高中数学竞赛专题讲座——解析几何(共10.doc

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高中数学竞赛专题讲座——解析几何

一、选择题部分
1．(集训试题)过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=. 故选C.
2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方程为(D)
A． B． C． D．
3．（2006年江苏）已知抛物线，是坐标原点，是焦点，是抛物线上的点，使得△是直角三角形，则这样的点共有（B）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
4．（200 6天津）已知一条直线与双曲线（）的两支分别相交于、两点，为原点，当时，双曲线的中心到直线的距离等于（A）
A．　 B．　 C．　　 D．
5．(2005全国)方程表示的曲线是 （ 　 ）
A．焦点在轴上的椭圆　　　　　 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆　　　　　　 D．焦点在轴上的双曲线
解：即

又
方程表示的曲线是椭圆.
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。
6．（2006年浙江省预赛）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有 条.（C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解: 由分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。
7．（2006年浙江省预赛）设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为 （B）
A． B． C． D．
解： 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A＝. 因此的图形面积为. 所以选（B）。

1,3,5
1,3,5
二、填空题部分
1．（200 6天津）已知椭圆（），长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
2．（2006年江苏）已知，则的最大值是 9 ．
3．（2006吉林预赛）椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，若∠ABF是直角，则这个椭圆的离心率为_________。
4．（2006陕西赛区预赛）若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为

A
x
y
P(x,y)
O
5．(2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：
先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时
间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.
假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟
时的可能落点区域的面积是 .
【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P. 设机器人改
变方向的点为A，，。则由已知条件有 ，以及
.所以有
即所求平面图形为弓形，其面积为 平方米.
6．（2006年浙江省预赛）已知 ,
。若为单元素集，则.
解 由
为单元素集，即直线与相切，则.
7．(2005全国)若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为　　80　　.
解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则①
在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.
①、②联立解得或
8．（2004 全国）在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为_______________.
解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：.对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得 a=1或a=－7。即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。
1,3,5
三、解答题部分
1．(集训试题)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
解：以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ==1+r。所以x=±, ∴tan∠MAN=
，
令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，
∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，
因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=.由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°.
2．（2006吉林预赛）已知抛物线C：x2=2py(p>0)，O是坐标原点，M(0，b)(b>0)为y轴上一动点，过M作直线交C于A、B两点，设S△ABC =mtan∠AOB，求m的最小值。（ －0.5p2 ）

3．（2006年南昌市）(高二)给定圆P:及抛物线S:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.
解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设l的方程为,即,代入抛物线方程得:,设
有,则
故
,因此
据等差,,
所以即,,
则l方程为或.
4．（2006年上海）已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积．
解:当时，． …………………（4分）
当时，令．设，则由
，① ， ②
消去x得，，所以
， ． ③
又直线AO的方程为：，即为，
所以，AO与准线的交点的坐标为，
而由③知，，所以B和的纵坐标相等，从而轴．同理轴，故四边形是直角梯形．………………（9分）
所以，它的面积为

．………………（14分）
5． (2005年浙江)（20分）设双曲线的左、右焦点分别为，，若的顶点P在第一象限的双曲线上移动, 求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹。
【解】 如图，记双曲线在轴上的两顶点为A(1, 0)， B(-1, 0)，G为的内切圆
在边上的切点，H为的内切圆在边上的切点，K为的内切圆
在边上的切点。则有
----5分
由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与A(1, 0)重合，是定点。
而。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，
所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心，
为半径的圆弧。------- 10分
因为是在第一象限的曲线上移动，当沿双曲线趋于无穷时，与轴正向的交角的正切的极限是
即 。 故点H的轨迹方程为 (极坐标形式) ，（）-- 15分
也可以用直角坐标形式。由于G与A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为
（）。 -------------------------------- 20分
6．（2006浙江省）在轴同侧的两个圆：动圆和圆 外切（），且动圆与轴相切，求
（1）动圆的圆心轨迹方程L;
（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。
解：（1）由可得
由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为,
则有
整理得到动圆圆心轨迹方程 .……（5分）
另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程
，即…………………（5分）
（2）联立方程组 ①
②
消去得 ，
由 整理得
③
从③可知 。 故令，代入③可得

再令，代入上式得
…………………（10分）
同理可得，。可令代入③可得
④
对④进行配方，得
对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，
所以。令，则 .
所以 …………………………………（15分）
仅当时，为完全平方数。于是解得
. …………………（20分）
10．（2004 全国）设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=____________.
解：设，
从而是平方数，设为

1,3,5
. （负值舍去）