河南省夏邑一高2024-2025学年数学高二下期末考试试题含解析.doc

河南省夏邑一高2024-2025学年数学高二下期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则（ ）
A．成等差数列 B．成等差数列
C．成等差数列 D．成等差数列
2．已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f(x)是定义在R上的增函数,f(x)+2>f ' (x),f(0)=1,则不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集为（ ）
A．(一∞,0) B．(0,+∞) C．(一∞,1) D．(1,+∞)
6．已知，那么（ ）
A．20 B．30 C．42 D．72
7．点的直角坐标化成极坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤
9．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据( )
A．一样稳定 B．变得比较稳定
C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断
10．已知，，，若,则（ ）
A．2 B． C． D．5
11．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n=1000)，利用2×2列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得，经查阅临界值表知，下列结论正确的是( )

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 B．若某人吸烟，那么他有的可能性患肺病
C．有的把握认为“患肺病与吸烟有关” D．只有的把握认为“患肺病与吸烟有关”
12．已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________．
14．已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线的方程为__________．
15．函数为上的奇函数，若对任意的且，都有，已知，则不等式的解集为______.
16．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．
（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；
（Ⅱ）求展开式中中间项．
18．（12分）已知函数
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若恒成立，求b-a的最小值.
19．（12分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

20．（12分）如图，在以为顶点的多面体中，平面，，.

（1）请在图中作出平面，使得且，并说明理由；
（2）证明：.
21．（12分）为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：

常  喝
不常喝
总  计
肥  胖

2

不肥胖

18

总  计

30
已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为．
（1）请将列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？
独立性检验临界值表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
22．（10分）已知函数是定义在的奇函数（其中是自然对数的底数）.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由于是与的等差中项，得到 ，分，两种情况讨论，用等比数列的前n项和公式代入，得到，即，故得解.
【详解】
由于是与的等差中项，故
由于等比数列，
若：，矛盾；
若：

，即成等差数列
故选：B
本题考查了等差、等比数列综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
2、A
【解析】
首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除，再根据，可排除，从而得到结果.
【详解】
由题意得：
为奇函数，图象关于原点对称
可排除
又当时，，可排除
本题正确选项：
此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．
3、B
【解析】
函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得，再将所得图像向左平移个单位，得，选B.
4、D
【解析】
分析：利用二项分布的概率计算公式：概率
即可得出．
详解：：∵每次投篮命中的概率是，
∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率．
故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是．
故选D.
点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题．
5、A
【解析】
分析：先令 ，则且原不等式转化为 ，再根据单调性得结果.
详解：令 ，则
因为原不等式转化为 ，所以
因此选A.
点睛：解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
6、B
【解析】
通过计算n，代入计算得到答案.
【详解】

答案选B
本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题.
7、D
【解析】
分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标.
【详解】
由点M的直角坐标可得：，
点M位于第二象限，且，故，
则将点的直角坐标化成极坐标为.
本题选择D选项.
本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8、B
【解析】
销售的利润为，利用可得，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.
【详解】
设销售的利润为，由题意，得，
即，当时，，解得，
故，
当时，，当时，，所以
函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.
一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．
9、C
【解析】
根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．
【详解】
由题可得：平均值为2，
由，，
所以变得不稳定.
故选：C.
本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．
10、A
【解析】
先求出的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求的值.
【详解】
，因，
故，故.故选A.
如果，那么：（1）若，则；（2）若，则；
11、C
【解析】
将计算出的与临界值比较即可得答案。
【详解】
由题得，且由临界值表知，所以有的把握认为“患肺病与吸烟有关”，故选C.
本题考查独立性检验，解题的关键是将估计值与临界值比较，属于简单题。
12、A
【解析】
试题分析：正态分布曲线关于均值对称，故均值,选A.
考点：正态分布与正态曲线.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.
【详解】
设直线与曲线切于点，
与曲线切于点，
则有，
从而，，，．
所以切线方程，
所以．
故答案为：.
本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题．
14、
【解析】
分析：用相关点法求解，设直线上的点为 直线上的点为，所以，，代入直线的方程
详解：设直线上的点为 直线上的点为，直线在矩阵对应的变换作用下所以：，代入直线的方程整理可得直线的方程为
。
点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。
15、
【解析】
根据题意，可得函数在上的单调性，结合可得在上的符号，利用函数的奇偶性可得在上，，则上，，即可分析的解，可得答案．
【详解】
根据题意，若对任意的，且，都有，
则在上为增函数，
又由，则在上，，则在上，，
又由为奇函数，则在上，，则上，，
或，
即或或或
解得：，
即不等式的解集为；
故答案为：
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
16、.
【解析】
分析：通过椭圆与双曲线的定义，用 和 表示出的长度，根据余弦定理建立 的关系式；根据离心率的定义 表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。
详解： ，所以解得
在△ 中，根据余弦定理可得
代入得
化简得
而

所以的最小值为
点睛：本题考查了圆锥曲线的综合应用。结合余弦定理、基本不等式等对椭圆、双曲线的性质进行逐步分析，主要是对圆锥曲线的“交点”问题重点分析和攻破，属于难题。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）64；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是求出的值，然后可求各项二项式系数的和；
（Ⅱ）根据的值确定中间项，利用通项公式可求.
【详解】
解：由题意知，展开式的通项为：
，且，
则第五项的系数为，第三项的系数为，
则有，
化简，得，解得，
展开式中各项二项式系数的和；
由（1）知，展开式共有7项，中间项为第4项，令，得．
本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.
18、 (1)f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）;(2).
【解析】
分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）由题意得，可得函数单调增区间为，减区间为，即恒成立，，即，构造函数，利用导数研究函数的单调性可得，即可得的最小值.
详解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞1）．
f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=1，得x=e．
x∈（1，e）时，f′（x）＜1，∈（e，+∞）时，f′（x）＞1．
函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞1）．
令f′（x）=1，得x=ea．x∈（1，e a）时，f′（x）＜1，∈（ea ，+∞）时，f′（x）＞1．
函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（1，ea）
∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，
∵f（x）≥1恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥1，则b≥e2a+ea．∴b﹣a≥e2a+ea﹣a
令ea=t，（t＞1），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞1），g′（t）=．
当t∈（1，）时，g′（t）＜1，当时，g′（t）＞1．
∴g（t）在（1，）上递减，在（，+∞）递增．
∴g（t）min=g（）=．f（x）≥1恒成立，b﹣a的最小值为．
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
19、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取中点，连接，则平面即为所求平面，可证明平面；（2）结合（1）先证明三角形是边长为1的正三角形，然后证明，从而可知，由平面，可知，从而可知平面，即可证明.
【详解】
（1）取中点，连接，则平面即为所求平面．
∵，，
∴且，
∴四边形是平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面，
∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，平面，且，∴平面平面，
∵平面，∴平面，即.
（2）由（1）四边形是平行四边形，则，，
∵，∴三角形是边长为1的正三角形，
∵，，
∴，
∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵平面，平面，，∴平面，
∵平面，∴.

本题考查了平面与平面平行的判定，考查了线面垂直的性质与判定，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
21、（1）见解析（2）有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关
【解析】
试题分析：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，求出x的值，填表即可；
（2）计算观测值K2，对照数表得出结论；
试题解析：解：（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x，则= 解得x=6
列联表如下：

常  喝
不常喝
总  计
肥  胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
总  计
10
20
30
（2）由（1）中列联表中的数据可求得随机变量k2的观测值：
k=≈8.523＞7.789
因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关．
22、（1）1；（2）.
【解析】
（1）因为函数是上的奇函数，故可得方程，从而可得的值，然后再对的值进行验证；
（2）根据导数可求出函数为单调递增函数，又由于函数为奇函数，故将不等式转化为，再根据函数的定义域建立出不等式组，从而得出的取值范围．
【详解】
解：（1）是定义在的奇函数，
，
当m=1时，，
.
（2） ,
且，当且仅当时，取“=”，
在恒成立，
在单调递增，
又函数为奇函数，
,
.
本题考查了函数性质的综合运用能力，解题的关键是要能够准确地求出函数的奇偶性与单调性，函数奇偶性的常见判断方法是定义法、特殊值法等，函数单调性常见的判断方法是定义法、导数法等．