河北省正定县第一中学2025年数学高二第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

河北省正定县第一中学2025年数学高二第二学期期末监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列0，，，，…的一个通项公式是(　　)
A． B．
C． D．
2．二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( )
A． B．和
C．和 D．
3．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　
A． B． C． D．
5．某随机变量服从正态分布,若在内取值的概率为0.6则在内取值的概率为( )
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.3
6．已知集合，集合满足，则集合的个数为
A． B． C． D．
7．由曲线，，，围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为，满足，，的点组成的图形绕y轴旋一周所得旋转体的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的可导函数，的图象如图所示，则的单调减区间是（ ）

A． B． C． D．
9．若且，且，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
11．把四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
12．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.
14．已知的展开式中，的系数为，则常数的值为 ．
15．若，，，则_____.
16．函数(a>0且a≠1)的图象经过的定点的坐标是_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
18．（12分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90),[90,100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了
高度在[50,60),[90,100]的数据).

1）求样本容量和频率分布直方图中的
2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在 [80,90) 内的株数,求随机变量的分布列及数学期望.
19．（12分）某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取株作为样本进行研究．株高在及以下为不良，株高在到之间为正常，株高在及以上为优等．下面是这个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：

（1）求的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；
（2）通过频率分布直方图估计这株株高的中位数（结果保留整数）；
（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量的分布列（用最简分数表示）．
20．（12分）已知是第三象限角，且．
（1）求，的值；
（2）求的值．
21．（12分）已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.
22．（10分）已知数列满足：，且.
（Ⅰ）求，，的值，并猜想数列的通项公式；
（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为，符合,C选项值为，不符．所以选A.
对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．
2、C
【解析】
先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为，进而可确定其最大值.
【详解】
因为二项式展开式的各项的二项式系数为，
易知当或时，最大，
即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项.
故第三项为；第四项为.
故选C
本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
3、C
【解析】
分析：先根据正态分布得再求最后求得
=0.34.
详解：由正态分布曲线得
所以所以=0.5-0.16=0.34.
故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.
4、B
【解析】
由抛物线方程化标准方程为，再由焦半径公式，可求得。
【详解】
抛物线为，由焦半径公式，得。选B.
抛物线焦半径公式：
抛物线，的焦半径公式。
抛物线，的焦半径公式。
抛物线，的焦半径公式。
抛物线，的焦半径公式。
5、D
【解析】
分析：由正态分布曲线图，内取值的概率为0.6，区间关于对称，得解。
详解：由正态分布曲线图，内取值的概率为，区间关于对称，故上的概率为.故选D
点睛：正态分布，在区间段的概率，利用图像的对称性可得出左右两侧的区间的概率。
6、D
【解析】
分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可
详解：集合，集合满足，

则满足条件的集合的个数是
故选
点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。
7、C
【解析】
由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．
【详解】
解：如图，两图形绕轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，
用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，所得截面面积，

，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，
故选：．

本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
8、B
【解析】
分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.
详解：因为当时，，所以当时，，
所以的单调减区间是，
选B.
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.
9、C
【解析】
试题分析：根据题意，由于且，且成立，
当0<a<1时，根据对数函数递减性质可知，，故可知范围是，综上可知
实数的取值范围C
考点：不等式
点评：主要是考查了对数不等式的求解，属于基础题．
10、D
【解析】
5名乘客选4个车站，每个乘客都有4种选法．
【详解】
每个乘客都有4种选法，共有种，选D
每个乘客独立，且每个乘客都有4种选法
11、C
【解析】
先从4个球中选2个组成复合元素，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子，即可得出答案.
【详解】
从个球中选出个组成复合元素有 种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有 种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选C.
本题主要考查了排列与组合的简单应用，属于基础题.
12、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0.245
【解析】
当变为时，=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元，本题填写0.245.
14、
【解析】
，所以由 得 ，从而
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
15、0.15
【解析】
由题意可得：，
则：，
.
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
16、
【解析】
由函数图象的变换可知，的图象过定点，的图象过定点，的图象过定点，
所以，的图象过定点．
考点：指数函数的图象，函数图象的平移、伸缩变换．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）.
（2）时，递减区间为；当时，在递减，在递增.
【解析】
（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间．
【详解】
（1）当时，函数，，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为
（2）.
当时，，的单调递减区间为；
当时，在递减，在递增
本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题．
18、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
分析：（1）由茎叶图及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y；
（2）由题意可知，高度在[80,90) 内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望.
详解：(1)由题意可知，样本容量
，
.
(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，
则,
,
.

1
2
3

故.
点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想.
19、（1），补图见解析（2）估计这株株高的中位数为82（3）见解析
【解析】
根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列．
【详解】
解：（1）由第一组知，得，
补全后的频率分布直方图如图

（2）设中位数为，
前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
∴，
∴，
得，
∴估计这株株高的中位数为82.
（3）由题设知，
则

的分布列为

0
1
2

本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.
20、（1），；（2）
【解析】
（1）利用诱导公式化简已知条件求得的值，进而求得的值，再根据二倍角公式求得的值.（2）利用结合两角和的正弦公式，以及（1）的结果，求得的值.
【详解】
解：（1）由，有，
又由是第三象限角，有，
则，
，
（2）由，
．
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，属于中档题.
21、（I）；
（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点的直线的倾斜角为，可以求出斜率，这样就可以求出，再根据右焦点，可求出，最后利用求出，最后写出椭圆标准方程；
（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中，由，可得出等式，求出线段长度的表达式，结合求出的等式和基本不等式，可以求出线段长度的最小值
.
【详解】
（I）设椭圆的短轴端点为（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率，
（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中,即就是，
解得.又
，且当时等号成立，所以长度的最小值为
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用基本不等式求线段长最小值问题，考查了数学运算能力.
22、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）证明见解析
【解析】
（Ⅰ）令，可得，，的值，根据，可猜想数列的通项公式；（Ⅱ）①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，通过证明当时，猜想也成立，从而得到证明.
【详解】
解：（Ⅰ）由递推公式可得，，，
猜想.
（Ⅱ）下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当时，猜想显然成立；
②假设当时猜想成立，即，
则时，由，
得，
即当时，猜想也成立，
由①②可知，对任意均成立.
本题主要考查归纳推理及用数学归纳法证明猜想成立.