北师大版八年级数学下册-第1章-1.1等腰三角形-一课一练-教材同步培优练习及解析.docx

北师大版八年级数学下册 第 1 章 1.1 等腰三角形 一课一练 教材同步培优练习及解析
一、选择题
ABD ACD
1、如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ ≌△
的条件是(
)
BD CD
A． ＝
AB AC
B． ＝
B
C
D．∠BAD＝∠CAD
C．∠ ＝∠
ABC CDA
2、 如图，△ ≌△ ，并且
AB CD
，那么下列结论错误的是(
＝
)
AC CA
A．∠1＝∠2 B． ＝
D
B
AC BC
D． ＝
C．∠ ＝∠
AB AC A D，若∠BAD
＝80°，则∠BCD＝(
3、 如图， ＝ ＝
)
A．80°
B．100°
C．140°
AB AC
D．160°
BD CE 分别是∠ABC、∠BCD
4、如图，在△ABC
中， ＝ ，∠ ＝36°， 、
A
的角平分线，则图中的等腰三角
形有(
)
A．5 个 B．4 个
C．3 个 D．2 个
5、 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(
)
A．有一个内角大于 60°
B．有一个内角小于 60°

C．每一个内角都大于 60°
D．每一个内角都小于 60°
6、 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，∠ ＝30°，
B
CD
AB 上的高，AD＝3cm，则 AB
是斜边 的长度是(
)
A．3cm
B．6cm C．9cm D．12cm
二、解答题
7、 等腰三角形的一个角等于 30°，求它的顶角的度数．
8、 如图，在△ABC中，已知
的度数．
AB AC BAC和∠ACB
＝ ，∠
D ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC
的平分线相交于点 ，∠

9、 如图，△ABC
AB AC D AC
中， ＝ ， 为
上任意一点，延长
BA
到 使得
E
AE AD
，连接
＝
DE
，求证： ⊥
DE
BC.
10、 如图，在△ABC
AB AC CD AB
中， ＝ ，
⊥
D BE AC
于点 ， ⊥
于点 ，求证： ∥ .
E
DE BC
11、 如图，△ABC
E AC
是等边三角形， 是
D BC
上一点， 是
延长线上一点，连接 ， .若∠
BE DE
ABE＝40° ，BE
DE CED的度数．
＝ ，求∠

12、 如图：已知等边△ABC
M，求证：BM EM
D AC
中， 是
E BC
的中点， 是
CE CD DM BC
延长线上的一点，且 ＝ ， ⊥ ，垂足为
＝
.
13、 △ABC
为正三角形，点 是边
M
BC
上任意一点，点 是边
N
CA
BM CN BN AM
上任意一点，且 ＝ ， 与 相
交于 点，求∠
BQM的度数．
Q
14、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD AB 边上的高，AE 是∠BAC
是
AE CD
的角平分线，
与
F
交于点 ，
求证：△CEF是等腰三角形．

15、如图，在△ABC
中， ＝ ，点 、 、 分别在
AB AC
D E F
AB BC AC
、 、
BE CF BD CE
边上，且 ＝ ， ＝ .
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠ ＝50°时，求∠
DEF的度数．
A
16、 求证：△ABC中不能有两个钝角．
a b c
17、 已知 ， ， 是△
ABC
a c ABC是等边三角形．
ab bc b
2
的三边，且满足关系式 ＋ ＝2 ＋2 －2 ，试说明△
2
2

18、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB
的平分线相交于点 ，且
O
OD AB OE AC ODE
∥ ， ∥ .试判定△ 的形
状，并说明你的理由．
19、 如图，在△EBD
中， ＝ ，点 在
EB ED
C
BD
CE CD BE CE A CE
上， ＝ ， ⊥ ， 是
AB BC
延长线上一点， ＝ .试
判断△ABC的形状，并证明你的结论．
20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知
AC＝
AB
50m， ＝40m，∠
BAC
a
＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？

参考答案
一、选择题
ABD ACD
1、如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ ≌△
的条件是(
)
BD CD
A． ＝
AB AC
B． ＝
B
C
C．∠ ＝∠
D．∠BAD＝∠CAD
解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD
为公
BD CD
ABD ACD(SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD AB AC
，则△ ≌△ 为公共边，若 ＝ ，不符合全等三角形判定定
共边，若
＝
ABD ACD；C.∵∠1＝∠2，AD
理，不能判定△ ≌△
B
C
ABD ACD(AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD
为公共边，若∠ ＝∠ ，则△
≌△
为公共边，若∠BAD＝∠CAD，则△ABD ACD
≌△ (ASA)；故选 B.
ABC CDA
2、 如图，△ ≌△ ，并且
AB CD
＝ ，那么下列结论错误的是(
)
AC CA
A．∠1＝∠2 B． ＝
D
B
AC BC
D． ＝
C．∠ ＝∠
ABC CDA
解析：由△ ≌△ ，并且
AB CD AC CA D B
是公共边，可知∠1 和∠2，∠ 和∠ 是对应角．全等三角
＝
，
和
AC BC
形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．
ABC CDA
不是对应边，不一定相等．∵△ ≌△
和
，
AB CD
D
B
D
B
AC CA
是对应边，而不是
BC，∴A、B、C
＝ ，∴∠1 和∠2，∠ 和∠ 是对应角，∴∠1＝∠2，∠ ＝∠ ，∴
和
正确，错误的结论是 D.故选 D.

方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．
AB AC A D，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝(
3、 如图， ＝ ＝
)
A．80°
B．100°
D．160°
C．140°
B
BCD
D
解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠ ＋∠ ＋∠ 的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠
B＝∠ACB，∠ACD
D
BCD 的值．∵∠BAD
＝∠ ，从而得到∠ ＝80°，∴∠ ＋∠
B
BCD
＋∠ ＝280°.∵ ＝ ＝ ，∴∠
D
AB AC AD
B＝∠ACB，∠ACD
＝∠ ，∴∠
BCD＝280°÷2＝140°，故选 C.
D
方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线
的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的
两角之和等于 180°.
4、如图，在△ABC
AB AC BD CE 分别是∠ABC、∠BCD
中， ＝ ，∠ ＝36°， 、 的角平分线，则图中的等腰三角
A
形有(
)
A．5 个 B．4 个
C．3 个 D．2 个
AB AC
ABC
BD CE 分别是∠ABC、∠BCD
是等腰三角形；(2)∵ 、
解析：共有 5 个．(1)∵ ＝ ，∴△
的角平分线，∴
1
1
∠EBC
＝ ∠
ABC ECB
，∠ ＝ ∠
BCD ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE
.∵△
是等腰三角形；(3)∵∠ ＝36°，
A
2
2
1
1
AB AC
ABC＝∠ACB
BD 是∠ABC的角平分线，∴∠ABD
ABC
A
＝ ，∴∠
＝ (180°－36°)＝72°.又∵
＝ ∠
＝36°＝∠ ，∴△
2
2

ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选 A.
方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地
数出等腰三角形的个数．
5、 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(
)
A．有一个内角大于 60°
B．有一个内角小于 60°
C．每一个内角都大于 60°
D．每一个内角都小于 60°
解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，
即都大于 60°.故选 C.
方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．
6、 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，∠ ＝30°，
B
CD
AB 上的高，AD＝3cm，则 AB
是斜边 的长度是(
)
A．3cm
B．6cm C．9cm D．12cm
解析：在 Rt△ABC中，∵CD
是斜边
AB 上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD
＝∠ ＝30°.在 Rt△
B
ACD
AC AD
中， ＝2
＝6cm，在 Rt△ABC
AB AC AB
中， ＝2 ＝12cm.∴ 的长度是 12cm.故选 D.
方法总结：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
二、解答题
7、 等腰三角形的一个角等于 30°，求它的顶角的度数．
解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，
因此要分类讨论．
解：①当底角是 30°时，顶角的度数为 180°－2×30°＝120°；
②顶角即为 30°.

因此等腰三角形的顶角的度数为 30°或 120°.
方法总结：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分
类讨论是正确解答本题的关键．
8、 如图，在△ABC中，已知
的度数．
AB AC BAC和∠ACB
＝ ，∠
D ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC
的平分线相交于点 ，∠
AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠
解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得
DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC.
AB AC AE 平分∠BAC ADC＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵
解：∵ ＝ ， ，∴ ⊥ .∵∠
AE BC
CD 平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE
AB AC
B
ACB＝70°，∴∠BAC ACB)＝40°.
B
＝70°.又∵ ＝ ，∴∠ ＝∠
＝180－(∠ ＋∠
方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三
角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底
边上的高与其他两线互相重合．
9、 如图，△ABC
AB AC D AC
中， ＝ ， 为
上任意一点，延长
BA
到 使得
E
AE AD
，连接
＝
DE
，求证： ⊥
DE
BC.
AF DE
解析：作 ∥ ，交
BC
于点 .利用等边对等角及平行线的性质证明∠
BAF＝∠FAC
F
.在△ABC中由“三线合一”
AF BC
⊥ .再结合
AF DE
∥ 可得出结论．
得
A AF DE
证明：过点 作 ∥ ，交
BC
F
于点 .
AE AD ADE.
E
∵ ＝ ，∴∠ ＝∠

AF DE
E
＝∠
BAF，∠FAC ADE
∵ ∥ ，∴∠ ＝∠
.
∴∠BAF＝∠FAC
.
AB AC
AF BC
又∵ ＝ ，∴ ⊥ .
AF DE
DE BC
∵ ∥ ，∴ ⊥ .
方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边
上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合．
10、 如图，在△ABC
AB AC CD AB
中， ＝ ，
⊥
D BE AC
于点 ， ⊥
于点 ，求证： ∥ .
E
DE BC
AB AC
ABC＝∠ACB.又因为 CD AB
D BE AC
于点 ， ⊥
于点 ，所以∠
AEB＝∠ADC＝90°，
E
证明：因为
＝ ，所以∠
⊥
所以∠ABE＝∠ACD，所以∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，所以∠EBC＝∠DCB.在△BEC 与△CDB
中，
ì
∠BEC＝∠CDB，
ï
í
∠EBC＝∠DCB，所以△BEC CDB
BD CE
＝ ，所以
AB BD AC CE
－ ＝ － ，即
AD AE
ADE＝∠AED.
≌△ ，所以
＝ ，所以∠
ï
î
BC CB
＝ ，
又因为∠ 是△
ADE和△ABC的顶角，所以∠ADE＝∠ABC，所以 DE BC
A
∥ .
方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．
11、 如图，△ABC
E AC
是等边三角形， 是
D BC
上一点， 是
延长线上一点，连接 ， .若∠
BE DE
ABE＝40° ，BE
DE CED的度数．
＝ ，求∠
解析：因为△ABC 三个内角为 60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC
的度数，因为 ＝ ，所以得到∠
BE DE
EBC
＝∠ ，
D
求出∠ 的度数，利用外角性质即可求出∠
CED的度数．
D
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
BE DE
D
EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB
－∠ ＝40°.
D
∵ ＝ ，∴∠ ＝∠

方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，
所以必须熟练掌握．
12、 如图：已知等边△ABC
M，求证：BM EM
D AC
中， 是
E BC
的中点， 是
CE CD DM BC
延长线上的一点，且 ＝ ， ⊥ ，垂足为
＝
.
BM EM
BDM EDM
≌△ 即可．
解析：要证
证明：连接
＝
，由题意证△
1
1
BD，∵在等边△ABC
D AC 的中点，∴∠DBC
中， 是 ＝ ∠
ABC
＝ ×60°＝30°，∠
ACB
＝60°.∵ ＝
CE
2
2
C D，∴∠CDE
＝∠ .∵∠
E
ACB＝∠CDE
＋∠ ，∴∠ ＝30°，∴∠ ＝∠ ＝30°.∵
E
E
DBC
E
DM BC DMB＝∠DME＝90°，
⊥ ，∴∠
ì
DMB＝∠DME，
ï∠
í
∠DBM
＝∠ ，
E
在△DMB和△DME中，
DME DMB BM EM
∴△ ≌△ .∴
＝
.
ï
î
DM DM
＝
，
方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形
的性质完全适合等边三角形．
13、 △ABC
为正三角形，点 是边
M
BC
上任意一点，点 是边
N
CA
上任意一点，且
BM CN BN AM
＝
，
与
相
交于 点，求∠
BQM的度数．
Q
ABM BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN
解析：先根据已知条件利用 SAS 判定△ ≌△
＝∠ABC＝60°.
ì
AB BC
ï ＝ ，
í
∠ABC
＝∠ ，
C
解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC
＝∠ ＝∠
C
BAC
＝60°， ＝ .在△
AB BC
AMB 和△BNC
中，∵
∴△
ï
î
BM CN
＝
，
AMB BNC
≌△ (SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．

14、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD AB 边上的高，AE 是∠BAC
是
AE CD
的角平分线，
与
F
交于点 ，
求证：△CEF是等腰三角形．
解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等
CE CF
CEF是等腰三角形．
角对等边求得 ＝ ，从而求得△
解：∵在△ABC中，∠ACB
＝90°，∴∠ ＋∠
B
BAC＝90°.∵CD AB 边上的高，∴∠ACD＋∠BAC
＝90°，∴∠ ＝∠
是
B
ACD AE 是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC
.∵ ，∴ ∠ ＋∠
B
BAE＝∠AEC ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，
，∠
CE CF CEF是等腰三角形．
∴ ＝ ，∴△
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形
中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
15、如图，在△ABC
中， ＝ ，点 、 、 分别在
AB AC
D E F
AB BC AC
、 、
BE CF BD CE
边上，且 ＝ ， ＝ .
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠ ＝50°时，求∠
DEF的度数．
A
B
C
BDE 和△CEF
解析：(1)根据等边对等角可得∠ ＝∠ ，利用“边角边”证明△
全等，根据全等三角形对应边相
DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出
等可得
∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE
，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠ ＝∠
B
DEF.
ì
BD CE
ï ＝ ，
í
B
C
AB AC
B
C
BDE和△CEF中，∵ ∠ ＝∠ ， BDE CEF
DE EF DEF
(SAS)，∴ ＝ ，∴△
(1)证明：∵ ＝ ，∴∠ ＝∠ .在△
∴△
≌△
ï
î
BE CF
＝ ，

是等腰三角形；
BDE CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠
≌△ .∵∠ ＋∠
B
(2)解：∵△
1
.∵∠ ＝50°， ＝ ，∴∠ ＝ ×(180°－50°)＝65°，∴∠
B＝∠DEF DEF＝65°.
A
AB AC
B
2
方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等
的重要手段．
16、 求证：△ABC中不能有两个钝角．
解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正
确．
证明：假设△ABC
A
B
C
中能有两个钝角，即∠ ＜90°，∠ ＞90°，∠ ＞90°，
A
B
C
ABC
所以∠ ＋∠ ＋∠ ＞180°，与三角形的内角和为 180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△
中
不能有两个钝角．
方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论
的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
a b c
17、 已知 ， ， 是△
ABC
a c ABC是等边三角形．
ab bc b
2
的三边，且满足关系式 ＋ ＝2 ＋2 －2 ，试说明△
2
2
解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0 的形式求解．
a c
ab bc
b
2
解：移项得 ＋ －2 －2 ＋2 ＝0，
2
2
a b
ab c
bc b
2
∴ ＋ －2 ＋ －2 ＋ ＝0，
2
2
2
a b
b c
2
∴( － ) ＋( － ) ＝0，
2
a b
b c
a b b c
∴ － ＝0 且 － ＝0，即 ＝ 且 ＝ ，
a b c
∴ ＝ ＝ .
故△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三
边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

18、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB
的平分线相交于点 ，且
O
OD AB OE AC ODE
∥ ， ∥ .试判定△ 的形
状，并说明你的理由．
解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝
60°，从而可得△ODE是等边三角形．
解：△ODE是等边三角形，
理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
OD AB OE AC
ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∵
∥ ， ∥ ，∴∠
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个
角都等于 60°，从而判定这个三角形是等边三角形．
19、 如图，在△EBD
中， ＝ ，点 在
EB ED
C
BD
CE CD BE CE A CE
上， ＝ ， ⊥ ， 是
AB BC
延长线上一点， ＝ .试
判断△ABC的形状，并证明你的结论．
1
EB ED CE CD
CBE
ECB
BE CE
解析：由于 ＝ ， ＝ ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠
＝ ∠
.再由 ⊥ ，根
2
据三角形内角和定理，可求得∠ECB AB BC ABC是等边三角形．
＝60°.又∵ ＝ ，从而得出△
解：△ABC是等边三角形．
CE CD，∴∠CED
理由如下：∵ ＝ ＝∠ .
D
又∵∠ECB＝∠CED
＋∠ .∴∠
D
ECB
＝2∠ .
D

1
BE DE
∵ ＝ ，∴∠
CBE
D
ECB＝2∠CBE.∴∠CBE ECB.
＝ ∠
＝∠ .∴∠
2
BE CE CEB＝90°.
∵ ⊥ ，∴∠
1
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB
＋ ∠
ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.
2
AB BC ABC是等边三角形．
又∵ ＝ ，∴△
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边
也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于 60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于 60°，要证明这个三角
形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知
AC＝
AB
50m， ＝40m，∠
BAC
a
＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？
BD CA CA
的延长线于点 .在 Rt△
ABD中，利用 30°角所对的直角边是斜边的一半求 BD，即△
D
解析：作
⊥
交
ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
B
BD CA CA
D
BAC＝150°，∴∠DAB
AB
BD
解：如图所示，过点 作
⊥
交
的延长线于点 .∵∠
＝30°.∵ ＝40m，∴
1
＝2
1
A B＝20m，∴
S
＝ ×50×20＝500(m )．∵这种草皮每平方米 元，∴一共需要 500 元．
a
a
2
ABC
△
2
CA
BD
边上的高，根据相关的性质求
的长，正确的计算出△ABC的面积．
方法总结：解此题的关键在于作出

18、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB
的平分线相交于点 ，且
O
OD AB OE AC ODE
∥ ， ∥ .试判定△ 的形
状，并说明你的理由．
解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝
60°，从而可得△ODE是等边三角形．
解：△ODE是等边三角形，
理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
OD AB OE AC
ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∵
∥ ， ∥ ，∴∠
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个
角都等于 60°，从而判定这个三角形是等边三角形．
19、 如图，在△EBD
中， ＝ ，点 在
EB ED
C
BD
CE CD BE CE A CE
上， ＝ ， ⊥ ， 是
AB BC
延长线上一点， ＝ .试
判断△ABC的形状，并证明你的结论．
1
EB ED CE CD
CBE
ECB
BE CE
解析：由于 ＝ ， ＝ ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠
＝ ∠
.再由 ⊥ ，根
2
据三角形内角和定理，可求得∠ECB AB BC ABC是等边三角形．
＝60°.又∵ ＝ ，从而得出△
解：△ABC是等边三角形．
CE CD，∴∠CED
理由如下：∵ ＝ ＝∠ .
D
又∵∠ECB＝∠CED
＋∠ .∴∠
D
ECB
＝2∠ .
D

1
BE DE
∵ ＝ ，∴∠
CBE
D
ECB＝2∠CBE.∴∠CBE ECB.
＝ ∠
＝∠ .∴∠
2
BE CE CEB＝90°.
∵ ⊥ ，∴∠
1
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB
＋ ∠
ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.
2
AB BC ABC是等边三角形．
又∵ ＝ ，∴△
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边
也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于 60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于 60°，要证明这个三角
形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知
AC＝
AB
50m， ＝40m，∠
BAC
a
＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？
BD CA CA
的延长线于点 .在 Rt△
ABD中，利用 30°角所对的直角边是斜边的一半求 BD，即△
D
解析：作
⊥
交
ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
B
BD CA CA
D
BAC＝150°，∴∠DAB
AB
BD
解：如图所示，过点 作
⊥
交
的延长线于点 .∵∠
＝30°.∵ ＝40m，∴
1
＝2
1
A B＝20m，∴
S
＝ ×50×20＝500(m )．∵这种草皮每平方米 元，∴一共需要 500 元．
a
a
2
ABC
△
2
CA
BD
边上的高，根据相关的性质求
的长，正确的计算出△ABC的面积．
方法总结：解此题的关键在于作出

18、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB
的平分线相交于点 ，且
O
OD AB OE AC ODE
∥ ， ∥ .试判定△ 的形
状，并说明你的理由．
解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝
60°，从而可得△ODE是等边三角形．
解：△ODE是等边三角形，
理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
OD AB OE AC
ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∵
∥ ， ∥ ，∴∠
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个
角都等于 60°，从而判定这个三角形是等边三角形．
19、 如图，在△EBD
中， ＝ ，点 在
EB ED
C
BD
CE CD BE CE A CE
上， ＝ ， ⊥ ， 是
AB BC
延长线上一点， ＝ .试
判断△ABC的形状，并证明你的结论．
1
EB ED CE CD
CBE
ECB
BE CE
解析：由于 ＝ ， ＝ ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠
＝ ∠
.再由 ⊥ ，根
2
据三角形内角和定理，可求得∠ECB AB BC ABC是等边三角形．
＝60°.又∵ ＝ ，从而得出△
解：△ABC是等边三角形．
CE CD，∴∠CED
理由如下：∵ ＝ ＝∠ .
D
又∵∠ECB＝∠CED
＋∠ .∴∠
D
ECB
＝2∠ .
D

1
BE DE
∵ ＝ ，∴∠
CBE
D
ECB＝2∠CBE.∴∠CBE ECB.
＝ ∠
＝∠ .∴∠
2
BE CE CEB＝90°.
∵ ⊥ ，∴∠
1
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB
＋ ∠
ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.
2
AB BC ABC是等边三角形．
又∵ ＝ ，∴△
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边
也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于 60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于 60°，要证明这个三角
形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知
AC＝
AB
50m， ＝40m，∠
BAC
a
＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？
BD CA CA
的延长线于点 .在 Rt△
ABD中，利用 30°角所对的直角边是斜边的一半求 BD，即△
D
解析：作
⊥
交
ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
B
BD CA CA
D
BAC＝150°，∴∠DAB
AB
BD
解：如图所示，过点 作
⊥
交
的延长线于点 .∵∠
＝30°.∵ ＝40m，∴
1
＝2
1
A B＝20m，∴
S
＝ ×50×20＝500(m )．∵这种草皮每平方米 元，∴一共需要 500 元．
a
a
2
ABC
△
2
CA
BD
边上的高，根据相关的性质求
的长，正确的计算出△ABC的面积．
方法总结：解此题的关键在于作出

18、如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB
的平分线相交于点 ，且
O
OD AB OE AC ODE
∥ ， ∥ .试判定△ 的形
状，并说明你的理由．
解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝
60°，从而可得△ODE是等边三角形．
解：△ODE是等边三角形，
理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
OD AB OE AC
ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∵
∥ ， ∥ ，∴∠
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个
角都等于 60°，从而判定这个三角形是等边三角形．
19、 如图，在△EBD
中， ＝ ，点 在
EB ED
C
BD
CE CD BE CE A CE
上， ＝ ， ⊥ ， 是
AB BC
延长线上一点， ＝ .试
判断△ABC的形状，并证明你的结论．
1
EB ED CE CD
CBE
ECB
BE CE
解析：由于 ＝ ， ＝ ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠
＝ ∠
.再由 ⊥ ，根
2
据三角形内角和定理，可求得∠ECB AB BC ABC是等边三角形．
＝60°.又∵ ＝ ，从而得出△
解：△ABC是等边三角形．
CE CD，∴∠CED
理由如下：∵ ＝ ＝∠ .
D
又∵∠ECB＝∠CED
＋∠ .∴∠
D
ECB
＝2∠ .
D

1
BE DE
∵ ＝ ，∴∠
CBE
D
ECB＝2∠CBE.∴∠CBE ECB.
＝ ∠
＝∠ .∴∠
2
BE CE CEB＝90°.
∵ ⊥ ，∴∠
1
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB
＋ ∠
ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.
2
AB BC ABC是等边三角形．
又∵ ＝ ，∴△
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边
也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于 60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于 60°，要证明这个三角
形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
20、 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知
AC＝
AB
50m， ＝40m，∠
BAC
a
＝150°，这种草皮每平方米的售价是 元，求购买这种草皮至少需要多少元？
BD CA CA
的延长线于点 .在 Rt△
ABD中，利用 30°角所对的直角边是斜边的一半求 BD，即△
D
解析：作
⊥
交
ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
B
BD CA CA
D
BAC＝1