高中数学竞赛专题讲座——集合与函数.doc

蓝天家教网 伴您快乐成长竞赛试题选讲集合与函数一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1（2006陕西赛区预赛）a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于 （ ）A -1 B0 C1 D2（2006天津）已知函数，当时，恒成立，则 的取值范围是（ ）ABCD3（2006陕西赛区预赛）若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为（ ）A B C D4（2006陕西赛区预赛）若函数满足，则的解析式是（ ）A B C D5（2006年江苏）函数的图象是 （ ）A B C D 6（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程的两个实根为 且则的取值范围是（ ）A B C D7（2006年江苏）设是定义在上单调递减的奇函数若，则 （ ）ABCD8（2006吉林预赛）如果集合A=y|y=x2+1，xR+，B=y|y=x+1，xR，则A与B的交集是 （ ）A (0，1)或(1，1) B(0，1)，(1，1) C 0，1 D (，1) 9（2006安徽初赛）已知的小数部分为a，则的小数部分为 （ ）A的小数部分 B的小数部分 C的小数部分 D以上都不正确10（2006吉林预赛）若函数f(x)=x36bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是（ ）A (0，1) B (，1) C (0，+) D (0，0.5) 11（2006年南昌市）设集合,若,则中元素个数为 （ ）A0B1C2D至少3个12（2006年南昌市）设,记,若则（ ）AB-CD二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1（2006安徽初赛）已知实数x、y满足，则 2（200 6天津）已知集合，且，则集合、所有可能的情况有 500 种3（2006年南昌市）设1,2,100,是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个数是_.4（2006年江苏）集合，则集合的所有元素之和为 5（2006年南昌市）若曲线与直线恰有三个公共点,则的值为_ 6（2006年上海）已知函数RR满足：对任意R，都有，则所有满足条件的函数f为 7（2006年上海）对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是 （注：表示x，y，z中的最大者）8（2006年上海）设，则满足条件的所有实数a，b的值分别为 1,3,5三、解答题（每小题20分，共60分）1（2006年江苏）设集合，若，求实数的取值范围1,3,52(集训试题)已知a0，函数f(x)=ax-bx2, （1）当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明：a2； （2）当b1时，证明：对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件是：b-1a2； （3）当00, b0, a2。（2）证：（必要性），对任意x0, 1，|f(x)|1-1f(x)据此可推出-1f(1)即a-b-1，ab-1。对任意x0, 1，|f(x)|1f(x)1，因为b1，可推出f()1。即a-1，a2，所以b-1a2。（充分性）：因b1, ab-1，对任意x0, 1，可以推出：ax-bx2b(x-x2)-x-x-1，即：ax-bx2-1；因为b1，a2，对任意x0, 1，可推出ax-bx22-bx21，即ax-bx21，-1f(x)1。综上，当b1时，对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件是：b-1a2。（3）解：因为a0, 00, 0b1时，对任意x0, 1，|f(x)|1的充要条件是：ab+1.3 竞赛试题选讲之 集合与函数练习 1（06北卷）已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（ ）A(1，+) B(-,3)C，3 D(1 ,3) 2.（06全国II）函数f(x)的最小值为 （ ） A190 B171 C90 D453.（山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为（ ）A1 B0 C1 D24.（06天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A B C D 5（06天津卷）如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是 （）ABCD6.（06浙江卷）对a,bR,记maxa,b=，函数f（x）max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是（）AB0 B C D3 7（2006安徽初赛）若关于x的方程恰有一个实根，则k的取值范围是 8（2006陕西赛区预赛）设是以2为周期的奇函数，且，若则的值 .9（2006吉林预赛）已知函数，设，其中0cba1且3a0，解得1a3，又当x1时，（3a）x4a35a，当x1时，logax0，所以35a0解得a，所以1a1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t, ，要求对称轴，矛盾；当0a1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴0，矛盾；若0a1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0t1)时，在t(0，1)上为减函数，即对称轴1，实数的取值范围是，选B.6解：当x1时，|x1|x1，|x2|2x，因为（x1）（2x）3x1；当1x时，|x1|x1，|x2|2x，因为（x1）（2x）2x10，x12x；当xx2；故据此求得最小值为。选C 8。-3111或-2; 解：令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)0，因此yN*时，f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)t，由得f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明：当整数t-4时，f(t)0，因t-4，故-(t+2)0，由得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)0，即f(-5)-f(-4)0，f(-6)-f(-5)0，f(t+1)-f(t+2)0，f(t)-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0，因为：t4，故f(t)t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。12解：考虑M的n+2元子集P=n-l，n，n+1，2nP中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以kn+3将M的元配为n对，Bi=(i，2n+1-i)，1in 对M的任一n+3元子集A，必有三对同属于A(i1、i 2、i 3两两不同)又将M的元配为n-1对，C i (i，2n-i)，1in-1对M的任一n+3元子集A，必有一对同属于A，这一对必与中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+31013解： 由对称性只考虑y0，因为x0，只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故=16(u2-3)0。14解析：设，函数有最大值，有最小值， 0a1， 则不等式的解为，解得2x3，所以不等式的解集为. 15. 16解析：（）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （）解法一：由（）知，易知在上为减函数. 又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式解法二：由（）知又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式17【解】（）由书籍，根据韦达定理得有， 5分（）已知函数，而且对，于是，函数在上是增函数10分注意到对于任意的正数、，即，同理15分，于是，而，1,3,520分