广东省广州铁一中学2025届高一数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

广东省广州铁一中学2025届高一数学第二学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
2．已知等比数列中，，该数列的公比为
A．2 B．-2 C． D．3
3．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，，若存在实数t，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
6．若，且，则( )
A． B． C． D．
7．为数列的前n项和,若,则的值为( )
A．-7 B．-4 C．-2 D．0
8．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）

A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③
9．在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则是异面直线
D．若，，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为_____.
12．已知与的夹角为，，，则________.
13．已知函数一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．

14．函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.
15．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________

16．设数列满足，且，则数列的前n项和_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，．
（1）若，求的值．
（2）记，在中，满足，求函数的取值范围．
18．已知圆圆心坐标为点为坐标原点，轴、轴被圆截得的弦分别为、.
（1）证明：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于两点，若，求圆的方程.
19． “精准扶贫”的重要思想最早在2013年11月提出，到湘西考察时首次作出“实事求是，因地制宜，分类指导，精准扶贫”的重要指导。2015年在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
编号
1
2
3
4
5
年份
2015
2016
2017
2018
2019
单价(元/公斤)
18
20
23
25
29
药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材A的单价；
（2）用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由.
附：，.
20．在中，求的值.
21．已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）的外接圆的方程．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据正弦函数的周期性及对称性，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，所以的最小正周期为，即，故①正确；
由，令，得的对称轴为，所以是的对称轴，不是的对称轴，故②正确，③不正确；
由，令，得的对称中心为，所以不是的对称中心，故④不正确.
故选：A
本题主要考查正弦函数的周期性以及对称性.
2、B
【解析】
分析：根据等比数列通项公式求公比.
详解：因为 ，所以
选B.
点睛：本题考查等比数列通项公式，考查基本求解能力.
3、D
【解析】
根据两个球的表面积之比求出半径之比，利用半径之比求出球的体积比.
【详解】
由题知，
则.
故选：D.
本题主要考查了球体的表面积公式和体积公式，属于基础题.
4、C
【解析】
得到圆心距与半径和差关系得到答案.
【详解】
圆心距

存在实数t，使得

故答案选C
本题考查了两圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.
5、B
【解析】
分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，

,
点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
6、A
【解析】
利用二倍角的正弦公式和与余弦公式化简可得.
【详解】
∵，
∴，
∵，所以，
∴，
∴.
故选：A
本题考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
7、A
【解析】
依次求得的值，进而求得的值.
【详解】
当时，；
当时，，；
当时，；
故.
故选：A.
本小题主要考查根据递推关系式求数列每一项，属于基础题.
8、A
【解析】
分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.
【详解】
由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.
本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.
9、C
【解析】
根据几何概型概率公式直接求解可得结果.
【详解】
由几何概型概率公式可知，所求概率
本题正确选项：
本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.
10、A
【解析】
利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确.
对于B，若，，则或，故B错误.
对于C，若，，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误.
对于D，若，，，则位置关系为平行或异面，故D错误.
故选：A
本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
由题意设，，，由得出
，它表示圆，由，利用向量的模的几何意义从而得到最小值.
【详解】
由题意设，，，
因，即，
所以，它表示圆心为，半径的圆，
又，
所以，而表示圆上的
点与点的距离的平方，
由，
所以，故的最小值为.
故答案为：.
本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与应用问题，属于中档题.
12、3
【解析】
将平方再利用数量积公式求解即可.
【详解】
因为,故.
化简得.因为，故.
故答案为：3
本题主要考查了模长与数量积的综合运用,经常利用平方去处理.属于基础题.
13、
【解析】
由函数的图象可得T=﹣ ，解得：T==π，
解得ω=1．
图象经过（，1），可得：1=sin（1×+φ），
解得：φ=1kπ+，k∈Z，
由于：|φ|＜，
可得：φ=，
故f（x）的解析式为：f（x）=．
故答案为f（x）=．
14、
【解析】
作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.
故答案为
15、
【解析】
观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可.
【详解】
由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和.
即 .故第1到第13行中实心圆点的个数分别为：
.
故答案为：
本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系,属于中等题型.
16、
【解析】
令

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）求出数量积，由二倍角公式和两角和的正弦公式化简，求出，然后结合诱导公式和余弦的二倍角公式可求值；
（2）应用两角和的正弦公式可求得，得有范围，由（1）的结论得，即其范围．
【详解】
（1）由题意，，
．
（2）由（1），
由得
，
三角形中，∴，．则，，
∴．
本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查两角和正弦公式，二倍角公式，考查三角函数的性质．解题中利用三角公式化简变形是解题关键，本题属于中档题．
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用几何条件可知，为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；
（2）由及原点O在圆上，知OCMN，所以 ,求出 的值，再利用直线与圆的位置关系判断检验，符合题意的解，最后写出圆的方程．
【详解】
（1）因为轴、轴被圆截得的弦分别为、，
所以经过，又为中点，所以，所以
，所以的面积为定值.
（2）因为直线与圆交于两点，，
所以的中垂线经过，且过，所以的方程，
所以，所以当时，有圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线与圆交于点两点，故成立；
当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相交，故（舍去），
综上所述，圆的方程为.
本题通过直线与圆的有关知识，考查学生直观想象和逻辑推理能力．解题注意几何条件的运用可以简化运算．
19、（1），当时，；（2）应该种植A种药材
【解析】
(1)首先计算和,将数据代入公式得到回归方程,再取得到2020年单价.
(2)计算B药材的平均产量,得到B药材的总产值,与(1)中A药材作比较,选出高的一个.
【详解】
解:(1),

,当时，
(2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005
B药材的亩产量的平均值为:
故A药材产值为
B药材产值为
应该种植A种药材
本题考查了回归方程及平均值的计算，意在考察学生的计算能力.
20、
【解析】
由
即，
解得：（因为舍去）或.
21、（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0
【解析】
（1）根据高与底边所在直线垂直确定斜率，再由其经过点，从而由点斜式得到高所在直线方程，再写成一般式.
（2）设出的外接圆的一般方程，将三个顶点坐标代入得到关于的方程组，从而求出外接圆的方程.
【详解】
（1）直线AB的斜率为，AB边上的高所在直线的斜率为-2，则AB边上的高所在直线的方程为y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y-8=0
主要考查了直线方程与圆的方程的求解，属于基础题.