资源描述
2.12 科学记数法
专题一 用科学记数法表示数
1.（﹣5）4×40000用科学记数法表示为（ ）
A． 25×106 B．﹣25×106 C．﹣2500×105 D．2.5×107
2. 据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于0.3～0.4亩森林木材的造纸量．我市今年大约有6.7×104名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12公斤废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，则至少可使森林免遭砍伐的亩数为 亩．
3. 光的速度是3×105千米/秒，1年约为3.15×107秒，则1光年（光1年所走的路程）约为多少米？（用科学记数法表示）
专题二 把用科学记数法表示的数还原
4. 2.040×105表示的原数为（ ）
A．204000 B．0.000204 C．204.000 D．20400
5. 1.18×104的倒数（ ）
A．是﹣3 B．是 C．≤2 D．＜2
状元笔记
【知识要点】
1. 科学记数法：把一个数记成的形式，其中：是整数，这种记数法叫做科学记数法．
2. 把用科学记数法表示的数还原时，要利用乘方、乘法运算.
【温馨提示（针对易错）】
对中的a、n要正确理解，防止出现错误.
【方法技巧】
用科学记数法表示一个数，一般分两步：（1）确定a，必须是1≤|a|＜10；（2）确定n，n比整数位数少一.
答案
1. D 【解析】（﹣5）4×40000=25 000 000=2.5×107．故选D．
2. 241.2 【解析】 6.7×104×12=804 000公斤=804吨，804×0.3=241.2亩．则至少可使森林免遭砍伐的亩数为241.2亩．
3. 解：3×105千米/秒=3×108米/秒，
（3×108）×（3.15×107）=（3×3.15）×（108×107）=9.45×1015．
答：1光年约为9.45×1015米．
4. A 【解析】 把2.040的小数点向右移动5位就可以得到.故选A．
5. D 【解析】 ∵1.18×104=11800，∴11800的倒数是＜2．故选D．
2.13 有理数的混合运算
专题一 有理数的混合运算
1. 2013+(﹣2013)﹣2013×(﹣2013)÷2013=( )
A．﹣4026 B.﹣2013 C.2013 D.4006
2. 下列计算中，正确的是( )
A． B.
C． D.
3. 计算机将信息转换成二进制数来处理．二进制是“逢二进一”，如二进制数转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×1＝13，那么二进制数转换成十进制数是( )
A．22012＋1 B．22013 C．22013－1 D．22013＋1
专题二 与有理数混合运算有关的探究题
4. 如果有理数，使得，那么（ ）
A.是正数 B.是负数
C.是正数 D.是负数
5. 已知xy3z2是一个负数，则下列各式的值一定是正数的是（ ）
A．x4y5z6 B．﹣ C．﹣x3yz5 D．xy2z
6.你能确定出算式20138＋82013的个位数字吗？说说你是怎么做的.
状元笔记
【知识要点】
1.有理数的混合运算：含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算的算式，称为有理数的混合运算.
2. 有理数混合运算的顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，按照从左到右的顺序进行；（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的．
【温馨提示（针对易错）】
进行有理数的混合运算，常见错误是未准确理解运算顺序、混淆运算顺序.
【方法技巧】
在有理数的混合运算中，如果含有多重括号，去括号的方法一般是由内到外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内去括号，要灵活运用.
答案
1. C 【解析】2013+(﹣2013)﹣2013×(﹣2013)÷2013=0﹣2013×(﹣2013)×=2013.
选C.
2. B 【解析】 A的结果是﹣1，B的结果是9，C的结果是﹣9，D的结果是81.只有B
正确.
3. C 【解析】＝1×22012＋1×22011＋…＋1×21＋1×1＝22012＋22011＋…＋
21＋1，设A＝22012＋22011＋…＋21＋1，则2A＝22013＋22012＋…＋22＋21，所以A＝22013－1.选C.
4. D 【解析】 由题意知a＝﹣1，b≠1，又b2≥0，所以一定有a－b2≤0.故选D.
5. B 【解析】 由xy3z2是一个负数，得到xy3z2＜0，∵z2＞0，∴xy3＜0，即x与y异号，
当x=1，y=﹣1，z=1，x4y5z6=﹣1＜0，选项A不一定成立；
由x与y异号，得到＜0，即﹣＞0，又∵z4＞0，∴﹣＞0，选项B一定成立；
若x=1，y=﹣1，z=﹣1时，﹣x3yz5=﹣1＜0，选项C不一定成立；
当x=1，y=﹣1，z=﹣1时，xy2z=﹣1＜0，选项D不一定成立，
∴选项B中式子的值一定是正数的．
故选B.
6. 解：算式20138＋82013的个位数字是9.
理由是：20132的个位数字是9、20134的个位数字是1、20138的个位数字也是1；
81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768，…，可见8的正整数次幂的个位数字按8、4、2、6的顺序每4个一循环.∵2013÷4＝503……1，所以82013的个位数字是8.
因此算式20138＋82013的个位数字是1＋8＝9.
2.14 近似数
2.15 用计算器进行计算
专题一 近似数
1. 对于近似值4.8万，下列说法正确的是 （ ）
A、精确到万位 B、0.1 C、精确到百分位 D、精确到千位
2. 已知689□□□20312≈690亿(四舍五入)，那么其中的三位数□□□有( )种填写的
方法．
A．1 000 B.999 C.500 D.499
3. 如果一个数由四舍五入得到的近似数是35，那么在下列各数中不可能是这个数的是（ ）
A．34．49 B．34．51 C．34．99 D．35．01
专题二 用计算器进行有理数的计算
4. 用计算器求（3.2﹣4.5）×32﹣的按键顺序是 .
5. 用计算器计算：（﹣3.75）2+4.83÷（﹣2.76）≈ 12.3.（精确到十分位）.
状元笔记
【知识要点】
1. 近似数：与准确数非常接近的数，称为近似数.
2. 近似数的精确度：近似数与准确数的近似程度，称为精确度.一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位．
3. 取近似数的方法：四舍五入法、进一法、去尾法.
4. 用计算器进行计算：计算器由键盘、显示器两部分组成，键盘上的每个键都标有这个键的功能.按有理数运算算式的书写顺序输入，计算器会按算式规定的运算顺序算出结果.
【温馨提示（针对易错）】
1. 如果这个数的整数数位不比要求精确到的位数多，则可以直接用四舍五入表示出来；如果整数数位比要求精确到的位数多，一定要先用科学记数法表示，然后四舍五入表示．
例如15876保留两位有效数字是1.6×10，而不能写成16000．
2. 用计算器计算时，要按对按键、弄对顺序.
【方法技巧】
1. 对带单位的近似数，应先将它还原成不带单位的数，再看带单位的数的最后一位数字位于还原后的数的哪个数位.
2. 用计算器输入小于1的小数时，可以把前面的0省略.
答案
1. D
2. C 【解析】 可填500，501，…，9 9 9，共500种填法．
3. A 【解析】 由于34．51，34．99，35．01四舍五入的近似值都可能是35，而只有34．49不可能是真值.故选A．
4.
5. 12.3 【解析】原式=14.0625﹣1.75=12.3125≈12.3．
第3章 整式的加减
3.1 列代数式
专题一 代数式、列代数式
1. 如图是一个长为a，宽为b的长方形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在长方形对边上的平行四边形．则长方形中未涂阴影部分的面积为( )
A．ab－(a＋b)c B．ab－(a－b)c
C．(a－c)(b－c) D．(a－c)(b＋c)
2. 对下列代数式作出解释，其中不正确的是（ ）
A．a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，小明比他爸爸小（a﹣b）岁
B．a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，则小明出生时，他爸爸为（a﹣b）岁
C．ab：长方形的长为a cm，宽为b cm，长方形的面积为ab cm2
D．ab：三角形的一边长为a cm，这边上的高为b cm，此三角形的面积为ab cm2
3. 如图，啤酒瓶高为h，瓶内酒面高为a，若将瓶盖好后倒置，酒面高为a′（a′+b=h），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（ ）
A．1+ B．1+ C．1+ D．1+
专题二 用代数式表示数图规律
4. 下列是有规律排列的一列数：1，，，，…，其中从左至右第n个数是 ．
5. 如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒，a、b、c、d是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时，c= 9，d= 37．
6. 观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n（n是正整数）的结果为（ ）
A．（2n+1）2 B．1+8n C．1+8（n﹣1） D．4n2+4n
状元笔记
【知识要点】
1．代数式：由数和字母用运算符号连接所成的式子，称为代数式.
2. 代数式的书写要求：
（1）式子中出现的乘号，通常写作“•”或省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面；
（3）除法运算写成分数形式.
3. 列代数式：把问题中有关的数量用代数式表示出来，叫列代数式.
【温馨提示（针对易错）】
1. 单独的一个数或一个字母也是代数式.
2. 列实际问题中的代数式，要注意单位，若结果是和或差的形式，则应先把列出的代数式用括号括起来、再加单位.
【方法技巧】
列代数式的关键是正确分析数量关系，咬文嚼字，抓住“的”字，分清运算顺序.
答案
1. C
2. D
3. C 【解析】 设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，则ax=1﹣bx，解得x=，
∴酒的体积为×a=，∴酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为1︰=1+．
故选C．
4. 【解析】 第1个数1=，第2个数=，第3个数=，…，
∴第n个数可表示为．
5. 37 【解析】 观察发现：第n行的第一个数和行数相等，第二个数1+1+2+…1=+1．
所以当a=8时，则c=9，d=9×4+1=37．
6. A 【解析】 图（1）：1+8=9=（2×1+1）2；图（2）：1+8+16=25=（2×2+1）2；图（3）：1+8+16+24=49=（3×2+1）2；…；那么图（n）：1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2．故选A．
3.2 代数式的值
专题一 代数式的值的意义与求值
1. a为有理数．下列说法中正确的是( )
A．(a＋1) 2的值是正数 B．a2＋1的值是正数
C．－(a＋1)2的值是负数 D．－a2＋1的值小于1
2. 如果1＜x＜2,则代数式的值是( )
A． 1 B．－1 C．2 D．3
专题二 与代数式的值有关的探究题
3. 已知代数式，当x=1时，值为1，那么该代数式当x=时的值是（ ）A. 1 B. C. 0 D.2
4. 已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e为常数，当x＝2时，y＝23；当x＝－2时，y＝－35，那么e的值是（ ）
A．6 B．－6 C．12 D．－12
5. QQ是一种流行的中文网络即时通讯软件．注册用户通过累积“活跃天数”就可获得相应的等级，如果用户当天（0：00～24：00）使用QQ在2小时以上（包括2小时），其“活跃天数”累积为1天．一个新用户等级升到1级需要5天的“活跃天数”，这样可以得到1个星星，此后每升1级需要的“活跃天数”都比前一次多2天，每升1级可以得到1个星星，每4个星星可以换成一个月亮，每4个月亮可以换成1个太阳．网名是“未来”的某用户今天刚升到2个月亮1个星星的等级，那么他可以升到1个太阳最少还需经过的天数是多少天？
状元笔记
【知识要点】
1. 代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫代数式的值．
2. 求代数式的值的步骤：一代入，二求值.
【温馨提示（针对易错）】
求代数式的值时，要注意书写格式；代入负数或分数时，要注意适时添加括号.
【方法技巧】
求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．
答案
1. B 【解析】 不论a为何值，总有(a＋1) 2≥0，a2＋1≥1＞0，－(a＋1)2≤0，－a2＋1≤1.
故只有B正确.
2. B
3. B 【解析】 代数式当x=1和当x=时的值互为相反数.
4. B 【解析】由题设知，当x＝2时，23＝a·27＋b·25＋c·23＋d·2＋e ; ①
当x＝－2时，－35＝a·(－2)7＋b·(－2)5＋c·(－2)3＋d·(－2)＋e，
即－35＝－a·27－b·25－c·23－d·2＋e ②
①＋②，则得2e＝－12，所以e＝－6．故选B．
5. 解：1级需要5天，2级需要12天；3级需要21天；四级需要32天…
所以若级数为N，天数为M，则M=N（N+4），
所以升到1个太阳即到16级，则天数M=16（16+4）=320（天）；
升到2个月亮1个星星即到第9级，所用天数为：9（9+4）=117（天），
所以320﹣117=203（天）．即至少还需要203天．
3.3 整式
专题一 整式
1. 下列说法：
①x的系数是1，次数是0；
②式子﹣0.3a2，5x2y2，﹣5，m都是单项式；
③单项式﹣7x2y2z的系数是﹣7，次数是4；
④﹣3лa5的系数是﹣3л．
其中正确的是（ ）
A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④
2. 要使多项式mx3﹣2x2+3x﹣4x3+5x2﹣nx不含三次项及一次项，则m= ，n= ．
专题二 与整式有关的探究题
3. 有一组单项式：a2，﹣，，﹣，…．观察它们构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为 ．
4. 多项式（x+）2﹣4，当x= 时，有最小值，且最小值是 ．
5. 已知有理数a和b满足多项式A．A=（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b是关于x的二次三项式．
当x＜﹣7时，化简：|x﹣a|+|x﹣b|.
状元笔记
【知识要点】
1. 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫单项式．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
2. 多项式：几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
3. 整式：单项式和多项式统称整式．
4. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的从大到小（或从小到大）的顺序来排列，叫做这个多项式按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.
【温馨提示（针对易错）】
1. π是常数，不是字母.
2. 单项式的由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示；当系数是1或﹣1时，“1”通常省略不写．
3. 单项式的次数与多项式的次数容易混淆，要搞清它们的异同.
4. 升（降）幂排列时每项移动时要带上前面的符号.
【方法技巧】
将含多个字母的多项式进行升（降）幂排列时，其它的字母都看作常数；重新排列只改变多项式中各项的位置，其它都不改变.
答案
1. D 【解析】 ①x的系数是1，次数是0；②符合单项式定义；③单项式﹣7x2y2z的系数是﹣7，次数是5；④符合单项式系数的定义．故选D．
2. 4，3 【解析】 要使多项式mx3﹣2x2+3x﹣4x3+5x2﹣nx不含三次项及一次项，则要求这两项的系数为0，所以两个三次项的系数互为相反数、两个一次项的系数也互为相反数，所以m﹣4=0，3﹣n=0，得m=4，n=3．
3. ﹣ 【解析】 通过数字的特点可以找到以下规律：分母为自然数，偶数项符号为负号，字母指数比分母大1．据此推测，第十项的系数为﹣、次数为11．所以第十个单 项式为﹣
4. ﹣，﹣4 【解析】 ∵（x+）2≥0，∴（x+）2﹣4≥﹣4.当x=﹣时此多项式取得最小值，且最小值为﹣4．
5. 【解析】根据有理数a和b满足多项式A．A=（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b是关于的二次三项式，求得a、b的值，然后对|x﹣a|+|x﹣b|化简即可．
解：∵有理数a和b满足多项式A．A=（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b是关于x的二次三项式，
∴a﹣1=0，解得a=1．
当|b+2|=2时，解得b=0，此时A不是二次三项式；
当|b+2|=1时，解得b=﹣1或b=﹣3，
∴当a=1，b=﹣1，x＜﹣7时，|x﹣a|+|x﹣b|=|x﹣1|+|x+1|=1﹣x﹣x﹣1=﹣2x，
当a=1，b=﹣3，x＜﹣7时，|x﹣a|+|x﹣b|=|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2．
3.4 整式的加减
专题一 同类项与去（添）括号
1. 若5a|x|b2与—0.2a3b|y|是同类项，则x、y的值分别是（ ）
A．x=±3，y=±2 B．x=3，y=2
C．x=—3，y=—2 D．x=3，y=—2
2. 已知代数式—xa+bya﹣1与3x2y的和是单项式，则a﹣b的相反数为（ ）
A．2 B．0
C．﹣2 D．1
3. 已知a—b=—3，c+d=2，则（a﹣d）—b+c）的值为（ ）
A．﹣5 B．1
C．5 D．﹣1
专题二 整式的加减运算
4. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示,式子|a|＋|b|＋|a＋b|＋|c－b |化简结果为 ( )
A．2a＋3b－c B．3b－c
C．c－b D．3b＋c
5. 现规定一种运算： a※b=ab+a－b，其中a、b为有理数，化简a※b +(b－a) ※2，并求出当a＝—,b＝2时该式的值．
状元笔记
【知识要点】
1.同类项：所含字母相同、并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
3.去括号法则：
（1）括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都改变正负号．
（2）括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变正负号．
4.添括号法则：
（1）所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不改变正负号．
（2）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变正负号．
5.整式的加减运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．
【温馨提示（针对易错）】
1.辨认同类项时要注意：
(1)同类项与系数大小没有关系；
(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．
2.去（添）括号要严格按照法则进行，防止出现符号错误.
【方法技巧】
1.添括号是否正确，可以用去括号检验一下.
2.在进行整式的加减求值时，除了化简后直接代入求值外，有时可以用整体代入、变形代入等特殊方法.
答案
1. A 【解析】 ∵5a|x|b2与—0.2a3b|y|是同类项，∴|x|=3，|y|=2，解得x=±3，y=±2．故选A．
2. C 【解析】 ∵代数式—xa+bya﹣1与3x2y的和是单项式，
∴代数式—xa+bya﹣1与3x2y是同类项，
∴a+b=2，a—1=1，解得：a=2，b=0.
∴a—b=2，即a﹣b的相反数是—2.
故选C．
3. A 【解析】 根据题意有（a—d）—（b+c）=（a—b）—（c+d）=—3—2=—5，故选A．
4. B 【解析】 由已知得a＜0、b＞0、a＋b＞0、b－c＜0，所以|a|＋|b|＋|a＋b|＋|b－c|＝
－a＋b＋（a＋b）＋（b－c）＝－a＋b＋a＋b＋b－c＝3b—c.
5. 解： a※b=ab+a－b, (b－a) ※2=(b－a)×2＋(b－a)－2, a※b +(b－a) ※2＝ab+a－b+2b－2a＋b－a－2＝ab—2a＋2b－2.当a＝﹣,b＝2时，原式＝（—）×2—2×（—）＋2×2－2＝－1＋1＋4－2＝2.
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