高中数学竞赛专题讲座---复数.doc

复 数专题一 复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握例1 设数列是首项为48，公比为的等比复数列（1）求（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成，试求（3）求无穷级数的和解：（1）（2）使为实数的最小自然数是6，数列是首项为48，公比为的等比数列所以（3）这个级数是公比的无穷等比级数，从而和例2 今定义复数列如下，（，为正的常数问复数的辐角的正切与哪一个值最接近？（当时）分析：寻求的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论解：的辐角记作，（1）当时，所以（2）当时，例3 （1）设在复数列之间有如下关系：，其中是常复数当时，试将的值用表示（2）若（1）中的，求在圆（是复数）的内部总共含有的个数解：（1）,于是，从得，（2），所以,要使在圆的内部，它的充分必要条件是，即，而，又，能适合的只是在逐个验证这五个点确信都在圆的内部，故符合条件的点共有5个例4 设平面上有点，如图所示，其中，线段，的长成首项为1，公比为的等比数列（1）若，则当时，与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用表示若固定而变动时，点所描述的是怎样的曲线？解：（1），此时，若将表示点的复数记作，则有，其中就是原点于是,因此，若，令，则，所表示的点与所表示的点最靠近（2），则有，固定，做变动，点总在以原点为圆心的圆周上但因，故有于是当点在以原点为中心，为半径的圆上，点相应的在以点为圆心，为半径的圆上例5 设在复平面上:（1）原点为，表示复数的点为，点由， 的交角为所确定。试求表示点的复数。这里是实数。（2）点列由下述方式确定：取，取，由，以及的夹角所定义。试求被表示为复数。（3）若（2）中，且记，将化简。解：（1）将表示的复数记作，则对有关系的点表示为复数，就是，从而，所以。（2）所表示的点，则用复数分别表示为。由，推出，因此，数列是首项为，公比为的等比数列。所以（是正整数）。所以。（3）数列仍为等比数列，故可求得。专题二 复数与几何1. 有关轨迹问题：yxoCA例1 已知一圆B及圆外一点A，在圆上任取一点Q，以AQ为边按逆时针作正三角形AQP，求点P的轨迹.解：如图：建立复平面，设，圆B半径为.P、Q分别对应复数为，则.令，.故,.故点P的轨迹是圆，圆心对应的复数为，即，半径为.例2 已知复数在复平面上分别对应点A、B、C，O为复平面的原点.(1) 若，向量逆时针旋转，模变为原来的2倍后与向量重合，求；（2）若，试判断四边形OACB的形状.解：向量逆时针旋转，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为，而对应的复数为，故=.故整理可得：.(2) ,.又四边形OACB为平行四边形，四边形OACB为菱形.2. 复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：(1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.(2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.例3 设复数满足,求复数的辐角主值的最大值与最小值。解：可设,.设,由于故.令则可先求出的最值。由得,即,故.Z1Z2AxoZy方法二:由，知对应的点Z在单位圆上，设A（2，0），根据复数减法的几何意义，复数对应的向量是.（如图），当射线AZ是圆O的切线时，对应的向量分别为，其中Z1，Z2为切点.连接OZ1，则，可知为直角三角形.由,故例4 设求中辐角主值最大的复数.解：的点在以为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足的点在单位圆内，（包括圆周），对应如图两圆共同部分 .中辐角主值最大的复数P点对应的复数例5 若,求证：成立的充分必要条件是中至少有一个是1.证：必要性：,故有.根据互为共轭的复数间关系有：.化简整理得：,、至少有一个为1 。充分性：以上过程均可逆。结论成立。常用到的与复数的模相关的结论：（1） （2）| （3） （4）.（5）,ZAZ1Z2XOBy例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存.问应如何取宝.解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点为原点O，建立如图所示的坐标系，设A、B为橡、松二树，其坐标分别为（-1，0），（1，0）. 令点Z表示绞架，Z1、Z2、Z0分别表示第一个桩、第二个桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z,z1,z2,z0.由复数减法的几何意义，知 对应的复数为 ；对应的复数为.依照乘法的几何几何意义，知可由逆时针旋转得到.,即同理,其中点Z0 对应的复数为.即Z0 为虚轴上的点.不论绞架位置在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为 的那一点，故宝可取.例OBYAC30.30.X7 某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km后向左转，后向前走1km后向左转，如此下去，能回到出发点吗？解：以出发点作为坐标原点O，走第一个1km时所沿的直线作为 Ox轴，建立如图所示的复平面.第一个1km的终点A对应的复数是1，第二个1km的终点B对应的复数是1+()，第三个1km的终点C对应的复数是1+()+().如此下去，走第个1km时所达到的点对应的复数是1+()+()+，即1+()+()2+ = 当 =12时，上述复数为0，即可回到出发点。专题三 复数与方程1. 次方程一定有个复数根例1 求的根解：设，根据隶莫佛定理，从而方程的根是（）注：这个根的模都等于1，它的辐角按增加，由此可见，这个根均位于单位圆上把圆周作了等分例2 设在1的立方根中，记其中不等于1的一个根为，问的值是多少？再问，当是整数时，的值是多少？解：，于是例3 （1）设是1的5次方根（），当时，求的值（2）以原点位中心，以为顶点作五边形求与相邻的两个顶点的坐标的值（3）试构造一个以为一个根的整系数二次方程解：（1）,又，故有，所以（2）今将复平面作为给定的坐标平面，此时画出五边形,及是点的相邻两顶点，他们的横坐标都是，于是有，而由（1）， 得到，解得（舍），（3），即，两边平方，所以 （1） （2） （1），所以，将此式代入（1），有，于是有根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍可以应用到复数范围内例4 设关于的方程 至少有一个模等于1的根，确定实数的值解：. （1）（1）实根的情形：，所以或 （2）将代入（1）式，所以，解得，因为是实数，所以不符合条件其次，用代入（1）整理后有 ，解得，这是实数，且在（2）的范围内，故适合题中条件（2）虚根的情形：，所以，解（1）有，为使它的模等于1，只须，整理后，（舍）或综上，满足条件的为判断根的个数的问题，可以当解方程有困难时，可以调用不等式，函数单调性等手段来处理问题例5 试求满足非实数的复数的个数式中为实数时分析：根据作为根的条件，求出的关系式，由此对单变数的函数求导，再求根解：满足 （1）的非实数的复数记为：为实数时，代入原方程，所以， ，由（3），,将它代入，有.从而，如果，则由（4），这不合题意，为此，（1）当时，可化为,（6）等式左边看成是关于的函数求导数得 ，这表明方程左侧关于的函数是增函数，又，可以推知，方程（6）只有一个正根，在此，由可确定两个复数（2）时，式可化为, （7）所以 ，从而，（7）式可以取两个负根：这两个值对应于（4）可确定4个复数综上，满足（1）的非实复数共有6个7