猜想成立，即．
运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.
22、（1）不能；（2）.
【解析】
（1）把表格中的数据依次代入公式，算出与比较大小，并下结论；
（2）服从二项分布，直接套用公式求期望值.
【详解】
（1）由列联表中的数据，
可得，
故不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖情况与性别有关．
（2）由2×2列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，
将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取1人，
恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，
由题意得．
故随机变量的期望，
∴方差为．
由于A市所有参与调查的网民中总体是未知的，所以无法用超几何分布模型求解.