2025年四川省泸县一中高一下数学期末统考模拟试题含解析.doc

2025年四川省泸县一中高一下数学期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在正方体中，E，F，G，H分别是，，，的中点，K是底面ABCD上的动点，且平面EFG，则HK与平面ABCD所成角的正弦值的最小值是（ ）

A． B． C． D．
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1个黑球与恰有2个黑球 B．至少有一个红球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．至少有一个黑球与都是黑球
3．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前4项依次为，1，，，则该数列的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，若，，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图所示，在中，点D是边的中点，则向量（ ）

A． B．
C． D．
7．在中，，点P是直线BN上一点，若，则实数m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
9．过两点，的直线的倾斜角为，则实数=（ ）
A．-1 B．1
C． D．
10．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是（ ）
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.

12．已知与的夹角为求=_____．
13．在中,, 且,则 ．
14．若复数（为虚数单位），则的共轭复数________
15．已知数列满足，，则_______；_______.
16．在数列中，，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，.函数的图象关于直线对称，且.
（1）求函数的表达式：
（2）求函数在区间上的值域.
18．学生会有共名同学,其中名男生名女生,现从中随机选出名代表发言.求：
同学被选中的概率；
至少有名女同学被选中的概率.
19．已知数列满足,,设.
(1)求,,;
(2)证明:数列是等比数列,并求数列和的通项公式.
20．在中，角所对的边是，若向量与共线.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
21．已知数列满足：，，数列满足.
（1）若数列的前项和为，求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据题意取的中点，可得平面平面，从而可得K在上移动，平面，即可HK与平面ABCD所成角中最小的为
【详解】
如图，取的中点，连接，

由E，F，G，H分别是，，，的中点，
所以，，且，
则平面平面，
若K是底面ABCD上的动点，且平面EFG，
则K在上移动，
由正方体的性质可知平面，
所以HK与平面ABCD所成角中最小的为，
不妨设正方体的边长为，
在中，.
故选：A
本题考查了求线面角，同时考查了面面平行的判定定理，解题的关键是找出线面角，属于基础题.
2、A
【解析】
从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．
故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，
故选：A．
3、B
【解析】
分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：由题意,，
则，很明显
n⩾2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an−kn=(2−k)n+2，
则数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
4、A
【解析】
根据各选择项求出数列的首项，第二项，用排除法确定．
【详解】
可用排除法，由数列项的正负可排除B,D，再看项的绝对值，在C中不合题意，排除C，只有A.可选．
故选：A.
本题考查数列的通项公式，已知数列的前几项，选择一个通项公式，比较方便，可以利用通项公式求出数列的前几项，把不合的排除即得．
5、C
【解析】
由函数的解析式，求得，，进而得到，，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
令，即，即，所以，
令，即，即，所以，
又因为，，
即，，
所以，，
即，，
平方可得，，
两式相加可得，
所以.
故选：C.
本题主要考查了两角和与差的余弦公式，三角函数的基本关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
6、D
【解析】
根据向量线性运算法则可求得结果.
【详解】
为中点

本题正确选项：
本题考查根据向量线性运算，用基底表示向量的问题，属于常考题型.
7、B
【解析】
根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，即可得到的值.
【详解】
在中，，点是直线上一点，
所以，
又三点共线，所以，即.
故选：B.
本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题.
8、C
【解析】
要使函数有意义，需使，即，所以
故选C
9、A
【解析】
根据两点的斜率公式及倾斜角和斜率关系,即可求得的值.
【详解】
过两点,的直线斜率为
由斜率与倾斜角关系可知
即
解得
故选:A
本题考查了两点间的斜率公式,直线的斜率与倾斜角关系,属于基础题.
10、D
【解析】
根据判断的原则：“至少有个”的对立是“至多有个”.
【详解】
根据判断的原则：“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，
故选D.
至多至少的对立事件问题，可以采用集合的补集思想进行转化.如“至少有个”则对应“”，其补集应为“”.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】

如图，取中点，中点，连接，
由题可知，边长均为1，则，
中，，则，得，
所以二面角的平面角即，
在中，，
则，
所以．
点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．
12、
【解析】
由题意可得：，结合向量的运算法则和向量模的计算公式可得的值.
【详解】
由题意可得：，
则：.
本题主要考查向量模的求解，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13、
【解析】
∵在△ABC中，∠ABC＝60°，且AB＝5，AC＝7，
∴由余弦定理，
可得：，
∴整理可得：，解得：BC＝8或−3（舍去）．考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式．
14、
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
由z＝i（2﹣i）＝1+2i，
得．
故答案为1﹣2i．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．
15、
【解析】
令代入可求得；方程两边取倒数，构造出等差数列，即可得答案.
【详解】
令，则；
∵，
∴数列为等差数列，∴，
∴.
故答案为：；.
本题考查数列的递推关系求通项，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两边取倒数，构造新等差数列的方法.
16、-1
【解析】
首先根据，得到是以，的等差数列. 再计算其前项和即可求出，的值.
【详解】
因为，.
所以数列是以，的等差数列.
所以.
所以，，.
故答案为：
本题主要考查等差数列的判断和等差数列的前项和的计算，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）转化条件得，由对称轴可得，再结合即可得解；
（2）根据自变量的范围可得，利用整体法即可得解.
【详解】
（1）由题意，
函数的图象关于直线对称，.
即.
又 ，，得，由得，故.
则函数的表达式为
（2），.
，，
则函数在区间上的值域为.
本题考查了向量数量积的坐标运算、函数表达式和值域的确定，考查了整体意识，属于基础题.
18、（1）（2）
【解析】
(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;
(2)利用对立事件的概率公式即可求得.
【详解】
解：选两名代表发言一共有,,
共种情况,
其中.被选中的情况是共种.
所以被选中的概本为.
不妨设四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:
共种,
则至少有一名女同学被选中的概率为.
本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题.
19、 (1),,；(2)证明见详解， ，.
【解析】
（1）根据递推公式，赋值求解即可；
（2）利用定义，求证为定值即可，由数列通项公式即可求得和.
【详解】
（1）由条件可得，
将代入得，，而，所以.
将代入得，所以.
从而，，.
（2）由条件可得，即，，
又，所以是首项为1，公比为3的等比数列，.
因为，所以.
本题考查利用递推关系求数列某项的值，以及利用数列定义证明等比数列，及求通项公式，是数列综合基础题.
20、 (1) (2)
【解析】
（1）由题可得，利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式整理可得，进而得到答案．
（2）由正弦定理得，，所以周长，化简整理得，再根据角的范围求得答案．
【详解】
解：（1）由与共线，得，
由正弦定理得：，
所以
又，所以
因为，解得．
（2）由正弦定理得：，
则，，
所以周长

因为，，所以，
故
本题考查的知识点有正弦定理边化角以及两角和差的正弦公式，三角函数的性质，属于一般题．
21、 (1)；(2).
【解析】
(1)构造数列等差数列求得的通项公式,再进行求和,再利用裂项相消求得；
(2)由题出现 ,故考虑用分为偶数和奇数两种情况进行计算.
【详解】
(1)由得,即,所以是以为首项,1为公差的等差数列,故,故.
所以,故
.
(2)当为偶数时,

，当为奇数时,为偶数,

综上所述,当为偶数时,,
当为奇数时,
即.
本题主要考查了等差数列定义的应用，考查构造法求数列的通项公式与裂项求和及奇偶并项求和的方法，考查了分析问题的能力及逻辑推理能力，属于中档题.