广东仲元中学2024-2025学年数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

广东仲元中学2024-2025学年数学高一第二学期期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．己知中，角所对的边分別是.若，则=( )
A． B．1 C．2 D．
2．某林区改变植树计划，第一年植树增长率，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的，若成活率为，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的多少倍？（ ）
A． B． C． D．
3．经过，两点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A． B． C． D．
6．设函数（为常实数）在区间上的最小值为，则的值等于（ ）
A．4 B．-6 C．-3 D．-4
7．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知集合，则( ).
A． B． C． D．
9．某产品的广告费用 (单位：万元)与销售额 (单位：万元)的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
10．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是_______．
12．已知函数，有以下结论：
①若，则；
②在区间上是增函数；
③的图象与图象关于轴对称；
④设函数，当时，．
其中正确的结论为__________．
13．在等比数列中，已知，则=________________.
14．已知等差数列，，，，则______.
15．对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_____．
16．67是等差数列-5，1，7，13，……中第项，则___________________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和，满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；
18．设数列的前项和为,已知
（Ⅰ）求, 并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
19．已知直线：及圆心为的圆：．
（1）当时，求直线与圆相交所得弦长；
（2）若直线与圆相切，求实数的值．
20．已知、、是的内角，且，.
（1）若，求的外接圆的面积：
（2）若，且为钝角三角形，求正实数的取值范围.
21．已知集合，数列是公比为的等比数列，且等比数列的前三项满足.
（1）求通项公式；
（2）若是等比数列的前项和，记，试用等比数列求和公式化简（用含的式子表示）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由正弦定理可得．
【详解】
∵，∴．
故选B．
本题考查正弦定理，解题时直接应用正弦定理可解题，本题属于基础题．
2、B
【解析】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，则第年的林区的树木数量为，求解即可.
【详解】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，
则第年的林区的树木数量为，
，，，，
因此，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的倍，故选：B.
本题考查数列的性质和应用，解题的关键在于建立数列的递推关系式，然后逐项进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3、C
【解析】
根据题目条件，选择两点式来求直线方程.
【详解】
由两点式直线方程可得：

化简得：
故选：C
本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4、A
【解析】
由已知易得圆柱的高为，底面圆周长为，求出半径进而求得底面圆半径即可求出圆柱体积。
【详解】
底面圆周长， ，
所以
故选：A
此题考查圆柱的侧面展开为长方形，长为底面圆周长，宽为圆柱高，属于简单题目。
5、A
【解析】
将转化为关于的方程，解方程可得的值．
【详解】
∵，
∴，
又，
∴．
故选A．
本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．
6、D
【解析】
试题分析：，，，当时，，故.
考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质.
7、D
【解析】
由图象性质可知，，解得，故选D。
8、B
【解析】
求解一元二次不等式的解集，化简集合的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出.
【详解】
因为，
所以，故本题选B.
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.
9、B
【解析】
试题分析：，回归直线必过点，即．将其代入可得解得，所以回归方程为．当时，所以预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元
考点：回归方程
10、A
【解析】
由的范围求出的范围，结合余弦函数的性质即可求出函数的值域.
【详解】
∵，∴，
∴当，即时，函数取最大值1，
当即时，函数取最小值，即函数的值域为，
故选A.
本题主要考查三角函数在给定区间内求函数的值域问题，通过自变量的范围求出整体的范围是解题的关键，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.
【详解】
依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.
12、②③④
【解析】
首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.
【详解】

①当时，函数的周期为，
，或 ，所以①不正确；
②时，，所以是增函数，②正确；
③函数还可以化简为，所以与关于轴对称，正确；
④，当时，
，

，④正确
故选②③④
本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.
13、
【解析】

14、
【解析】
利用等差中项的基本性质求得，，并利用等差中项的性质求出的值，由此可得出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，
同理，
由于、、成等差数列，所以，则，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据的定义把带入即可。
【详解】
∵
∴
∵
∴①
∴②
①-②得
∴
故答案为：
本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。
16、13
【解析】
根据数列写出等差数列通项公式,再令算出即可.
【详解】
由题意,首项为-5,公差为,则等差数列通项公式,令,则
故答案为：13.
等差数列首项为公差为,则通项公式

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）已知求，利用即可求出；（2）根据数列
通项公式特征，采取分组求和法和错位相减法求出
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，所以；
当时， ，
即，，因为，所以，
，即，当时，也符合公式．
综上，数列的通项公式为．
（2）因为，所以

（ ）
由得，
两式作差得， ，
即 ，故．
本题主要考查求数列通项的方法——公式法和构造法的应用， 以及数列的求和方法——分组求和法和错位相减法的应用．
18、（1），；（2）．
【解析】
试题分析：本题主要考查由求、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，由求，利用，分两部分求和，经判断得数列为等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用错位相减法，结合等比数列的前n项和公式，计算化简．
试题解析：（Ⅰ）时
所以时，
是首项为、公比为的等比数列，，．
（Ⅱ）

错位相减得:

．
考点：求、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法．
19、 (1) 弦长为4；(1) 0
【解析】
（1）由得到直线过圆的圆心，可求得弦长即为圆的直径4；
（1）由点到直线的距离等于半径1，得到关于的方程，并求出.
【详解】
（1）当时，直线：，圆：．
圆心坐标为，半径为1．
圆心在直线上，则直线与圆相交所得弦长为4.
（1）由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得：．
本题考查直线与圆相交、相切两种位置关系，求解时注意点到直线距离公式的应用，考查基本运算求解能力.
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据同角三角函数基本关系先求得，再由正弦定理求得即可；
（2）因大小不能确定，故钝角不能确定，结合三角形三边关系和余弦定理特点即可判断
【详解】
（1）由，又，即，
故外接圆的面积为：
（2），，，根据三边关系有，
当为钝角时，可得，即，解得，故；
当为钝角时，可得，即，解得，故；
综上可得的范围是
本题考查正弦定理的应用，余弦定理和三角形中形状的判断的关系，属于中档题
21、（1）（2）
【解析】
（1）观察式子特点可知，只有2,4,8三项符合等比数列特征，再根据题设条件求解即可；
（2）根据等比数列通项公式表示出，再采用分组求和法化简的表达式即可
【详解】
（1）由题可知，只有2,4,8三项符合等比数列特征，又，故，
故，；
（2），

，所以
本题考查等比数列通项公式的求法，等比数列前项和公式的用法，分组求和法的应用，属于中档题