2025年湖北省三校数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年湖北省三校数学高一第二学期期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列的前项和为，直线与圆:交于两点，且.记，其前项和为，若存在，使得有解，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
4．已知是两条异面直线，，那么与的位置关系（ ）
A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能垂直
5．若函数有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.假设在坐标系中的坐标为，则（ )

A． B． C． D．
7．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
8．已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为
A．11 B．12 C．13 D．14
10．直线与圆相交于M，N两点，若．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，已知角的对边分别为，且，，，若有两解，则的取值范围是__________．
12．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
13．已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则实数的取值范围是____．
14．在中，，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为______．
15．若，，则___________.
16．已知数列{}满足，若数列{}单调递增，数列{}单调递减，数列{}的通项公式为____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面上有一点列、、、、，对每个正整数，点位于函数的图像上，且点、点与点构成一个以为顶角顶点的等腰三角形；
（1）求点的纵坐标的表达式；
（2）若对每个自然数，以、、为边长能构成一个三角形，求的取值范围；
（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列的最大项的项数是多少？试说明理由；
18．某科研小组对冬季昼夜温差大小与某反季节作物种子发芽多少之间的关系进行分析，分别记录了每天昼夜温差和每100颗种子的发芽数，其中5天的数据如下，该小组的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，再用方程对其余的2组数据进行检验.
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
温度（℃）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
26
32
26
16
（1）求余下的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是第2、3、4天的数据，求关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与2组检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式；线性回归方程中系数计算公式：，，其中、表示样本的平均值）
19．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与轴交于点，设，，，R，求的值．
20．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
21．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：

（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；
（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在和的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据题意，先求出弦长，再表示出，得到，求出数列的通项公式，再表示出，用错位相减求和求出，再求解即可.
【详解】
根据题意，圆的半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长，
所以，
当时，，所以，
时，，
所以，
得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，，
所以，
，
，
所以，
由有解，，
只需大于的最小值即可，
因为，所以，所以.
故选：D
本题主要考查求圆的弦长、由和求数列通项、错位相减求数列的和和解不等式有解的情况，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于难题.
2、D
【解析】
由，，计算可判断；由，，计算可判断；由，可判断；作差可判断．
【详解】
解：，当，时，可得，故错误；
当，时，，故错误；
当，，故错误；
，即，故正确．
故选：．
本题考查不等式的性质，考查特殊值的运用，以及运算能力，属于基础题．
3、C
【解析】
根据题意可知函数周期为，利用周期公式求出，计算即可求值.
【详解】
由正切型函数的图象及相邻两支截直线所得的线段长为知，
，
所以，
，故选C.
本题主要考查了正切型函数的周期，求值，属于中档题.
4、C
【解析】
由平行公理，若，因为，所以，与、是两条异面直线矛盾，异面和相交均有可能．
【详解】
、是两条异面直线，，那么与异面和相交均有可能，但不会平行．
因为若，因为，由平行公理得，与、是两条异面直线矛盾．
故选C．
本题主要考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题.
5、D
【解析】
令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数
在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．
【详解】
令，得，
，令，
则，所以，，
构造函数，其中，由于，
，，
所以，当时，直线与函数在区间有交点，
因此，实数的取值范围是，故选D．
本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题．
6、D
【解析】
可得.
【详解】
向量，
则．
故选：．
本题主要考查了向量模的运算和向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
7、A
【解析】
根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．
【详解】
解：对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，
又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；
对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；
对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，
而平面是正方体下底面所在的平面，
则有且成立，但不能推出，故③不正确；
对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，
则有且，但是，推不出，故④不正确．
综上所述，其中正确命题的序号是①和②
故选：
本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
8、C
【解析】
求出A∩B即得解.
【详解】
由题得A∩B={2,3,4},所以A∩B中元素的个数是3.
故选：C
本题主要考查集合的交集的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、C
【解析】
利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.
【详解】
∵等差数列的公差为2，且，
∴
∴
∴.
故选：C
本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.
10、A
【解析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解
【详解】

如图所示，设弦中点为D，圆心C(3,2),
弦心距，又，
由勾股定理可得，
答案选A
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。处理过程中，直线需化成一般式

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.
【详解】
由正弦定理得：
若有两解：

故答案为
本题考查了正弦定理，有两解，意在考查学生的计算能力.
12、分层抽样.
【解析】
分析：由题可知满足分层抽样特点
详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样
故答案为分层抽样．
点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．
13、
【解析】
根据题意，设与关于原点的对称，分析可得的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
根据题意，设与关于原点的对称，则的坐标为，
若、均在不等式表示的平面区域内，则有，
解可得：，即的取值范围为，；
故答案为，．
本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．
14、
【解析】
设，求出的长，由几何概型概率公式计算．
【详解】
设，由题意得，，∴的概率是．
故答案为：．
本题考查几何概型，考查长度型几何概型．掌握几何概型概率公式是解题关键．
15、
【解析】
将等式和等式都平方，再将所得两个等式相加，并利用两角和的正弦公式可求出的值.
【详解】
若，，
将上述两等式平方得，①
，②，
①＋②可得，求得，故答案为．
本题考查利用两角和的正弦公式求值，解题的关键就是将等式进行平方，结合等式结构进行变形计算，考查运算求解能力，属于中等题.
16、
【解析】
分别求出{}、{}的通项公式，再统一形式即可得解。
【详解】
解：根据题意，

又单调递减， {}单调递减增

…①
…②
①+②,得，
故

代入，有成立，
又 …③
…④
③+④，得，
故

代入，成立。
，
综上，
本题考查了等比数列性质的灵活运用，考查了分类思想和运算能力，属于难题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）最大，详见解析；
【解析】
(1)易得的横坐标为代入函数即可得纵坐标.
(2)易得数列为递减的数列,若要组成三角形则,再代入表达式求解不等式即可.
(3)由可知求即可.
【详解】
(1)由点、点与点构成一个以为顶角顶点的等腰三角形有
.故.
(2)因为,故为减函数,故,又以、、为边长能构成一个三角形,故即
.
解得或,又,故.
(3)由取(2)中确定的范围内的最小整数,且,故.
故,由题当时数列取最大项.
故且,计算得当时取最大值.
本题主要考查了数列与函数的综合题型,需要根据题意找到函数横纵坐标的关系,同时也要列出对应的不等式再化简求解.属于中等题型.
18、（1）；（2）；（3）线性回归方程是可靠的.
【解析】
（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；
（2）由已知数据求得与，则线性回归方程可求；
（3）利用回归方程计算与8时的值，再由已知数据作差取绝对值，与1比较大小得结论．
【详解】
解：（1）设“余下的2组数据恰好是不相邻2天数据为事件”，
从5组数据中选取3组数据，余下的2组数据共10种情况：
，，，，，，，，，．
其中事件的有6种，
；
（2）由数据求得，，
且，．
代入公式得：，
．
线性回归方程为：；
（3）当时，，，
当时，，．
故得到的线性回归方程是可靠的．
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查古典概型的概率计算问题，属于中档题．
19、（1）（2）
【解析】
（1）设斜率为，则直线的方程为，利用圆的弦长公式，列出方程求得的值，即可得到直线的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，根据向量的运算，求得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的运算，求得，得到答案．
【详解】
（1）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
因为，所以，解得，
所以直线的方程为． .
（2）当直线的斜率不存在时，不妨设，，，
因为，，所以，，
所以，，所以．
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，
因为直线与轴交于点，所以．
直线与圆交于点，，设，，
由得，，所以，；
因为，，所以，，
所以，，
所以．
综上，．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及向量的坐标运算，其中解答中熟记圆的弦长公式，以及联立方程组，合理利用根与系数的关系和向量的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
20、 (1)见解析；(2)
【解析】
（1）不等式可化为：，比较与的大小，进而求出解集．
（2）恒成立即恒成立，则，进而求得答案．
【详解】
解：（1）不等式可化为：，
①当时，不等无解；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
（2）由可化为：，
必有：，化为，
解得：.
本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题．
21、（1）见解析（2）
【解析】
分析：（1）直接利用频率分布直方图的平均值和中位数公式求解.(2)利用古典概型求这2名市民年龄都在内的概率.
详解：(Ⅰ) 平均值的估计值:

中位数的估计值：
因为，
所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，
所以，.
(Ⅱ) 用分层抽样的方法，抽取的20人，应有4人位于年龄段内，记为，2人位于年龄段内，记为.
现从这6人中随机抽取2人，设基本事件空间为，则

设2名市民年龄都在为事件A，则
,
所以.
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查平均值和中位数的计算和古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就是中位数. 一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.