高中数学竞赛培训专题讲座(不等式).doc

高中数学竞赛培训专题讲座：重要不等式（一）
一．基础知识
(1) 均值不等式
设是个正实数，记
，

分别称为这个正数的调和平均，几何平均，算术平均和平方平均，则 ，等号成立当且仅当.
特别地，
① (当且仅当时取等号)；
② ，，
；
③.
(2) Cauchy 不等式
设 ，则
，当且仅当或存在一个常数，使得
时，等号成立.
推论1：设 ，则
；
推论2：设，则
.
二．例题精讲
1．已知都是正数.
求证：.

2. 若，证明：
(1);
(2) .

3. 设为正实数，求证：.

4. 已知为正实数，若，求证：.
(2008全国高中数学联赛江苏省复赛试题)

5. 求证：数列是单调递增数列.

6. 设都是正数，证明：.

7.设证明：

8. 已知，.
求证：.

9.设是正实数,且满足.
证明：.

10.设，.求证：
.

11. 设，证明：.

12.已知实数满足，.
求的最大值.

13.设是一列互不相同的正整数，求证：.(第二十届IMO试题)

14. 设为正数，且，又
证明：.

15. 设实数是正数.
求证：

思考题
1.求函数在上的最大值.
2. 已知，.求证：.
(2009年清华大学自主招生试题)
3. 已知，关于的方程有一个实根，
求的最小值.
4. 设为正数，且 ，求证：.
(2008年南开大学自主招生试题)
5. 已知，
求证：（华约自主招生试题）
6. 若正数满足，求证：.
7.设.求证：.
(2014年北约自主招生试题)
8. 设都为正数，且.求证：.
9.设，且.
求证：.
10.已知都是正数，.
证明：.（1976年英国数学奥林匹克试题）
11.求证：数列是单调递减数列.
12.设，证明：.
(2003年全国高中数学联赛试题)

13. 设是的一个排列.
求证：.
(2002年女子数学奥林匹克试题)

14.设，且.
求证：

15. 已知实数均为正数且满足

求证：

16. 设是整数.
证明：.

17. 设是正数.
求证：.(赫尔德不等式)

18. 若正实数满足，求的取值范围.