高中数学竞赛基础平面几何知识点总结.pdf

高中数学竞赛平面几何知识点基础1、相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.);(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似三边对应成比例，两个三角形相似.);(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似两角对应相等，两个三角形相似.).直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似;(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.常见模型：相似三角形的性质:（1）相似三角形对应角相等（2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比（3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比相似比（4）相似三角形的周长比等于相似比相似比（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方相似比的平方2、内、外角平分线定理及其逆定理内角平分线定理及其逆定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若 AM 平分BAC，则=该命题有逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线外角平分线定理：三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。如图所示，AD 平分ABC 的外角CAE，则=其逆定理也成立：若 D 是ABC 的 BC 边延长线上的一点，且满足则 AD 是A 的外角的平分线=，内外角平分线定理相结合：如图所示，AD 平分BAC，AE 平分BAC 的外角CAE，则=3、射影定理在 RtABC 中，ABC=90，BD 是斜边 AC 上的高，则有射影定理如下：BD=ADCDAB=ACADBC=CDAC对于一般三角形：在ABC 中，设A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则有a=bcosC+ccosBa=bcosC+ccosB b=ccosA+acosCb=ccosA+acosC c=acosB+bcosAc=acosB+bcosA4、旋转相似当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连连接对应点，找对应点连线和一组对应边所成的三角形线和一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应边成比例，如图中若ABCAED，则ACDABE5、张角定理在ABC 中 D 为 BC 边上一点，则sinBAD/AC+sinCAD/AB=sinBAC/AD6、圆内有关角度的定理圆周角定理及其推论：（1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等（3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径（4）圆内接四边形对角互补（5）圆内接四边形的外角等于其内对角弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。其大小等于它所夹的弧所对的圆周角其大小等于它所夹的弧所对的圆周角。其顶点在圆上。弦切角一条边与圆周相交，另一条边与圆相切，切点在圆周上。7、托勒密定理与托勒密不等式托勒密定理圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积如图所示，四边形 ABCD 为圆内接四边形，则ACBD=ABCD+ADBC托勒密不等式任意凸四边形任意凸四边形 ABCD，必有，必有 ACBDABCD+ADBC，而且当且仅，而且当且仅当当 A、B、C、D 四点共圆时取等号四点共圆时取等号8、切线长定理与圆幂定理切线长定理从圆外一点引圆的两条从圆外一点引圆的两条切线切线，它们的，它们的切线长切线长相等相等。即如图，AB、AC 切圆 O 于 B、C，切线长 AB=AC相交弦定理相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等如图所示，在O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，则有 APBP=CPDP相交弦定理与切割线定理、割线定理统称为圆幂定理切割线定理、割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的从圆外一点引圆的切线切线和和割线割线，切，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例比例中项中项。切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等段长的积相等（割线定理）如图所示，PT 切圆于 T，PDC、PBA 为两条割线，则有 PAPB=PCPD=PT 9、四点共圆方法方法 1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆二端点四点共圆）方法方法 2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆那么这四点共圆）方法方法 3：引入第五点：引入第五点，证明第五点与四个点中任意三点共圆，再另外一组三点，证明它们与第五个点四点共圆，则得到这五点共圆，也就是这原四点共圆方法方法 4：证明这四个点到某一定点的距离相等得到四点共圆后，可以利用圆周角定理及其推论、圆幂定理、托勒密定理等性质遇到有关边的条件，可以联想圆幂定理，从而得到相似三角形，将其转化为角度的条件10、西姆松定理及其逆定理西姆松定理是一个平面几何定理。其表述为：过三角形外表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线。线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）（此线常称为西姆松线）。如图所示，P 为ABC 外接圆上一点，过点 P 分别作 AB，AC，BC，垂足分别为 F、E、D，则 D、E、F 三点共线。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上则该点在此三角形的外接圆上。11、圆幂与根轴圆幂假设平面上有一O，其半径为 R，有一点 P 在圆 O 外，过 P 任作一直线与O交于点 A、B，即为即为 P 到到O 的幂，数值为的幂，数值为 OP-R；如下图所示，则=OP-R 圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。根轴与根心在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴，或者称作等幂轴。平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线两圆的根轴为公共弦所在的直线；若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线两圆的根轴为它们的内公切线；若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长相等。从而，根轴必过四条公切线的中点根轴必过四条公切线的中点。蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平三条根轴互相平行行；12、梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理当一条直线交ABC 三边所在的直线BC、AC、AB 分别于点 D，E，F 时，则有梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯逆定理是若有三点 F、D、E 分别在边三角形的三边 AB、BC、CA 或其延长线上，且满足，则 F、D、E 三点共线三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。13、塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理塞瓦定理是指在ABC 内任取一点 O，延长 AO、BO、CO分别交对边于 D、E、F，则赛瓦定理的逆定理在ABC 的边 BC，CA，AB 上分别取点 D，E，F，如果，那么直线 AD，BE，CF 相交于同一点相交于同一点。14、角元形式的塞瓦定理及其逆定理角元形式的塞瓦定理设 P 为平面上一点(不在 AB、BC、AC 三条直线上)，延长 AP、BP、CP 分别交对边或其延长线于 D、E、F 三点，那么=1角元形式的塞瓦定理的逆定理在ABC 的边 BC，CA，AB 上分别取点 D，E，F，如果，那么直线 AD，BE，CF 相交于同一点。=1 15、密克尔点三圆定理三圆定理：设三个圆 C1，C2，C3 交于一点 O，而 M，N，P 分别是 C1 和C2，C2 和 C3，C3 和 C1 的另一交点。设 A 为 C1 的点，直线 MA 交 C2 于 B，直线 PA 交 C3 于 C。那么 B,N,C 这三点共线三圆逆定理三圆逆定理：如果ABC 是三角形，M，N，P 三点分别在边 AB，BC，CA 上，那么AMP，BMN，CNP 的外接圆交于一点 O四圆定理四圆定理：设 C1，C2，C3，C4 为四个圆，A1 和 B1 是 C1 和 C2 的交点，A2 和B2 是 C2 和 C3 的交点，A3 和 B3 是 C3 和 C4 的交点，A4 和 B4 是 C1 和 C4 的交点。那么 A1，A2，A3，A4 四点共圆当且仅当 B1，B2，B3，B4 四点共圆五圆定理五圆定理:设 ABCDE 为任意五边形，五点 F，G，H，I，J 分别是 EA 和 BC，AB和 CD，BC 和 DE，CD 和 EA，DE 和 AB 的交点，那么三角形ABF，BCG，CDH，DEI，EAJ 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。五圆逆定理五圆逆定理：设 C1，C2，C3，C4，C5 五个圆的圆心都在圆 C 上，相邻的圆交于 C 上，那么把它们不在 C 上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。16、笛沙格定理及其逆定理笛沙格定理，即同调三角形定理。平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点对应顶点(A 和和 D、B 和和 E、C 和和 F)的连的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线点共线。其逆定理为，若两个三角形对应边的交点在同一条两个三角形对应边的交点在同一条直线上，则对应点的连线交于一点直线上，则对应点的连线交于一点。17、位似及其性质已知两个几何图形 A 和 A，若二者之间存在一个一一对应，且每一双对应点 P 和 P都与一定点 O 共线，同时 OP/OP=k（k0 是常数），则称 A 和 A位似，而点 O 叫做位似中心，k 是位似比。位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。位似图形对应边平行，对应点的连线交于一点，这一点是对应边平行，对应点的连线交于一点，这一点是位似中心位似中心。根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。把一个几何图形变换成与之位似的图形，叫做位似变换。物理中的透镜成像就是一种位似变换，位似中心为光心.位似变换应用极为广泛，特别是可以证明三点共线等问题.特别地，两个不重合的圆总是位似的，位似中心为两圆外公切线或内公切线的交点。18、垂心及其性质三角形的三条高线的交点三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。如图所示，H 为锐角三角形 ABC的垂心，则常用结论有：ABH 的垂心为 C，ACH 的垂心为B，BCH 的垂心为 A，此时我们成A、B、C、H 为“垂心四点组”，即在这这四个点中，任意三个点组成的三角形的四个点中，任意三个点组成的三角形的垂心恰是第四个点垂心恰是第四个点 ABH=ACH=-BAC，BHC=-2 BACAH=2RcosA，DH=2RcosBcosCH 关于关于 BC、AC、AB 的对称点的对称点H，H，H都在都在ABH 的外接圆上的外接圆上垂心关于三边中点的对称点也在该三角形外接圆上垂心关于三边中点的对称点也在该三角形外接圆上19、重心定理三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。重心定理是说三角形顶三角形顶点到重心的距离等点到重心的距离等于该顶点对边上中线长于该顶点对边上中线长的的 2/3。20、欧拉线及其性质三角形的三角形的外心外心、重心重心、垂心垂心，依次位于同一直线上，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半垂心到重心距离的一半。如图所示，H，O，G 分别是ABC 的垂心，外心，重心，则 H，G，O 三点共线，且 HG=2OG21、九点圆在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，通常称这个圆为九点圆，或欧拉圆、费尔巴哈圆。1.三角形的九点圆九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半的半径是三角形的外接圆半径之半；2.九点圆九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点点；3.三角形的九点圆与三角形的九点圆与三角形的内切圆三角形的内切圆相切相切（费尔巴哈定理）；4.九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共 4 个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆所以九点圆共与四个内切圆相切相切。22、梯形及其性质与判定梯形是指只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底。另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。两腰相等的梯形叫等腰梯形。性质：1、梯形的上下两底平行；2、梯形的中位线，平行于两底并且等于上下底和的一半；3、等腰梯形对角线相等；4、等腰梯形同一底上的两个角相等；判定：1、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形；2、一组对边平行且不相等的四边形是梯形；3、两腰相等的梯形是等腰梯形；4、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；5、对角线相等的梯形是等腰梯形；常用辅助线做法：23、斯特瓦尔特定理及其衍生公式斯特瓦尔特定理：设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有 ABDC+ACBD-ADBC=BCDCBD。衍生公式：设ABC 的角 A、角 B、角 C 的对边分别为a、b、c三角形的三条中线长：三角形的三条角平分线长（p 为半周长）：23、三角函数在平面直角坐标系 xOy 中设 的始边为 x 轴的正半轴，设点 P（x，y）为 的终边上不与原点 O 重合的任意一点，设 r=OP，令=，则：24、三角函数公式大全基本关系：sin+cos=1；=诱导公式和、差角公式，半角（万能）公式倍角公式和差化积，积化和差