高中数学竞赛专题讲座---复数.doc

复 数
专题一 复数与数列
复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．
例1 设数列是首项为48，公比为的等比复数列．
（1）求．
（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成，试求．
（3）求无穷级数的和．
解：（1）．．
（2）使为实数的最小自然数是6，数列是首项为48，公比为的等比数列．所以．
（3）这个级数是公比的无穷等比级数，从而和．
例2 今定义复数列如下，（，为正的常数．问复数的辐角的正切与哪一个值最接近？（当时）
分析：寻求的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．
解：的辐角记作，．
（1）当时，，所以．
（2）当时，
∴．
例3 （1）设在复数列之间有如下关系：，其中是常复数．当时，试将的值用表示．
（2）若（1）中的，求在圆（是复数）的内部总共含有的个数．
解：（1）,……
于是，从得，．
（2），所以,要使在圆的内部，它的充分必要条件是，∴．即，而，
∴．又，
能适合的只是．在逐个验证这五个点确信都在圆的内部，故符合条件的点共有5个．

例4 设平面上有点，如图所示，其中，线段，的长成首项为1，公比为的等比数列．
（1）若，则当时，与哪一点无限接近？
（2）将（1）中的极限点用表示．若固定而变动时，点所
描述的是怎样的曲线？
解：（1），此时，若将表示点的复数记作，则有，其中就是原点．于是．,
因此，若，令，则，所表示的点与所表示的点最靠近．
（2），则有，固定，做变动，点总在以原点为圆心的圆周上．但因，故有．于是当点在以原点为中心，为半径的圆上，点相应的在以点为圆心，为半径的圆上．
例5 设在复平面上:

（1）原点为，表示复数的点为，点由， 的交角为所确定。试求
表示点的复数。这里是实数。
（2）点列由下述方式确定：取，取
，由，以及的
夹角所定义。试求被表示为复数。
（3）若（2）中，，且记，，将化简。
解：（1）将表示的复数记作，则对有关系的点表示为复数，就是，从而
，所以。
（2）所表示的点，则用复数分别表示为。由，推出，因此，数列是首项为，公比为的等比数列。所以（是正整数）。所以。
（3）数列仍为等比数列，故可求得。
专题二 复数与几何
1. 有关轨迹问题：
y
x
o
C
A
例1 已知一圆B及圆外一点A，在圆上任取一点Q，以AQ为边按逆时针作正三角形AQP，求点P的轨迹.
解：如图：建立复平面，设，圆B半径为.P、Q分别对应复数为，
则.令，，.
故,.故点P的轨迹是圆，圆心对应的复数
为，即，半径为.
例2 已知复数在复平面上分别对应点A、B、C，O为复平面的原点.
(1) 若，向量逆时针旋转，模变为原来的2倍后与向量重合，求；
（2）若，试判断四边形OACB的形状.
解：向量逆时针旋转，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为，而对应的复数为，故=.故
整理可得：.
(2) ,.又四边形OACB为平行四边形，四边形OACB为菱形.
2. 复数的模与辐角
求复数的辐角主值常有两种方法：
(1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.
(2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.
例3 设复数满足,求复数的辐角主值的最大值与最小值。
解：可设,.设,由于故.
令则可先求出的最值。由
得,,,
即,故.
Z1
Z2
A
x
o
Z
y
方法二:由，知对应的点Z在单位圆上，设A（2，0），根据复数减法的几何意义，复数对应的向量是.（如图），
当射线AZ是圆O的切线时，对应的向量分别为，其中
Z1，Z2为切点.连接OZ1，则，可知为直角三角形.
由,故
例4 设求中辐角主值最大的复数.
解：的点在以为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足的点在单位圆内，（包括圆周），对应如图两圆共同部分 .中辐角主值最大的复数P点对应的复数
例5 若,求证：成立的充分必要条件是中至少有一个是1.
证：必要性：,,故有
.根据互为共轭的复数间关系有：
.化简整理得：
,,、至少有一个为1 。
充分性：以上过程均可逆。
结论成立。
常用到的与复数的模相关的结论：
（1） （2）|
（3） （4）.
（5）,
Z
A
Z1
Z2
X
O
B
y
例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存.问应如何取宝.
解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点
为原点O，建立如图所示的坐标系，设A、B为橡、松二树，其坐标分别为
（-1，0），（1，0）. 令点Z表示绞架，Z1、Z2、Z0分别表示第一个桩、第二个
桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z,z1,z2,z0.
由复数减法的几何意义，知 对应的复数为 ；对应的复数为.依照乘法的几何几何意义，知可由逆时针旋转得到.,即
同理,,其中点Z0 对应的复数为.即Z0 为虚轴上的点.∴不论绞架位置
在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为 的那一点，故宝可取.
例O
B
Y
A
C
30.
30.
X
7 某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km后向左转，后向前
走1km后向左转，如此下去，能回到出发点吗？
解：以出发点作为坐标原点O，走第一个1km时所沿的直线作为 Ox轴，
建立如图所示的复平面.
∴第一个1km的终点A对应的复数是1，第二个1km的终点B对应的复数是
1+()，第三个1km的终点C对应的复数是1+()+().
如此下去，走第个1km时所达到的点对应的复数是1+()+()
+，即1+()+()2+
= 当 =12时，上述复数为0，即可回到出发点。
专题三 复数与方程
1. 次方程一定有个复数根．
例1 求的根．
解：设，根据隶莫佛定理，，从而方程的根
是（）．
注：这个根的模都等于1，它的辐角按增加，由此可见，这个根均位于单位圆上把圆周作了等分．
例2 设在1的立方根中，记其中不等于1的一个根为，问的值是多少？再问，当是整数时，的值是多少？
解：，于是．．
例3 （1）设是1的5次方根（），当时，求的值．
（2）以原点位中心，以为顶点作五边形．求与相邻的两个顶点的坐标的值．
（3）试构造一个以为一个根的整系数二次方程．
解：（1）,
又，故有，所以．
（2）今将复平面作为给定的坐标平面，此时画出五边形．,
,及是点的相邻两顶点，他们的横坐标都是，于是有，而由（1）， 得到，解得（舍），．
（3），即，两边平方，，所以 （1）
（2） （1），，所以，将此式
代入（1），有，于是有．
根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍可以应用到复数范围内．
例4 设关于的方程 至少有一个模等于1的根，确定实数的值．
解：. （1）
（1）实根的情形：，所以或 （2）
将代入（1）式，，所以，解得，因为是实数，所以不符合条件．其次，用代入（1）整理后有 ，解得，这是实数，且在（2）的范围内，故适合题中条件．
（2）虚根的情形：，所以，．解（1）有，
，为使它的模等于1，只须，整理后，，∴（舍）或．
综上，满足条件的为．
判断根的个数的问题，可以当解方程有困难时，可以调用不等式，函数单调性等手段来处理问题．
例5 试求满足非实数的复数的个数．式中为实数时．
分析：根据作为根的条件，求出的关系式，由此对单变数的函数求导，再求根．
解：满足 （1）的非实数的复数记为：为实数时，，代入原方程，，所以，
∴
，由（3），,将它代入，有.从而，如果，则由（4），这不合题意，为此，
（1）当时，可化为,（6）等式左边看成是关于的函数求导数得 ，这表明方程左侧关于的函数是增函数，又，．可以推知，方程（6）只有一个正根，在此，由可确定两个复数．
（2）时，式可化为, （7）所以 ，从而，（7）式可以取两个负根：．这两个值对应于（4）可确定4个复数．
综上，满足（1）的非实复数共有6个．
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