高中数学复习学案(第13讲)函数的综合应用.doc

题目 第二章函数函数的综合应用
高考要求
1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力
2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养
3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力
4树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题
知识点归纳
函数的综合问题主要有如下几个方面：
1函数的概念、性质和方法的综合问题；
2函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题；
3函数与解析几何的综合问题；
4联系生活实际和生产实际的应用问题
函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:
在应用中深化基础知识在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展
以数学知识为载体突出数学思想方法数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化因此本课题也十分重视转化的数学思想
重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的
重点是通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用
难点是函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高
题型讲解
例1 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（　　　 ）
A0 B1 C0或1 D1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C
例2方程lgx+x=3的解所在区间为（　　　 ）
A(0，1) B(1，2)
C(2，3) D(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了实际上这是要比较与2的大小当x=2时，lgx=lg2，3-x=1由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C
说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断
例3 (1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：
若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的因此本问题的证明要从函数单调性入手
(1)证明：
当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0
所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立
(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1则
f(a)=(b+c)a+bc+1
当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1
因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0
当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数
因为|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0
由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0
说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)
例4 假设国家收购某种农产品的价格是元/，其中征税标准为每元征元（叫做税率为个百分点，即），计划可收购为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购可增加个百分点（1）写出税收（元）与的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的，确定的取值范围
解：（1）由题知，调节后税率为，预计可收购，总金额为元
∴
（2）∵元计划税收元，
∴，
得，，又∵，
∴的取值范围为
例5 某航天有限公司试制一种仅由金属和金属合成的合金，现已试制出这种合金克，它的体积立方厘米，已知金属的比重小于每立方厘米克，大于每立方厘米克；金属的比重约为每立方厘米克
（1）试用分别表示出此合金中金属、金属克数的函数关系式；
（2）求已试制的合金中金属、金属克数的取值范围
解：（1）此合金中含金属克、金属克， 则 ，
解得，
（2）∵在上是减函数，∴
在上是增函数，
例6 已知函数R，且
（I）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求的解析式；
（II）命题P：函数在区间上是增函数；
命题Q：函数是减函数
如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（III）在（II）的条件下，比较的大小
解：（1）

解得
（2）在区间上是增函数，
解得
又由函数是减函数，得
∴命题P为真的条件是：
命题Q为真的条件是：
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，
（2）由（1）得

设函数
∴函数在区间上为增函数
又
例7若f（x）在定义域（－1，1）内可导，且、时，解
解：
上为减函数
又当

上为奇函数

∴原不等式的解集为
例8 函数的定义域为D：且满足对于任意，有
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断的奇偶性并证明；
（Ⅲ）如果上是增函数，求x的取值范围
（Ⅰ）解：令
（Ⅱ）证明：令

令
∴为偶函数
（Ⅲ）
∴ （1）
∵上是增函数，
∴（1）等价于不等式组:

∴
∴x的取值范围为
例9已知函数
(1) 求证: 函数是偶函数;
(2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明;
(3) 若, 求证:
解： (1) 当时, ,
则
∴
当时, ,
则,
∴
综上所述, 对于, 都有,
∴函数是偶函数
(2) 当时,
设, 则
当时, ;
当时, ,
∴函数在上是减函数, 函数在上是增函数
(3)由(2)知, 当时, ,
又由(1)知, 函数是偶函数,
∴当时, ,
∴若, ,
则, ,
∴, 即
例10已知函数（t为参数）
（1）写出函数的定义域和值域；
（2）当时，求函数解析式中参数t的取值范围；
（3）当时，如果，求参数t的取值范围
解：（1）函数的定义域为，值域为R
（2）
（3）当

设

当 所以
学生练习
1对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( )
A B
Cg(t)=(t－1)2 Dg(t)=cost
2方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )

3已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
Aa≤1 Ba<2 C1<a<2 Da≤1或a≥2
4方程lgx＋x＝3的解所在的区间为（ ）
A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,+∞)
5如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）
A f(2)<f(1)<f(4) B f(1)<f(2)<f(4)
C f(2)<f(4)<f(1) D f(4)<f(2)<f(1)
6已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数)（ ）
A有且仅有一个实根 B至多一个实根
C至少一个实根 D不同于以上结论
7已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tanθ的值是（ ）
A － B － C D
8已知等差数列的前n项和为S，且，则＝____
9关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是____
10正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为_________
11 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为_________
12已知函数满足：，，则

13已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为_____________
14设函数f(x)=lg(ax+2x+1)
(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围
15设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立求x的取值范围
16 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0
①求公差d的取值范围；
②指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由(1992年全国高考)
17 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离
18 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA·tanC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角
19 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围
20已知偶函数f(x)=cosqsinx－sin(x－q)+(tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值 及此时x的集合
21已知，奇函数在上单调
（Ⅰ）求字母应满足的条件；
（Ⅱ）设，且满足，求证：
参考答案
1不改变f(x)值域，即不能缩小原函数定义域选项B，C，D均缩小了的定义域，故选A
2先作出f(x,y)=0关于轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0的图象，又f(2－x,y)=0即为，即由f(-x,y)=0向右平移2个单位故选C
3命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题
若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1<a<2，
故选C
4图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
5函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
6从反面考虑，注意应用特例，选B；
7设tan＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；
8利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则
答案：0；
9设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，
所以答案：[－,1]；
10设高h，由体积解出h＝2，答案：24；
11设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，
答案：1760
12运用条件知：=2，且

==16
13依题意可知，从而可知，所以有
，又为正整数，取，
则，所以，
从而，所以，又，所以，
因此有最小值为
下面可证时，，从而，所以, 又,所以,所以,
综上可得:的最小值为11
14分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解
解：(1)的定义域是R对一切实数恒成立
因为a=0或a＜0不合题意，所以，解得a＞1
(2)的值域是R能取遍一切正实数
当a＜0时不合题意；
当a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；
当a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1
所以当0≤a≤1时f(x)的值域是R
15分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件
解：问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则
解得x∈（,）
说明 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题
16分析： ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题
解：① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0
解得：－<d<－3
② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－[(5－)]
因为d<0，故[n－(5－)]最小时，S最大
由－<d<－3得6<(5－)<65，
故正整数n＝6时[n－(5－)]最小，所以S最大
说明： 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性
本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0所以，在S、S、…、S中，S的值最大
17分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值
解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]
＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ
＝(sinθ＋1)[x－]＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离
说明：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答比如再现性题组第8题就是典型的例子
18分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解
解： 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得
tanA＋tanC＝tanB(tanA·tanC－1)＝ (1＋)
设tanA、tanC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，
解得x＝1，x＝2＋
设A<C，则tanA＝1，tanC＝2＋，
∴A＝，C＝
由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4
说明：本题的解答关键是利用“△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC”这一条性质得到tanA＋tanC，从而设立方程求出tanA和tanC的值，使问题得到解决
19分析：当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题
解：由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立
设t＝(), 则t≥，
又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根，
即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
所以a的取值范围是a>－
说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化
在解决不等式()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝(), t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a>－其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”
20解：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq)+(tanq－2)sinx－sinq
=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq
因为f(x)是偶函数，
所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，
即sinqcos(－x)+(tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq,
即(tanq－2)sinx=0，
所以tanq=2
由解得或
此时，f(x)=sinq(cosx－1)
当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，
当cosx=－1时，f(x)有最大值为,
自变量x的集合为{x|x=2kp+p,kÎZ}
21解：（1）；
，
若上是增函数，则恒成立，即
若上是减函数，则恒成立，这样的不存在
综上可得：
（2）（证法一）设，由得，
于是有，
（1）－（2）得：，化简可得
，
，，
故，即有
（证法二）假设，不妨设，
由（1）可知在上单调递增，故，
这与已知矛盾，故原假设不成立，即有

用心 爱心 专心