高中数学竞赛专题讲座——集合与函数.doc

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竞赛试题选讲——集合与函数

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．（2006陕西赛区预赛）a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于 （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．
2．（2006天津）已知函数，当时，恒成立，则 的取值范围是 （ ）
A．　　 B． C． D．
3．（2006陕西赛区预赛）若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2006陕西赛区预赛）若函数满足，则的解析式是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2006年江苏）函数的图象是 （ ）
A B C D

6．（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程的两个实根为
且则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

7．（2006年江苏）设是定义在上单调递减的奇函数．若，，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2006吉林预赛）如果集合A={y|y=－x2+1，x∈R+}，B={y|y=－x+1，x∈R}，则A与B的交集是 （ ）
A． (0，1)或(1，1) B．{(0，1)，(1，1)}
C． {0，1} D． (－∞，1)
9．（2006安徽初赛）已知的小数部分为a，则的小数部分为 （ ）
A．的小数部分 B．的小数部分
C．的小数部分 D．以上都不正确
10．（2006吉林预赛）若函数f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是
（ ）
A． (0，1) B． (－∞，1) C． (0，+∞) D． (0，0.5)
11．（2006年南昌市）设集合,若,则中元素个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．至少3个
12．（2006年南昌市）设,记,若则
（ ）
A． B．- C． D．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．（2006安徽初赛）已知实数x、y满足，则 ．
2．（200 6天津）已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有 500 种．
3．（2006年南昌市）设＝{1,2,…,100},是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个数是____________.
4．（2006年江苏）集合，，则集合的所有元素之和为 ．
5．（2006年南昌市）若曲线与直线恰有三个公共点,则的值为___
6．（2006年上海）已知函数R→R满足：对任意R，都有，则所有满足条件的函数f为 ．
7．（2006年上海）对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是 ．（注：表示x，y，z中的最大者．）
8．（2006年上海）设，，则满足条件的所有实数a，b的值分别为 ．
1,3,5
三、解答题（每小题20分，共60分）
1．（2006年江苏）设集合，．若，求实数的取值范围．
1,3,5

2．(集训试题)已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,
（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；
（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2；
（3）当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件。

3．(06重庆卷) 已知定义域为R的函数满足
（I）若，求;又若，求;
（II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式.

参考答案
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
CDDBA ADBDD DCB
二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．15； 2．500； 3．; 4．; 5．无解; 6．; 7．1003;
8．，b＝0;
三、 解答题（每小题20分，共60分）
1．解：，．当时，，由得；当时，，由得；当时，，与不符．综上所说，．
2．解：（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)2+，∴f()= ≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2。
（2）证：（必要性），对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b>1，可推出f()≤1。即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。
（充分性）：因b>1, a≥b-1，对任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x
≥-1，即：ax-bx2≥-1；因为b>1，a≤2，对任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx2≤2-bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。
综上，当b>1时，对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2。
（3）解：因为a>0, 0<b≤1时，对任意x∈[0, 1]。
f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1；
f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1，即a≤b+1；a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即f(x)≤1。
所以，当a>0, 0<b≤1时，对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1的充要条件是：a≤b+1.
3．

竞赛试题选讲之 《集合与函数练习》

1．（06北卷）已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是 （ ）
A．(1，+) B．(-,3) C．[，3] D．(1 ,3)
2.（06全国II）函数f(x)＝的最小值为 （ ）
A．190 B．171 C．90 D．45
3.（山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
4.（06天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是 （　　）
A． B． 　 C． D．
5．（06天津卷）如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
6.（06浙江卷）对a,bR,记max{a,b}=，函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是 （　　）
AB0 B． C． D．3
7．（2006安徽初赛）若关于x的方程恰有一个实根，则k的取值范围是 ．
8．（2006陕西赛区预赛）设是以2为周期的奇函数，且，若则的值 .
9．（2006吉林预赛）已知函数，设，，，其中0<c<b<a<1，那么x、y、z的大小顺序为 .
10．（2006吉林预赛）若关于x的方程有正数解，则实数a的取值范围为______.
11．(集训试题)对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=_________.
12．(集训试题)设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于
13．(集训试题)．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.
14．(06重庆卷)设，函数有最大值，则不等式的解集为 。
15．（2006陕西赛区预赛）(20分)设是函数的反函数图象上三个不同点，且满足的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围.

16．(06重庆卷)已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

17．（200 6天津）已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）对任意的正数、，求证：．

竞赛试题选讲之《集合与函数练习》答案

1．解：依题意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又当x<1时，（3－a）x－4a<3－5a，当x³1时，logax³0，所以3－5a£0解得a³，所以1<a<3故选D
2．解析:表示数轴上一点到1,2,3…19的距离之和,可知x在1—19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C
本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.
3．解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B
4．解析：已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线 对称,则，记=．
当a>1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t∈[, ]，要求对称轴，矛盾；当0<a<1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t∈[,]，要求对称轴，解得,所以实数的取值范围是,选D.
5．解析：函数y且可以看作是关于的二次函数，若a>1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴≤0，矛盾；若0<a<1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0<t<1)时，在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴，∴实数的取值范围是，选B.
6．解：当x<－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－3<0，所以2－x>－x－1；当－1£x<时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－1<0，x＋1<2－x；当£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1>x－2；
故据此求得最小值为。选C 8。-3
11．1或-2; 解：令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。
下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，
即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。
12．解：考虑M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}．P中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3．将M的元配为n对，Bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n． 对M的任一n+3元子集A，必有三对同属于A(i1、i 2、i 3两两不同)．又将M的元配为n-1对，C i (i，2n-i)，1≤i≤n-1．对M的任一n+3元子集A，必有一对同属于A，这一对必与中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+310．
13．解：
由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。
14．解析：设，函数有最大值，∵有最小值，∴ 0<a<1， 则不等式的解为，解得2<x<3，所以不等式的解集为. 15.
16．解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数. 又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：　　　　　　　　　，
即　：，
整理得　
上式对一切均成立，从而判别式
17．【解】（Ⅰ）由书籍，根据韦达定理得有，
，，
∴ ………………………………………5分
（Ⅱ）已知函数，∴
而且对，，于是，
∴函数在上是增函数　　　………………………………10分
注意到对于任意的正数、
，
即，同理．　　　　………………………15分
∴，，
．
于是，
∴．
而，
1,3,5
∴．　　　………………………20分