安徽省池州市第二中学2024-2025学年高二数学第二学期期末达标测试试题含解析.doc

安徽省池州市第二中学2024-2025学年高二数学第二学期期末达标测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
2．设，且，则下列不等式恒成立的是()
A． B．
C． D．
3．曲线的极坐标方程化为直角坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．定积分的值为(　 　)
A． B． C． D．
6．在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得
“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立
的,则下列说法中正确的是.
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
7．已知函数的图象关于原点中心对称，则　　
A．1 B． C． D．2
8．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）
A．cm B．cm C．cm D．cm
9．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.

非一线城市
一线城市
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100
附表：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
由算得，，参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
10．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
11．命题：，的否定是（）
A．， B．，
C．， D．，
12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为( )
A． B．4 C． D．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.
14．某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量，其概率分布如表，数学期望.则__________.

0
3
6

15．在西非“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：

感染
未感染
合计
服用
10
40
50
未服用
20
30
50
合计
30
70
100
附：

0.100
0.050
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635
根据上表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.
16．设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若，则m=_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知
（1）求的最大值、最小值；
（2）为的内角平分线，已知，，，求
18．（12分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.

（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.
19．（12分）求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.
20．（12分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

21．（12分）已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.
22．（10分）已知函数的图象过点.
(1)求的值并求函数的值域；
(2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
(3)若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由条件知：是奇函数，且在内是增函数；是偶函数，且在内是增函数；所以在内是增函数；在内是减函数；所以时，故选B
2、D
【解析】
逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】
由已知可知，可以是正数，负数或0，
A.不确定，所以不正确；
B.当时，两边同时乘以，应该，所以不正确；
C.因为有可能等于0，所以，所以不正确；
D.当时，两边同时乘以，，所以正确.
故选D.
本题考查了不等式的基本性质，属于简单题型.
3、B
【解析】
利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可得到答案．
【详解】
由曲线的极坐标方程，两边同乘，可得，
再由，可得：，
所以曲线的极坐标方程化为直角坐标为
故答案选B
本题考查把极坐标转化为直角坐标方程的方法，熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式是解题的关键，属于基础题．
4、C
【解析】
由，令，解得或，令，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.
【详解】
，
令，解得或，
令，可得，
当时，函数取得极小值，，
所以当时，令，解得，此时函数 只有一个极值点，
当时，此时函数 只有一个极值点1，满足题意，
当时不满足条件，舍去.
综上可得实数的取值范围是，故选C.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.
5、C
【解析】
试题分析：=.故选C.
考点：1.微积分基本定理；2.定积分的计算.
6、D
【解析】
独立性检验是判断两个分类变量是否有关；吸烟与患肺癌是两个分类变量，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的．指的是得出“吸烟与患肺癌有关”这个结论正确的概率超过99％，即作出“吸烟与患肺癌有关”这个结论犯错的概率不超过1％；不能作为判断吸烟人群中有多少人患肺癌，以及1个人吸烟，这个人患有肺癌的概率的依据．故选D
7、B
【解析】
由函数的图象关于原点对称可得函数是奇函数，由恒成立可得，从而可得结果．
【详解】
函数图象关于原点对称，
函数是奇函数，
则得，
即，
即，得，故选B．
本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
8、D
【解析】
利用等体积法求水面下降高度。
【详解】
球的体积等于水下降的体积即，．答案：D．
利用等体积法求水面下降高度。
9、C
【解析】
K2≈9.616>6.635，
∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，
本题选择C选项.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
10、A
【解析】
利用集合的交集运算进行求解即可
【详解】
由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，
所以的取值范围为
答案选A
求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等
11、C
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题，即可进行选择.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，
故可得，的否定是，.
故选：C.
本题考查全称命题的否定，属基础题.
12、A
【解析】
题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．
【详解】
由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③
①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④
将④代入③，得a12+a22=2c2，
∴4e12+e22==++≥+2=．
故选A．
在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：由椭圆的焦点为，顶点为，可得双曲线的焦点与顶点，从而可得双曲线方程.
详解：椭圆的焦点为，顶点为，
双曲线的顶点与焦点分别为，
可得，
所以双曲线方程是，故答案为.
点睛：本题考查椭圆与双曲线的简单性质应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，解题时要认真注意审题，特别注意考虑双曲线的焦点位置.
14、
【解析】
通过概率和为1建立方程，再通过得到方程，从而得到答案.
【详解】
根据题意可得方程组：，解得，从而.
本题主要考查分布列与期望相关概念，难度不大.
15、95%
【解析】
先由题中数据求出，再由临界值表，即可得出结果.
【详解】
由题中数据可得：
，
根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.
即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.
故答案为95%
本题主要考查独立性检验的问题，会由公式计算，能分析临界值表即可，属于常考题型.
16、-1.
【解析】
根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.
【详解】
，
，
由得：，
，
即.
此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；(2)
【解析】
（1）先利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求最值，（2）先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得，即得结果.
【详解】
（1）

在上单调递增，上单调递减，

（2）中，，中，，
，

中， ，
中， ，

本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式以后正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
18、（1）；（2）见解析．
【解析】
分析：直接计算，猜想：；
（2）证明：①当时，猜想成立. ②设时，命题成立，即
③证明当时，成立。
详解：（1）解：，，
，
，
猜想；
（2）证明：①当时，猜想成立.
②设时，命题成立，即，
由题意可知
.
所以 ，
，
所以时猜想成立.
由①、②可知，猜想对任意都成立.
点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。根据题意先归纳猜想，利用数学归纳法证明猜想。数学归纳法证明必须有三步：
①当时，计算得出猜想成立.
②当时，假设猜想命题成立，
③当时，证明猜想成立。
19、二项式系数为，系数为.
【解析】
分析：根据二项式系数的展开式得到结果.
详解：，二项式系数为，系数为.
点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．
20、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
21、 (1)见解析.
(2)见解析.
(3) M＝{m|0<m<1}.
【解析】
（1）借助对称性作f（x）=|x2﹣4x+3|的图象即可，
（2）由图象写出函数f（x）的单调区间即可；
（3）作f（x）=|x2﹣4x+3|与y=m的图象，由二者的交点个数确定出集合M．
【详解】
(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝
∴f(x)的图象为：

(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.
(3)由f(x)的图象知，当0<m<1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0<m<1}.
（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。
22、（1），值域为（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）根据在图象上，代入计算即可求解，因为，所以，所以，可得函数的值域为；（2）原方程等价于的图象与直线有交点，先证明的单调性，可得到的值域，从而可得实数的取值范围；（3）根据，，转化为二次函数最大值问题，讨论函数的最大值，求解实数即可.
试题解析：（1）因为函数 的图象过点，
所以，即，所以 ，
所以，因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根，
即函数与函数有交点，
令，则函数的图象与直线有交点，
又
任取，则，所以，所以，
所以 ，
所以在R上是减函数（或由复合函数判断为单调递减），
因为，所以，
所以实数的取值范围是.
（3）由题意知， ，
令，则，
当时， ，所以，
当时， ，所以（舍去），
综上，存在使得函数的最大值为0.