高中数学竞赛培训专题讲座(不等式).doc

高中数学竞赛培训专题讲座：重要不等式（一）一基础知识(1) 均值不等式设是个正实数，记，分别称为这个正数的调和平均，几何平均，算术平均和平方平均，则 ，等号成立当且仅当.特别地， (当且仅当时取等号)； ，；.(2) Cauchy 不等式设 ，则 ，当且仅当或存在一个常数，使得时，等号成立.推论1：设 ，则 ；推论2：设，则.二例题精讲1已知都是正数.求证：.2. 若，证明：(1);(2) .3. 设为正实数，求证：.4. 已知为正实数，若，求证：.(2008全国高中数学联赛江苏省复赛试题)5. 求证：数列是单调递增数列.6. 设都是正数，证明：.7.设证明：8. 已知，.求证：.9.设是正实数,且满足.证明：.10.设，.求证：.11. 设，证明：.12.已知实数满足，.求的最大值.13.设是一列互不相同的正整数，求证：.(第二十届IMO试题)14. 设为正数，且，又 证明：.15. 设实数是正数.求证：思考题1.求函数在上的最大值.2. 已知，.求证：.(2009年清华大学自主招生试题)3. 已知，关于的方程有一个实根，求的最小值.4. 设为正数，且 ，求证：. (2008年南开大学自主招生试题)5. 已知，求证：（华约自主招生试题）6. 若正数满足，求证：.7.设.求证：. (2014年北约自主招生试题)8. 设都为正数，且.求证：.9.设，且.求证：.10.已知都是正数，.证明：.（1976年英国数学奥林匹克试题）11.求证：数列是单调递减数列.12.设，证明：.(2003年全国高中数学联赛试题)13. 设是的一个排列.求证：.(2002年女子数学奥林匹克试题)14.设，且.求证：15. 已知实数均为正数且满足 求证：16. 设是整数.证明：.17. 设是正数.求证：.(赫尔德不等式)18. 若正实数满足，求的取值范围.