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高中数学北师大版必修四高效导学稿(学生).doc

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西安市东方中学 第一章 三角函数 课标要求: 1.掌握角的概念,理解 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角) 、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法;理解推广后的角的概念; 3.理解弧度的意义;了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数.“角度制”与“弧度制”的区别与联系 4.能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题 5.掌握任意角的三角函数的定义; 6.已知角终边上一点,会求角的各三角函数值; 7.掌握,角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路 8.掌握,角的正弦、余弦、正切的诱导公式 及其探求思路 9.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。 10.掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。并能求出正、余弦函数的最大最小值与值域、 11、掌握正切函数的图象和性质. 12、能正确应用正切函数的图象和性质解决有关问题. 13.熟练掌握正切函数性质,同时要注意数形结合,借助单位圆或正切函数的图象对问题,直观迅速作业解答. 14.会用 “五点法”作出函数以及函数的图象的图象。 15.理解对函数的图象的影响. 16.能够将的图象变换到的图象. 17.会根据条件求解析式.. 18.灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。 §1周期现象. 一、课前指导 学习目标 1了解周期现象在现实中广泛存在;2感受周期现象对实际工作的意义;3理解周期函数的概念; 4能熟练地判断简单的实际问题的周期;5能利用周期函数定义进行简单运用研究 学法指导 单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等,感知周期现象;从数学的角度分析这种现象,就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义,再在实践中加以应用 要点导读 1. 是周期现象 二.课堂导学 §2 角的概念的推广. 一.课前指导 学习目标 1.掌握角的概念,理解 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角) 、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法;理解推广后的角的概念; 学法指导 1.在表示角的集合时,一定要使用统一单位(统一制度),只能用角度制或弧度制的一种,不能混用。 2.在进行集合的运算时,要注意用数形结合的方法。 3.终边相同的角、区间角与象限角的区别: 角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角,它们彼此相差2kπ(k∈Z),即β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,如α∈{α|≤α≤}=[, 要点导读 1.角可以看成 。。 按 角叫正角,按 叫负角 。如果一条射线 零角。 2. 角的终边所在位置 角的集合 X轴正半轴 Y轴正半轴 X轴负半轴 Y轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴 2.α、、2α之间的关系。 若α终边在第一象限则终边在 象限;2α终边在 若α终边在第二象限则终边在 象限;2α终边在 若α终边在第三象限则终边 ;2α终边在 。 若α终边在第四象限则终边 象限;2α终边在 二.课堂导学 例1:写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来: (1)600; (2)-210; (3)363014, 例2.写出终边在下列位置的角的集合 (1)x轴的负半轴上; (2)y轴上; 类比:(1)终边落在x轴上的角的集合如何表示?终边落在坐标轴上的角的集合如何表示? (2)终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示? 思考:集合A={β|β=450+k×1800,k∈Z },B={β|β=450+k×900,k∈Z }有何关系? (图形表示) 例3.已知角的顶点与直角坐标系原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角? (1)4200; (2)-750; (3)8550; (4)-5100. 例4.若是第二象限角,则,分别是第几象限的角。问:是第二象限角,如何表示? 三.课后测评 课后测评A 一.选择题(每小题5分) 1、下列角中终边与330°相同的角是( ) A.30° B.-30° C.630° D.-630° 2、-1120°角所在象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、把-1485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°, k∈Z)的形式是 ( ) A.45°-4×360°B.-45°-4×360°C.-45°-5×360°D.315°-5×360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( ) A.{α∣90°<α<180°} B.{α∣90°+k·180°<α<180°+k·180°,k∈Z} C.{α∣-270°+k·180°<α<-180°+k·180°,k∈Z} D.{α∣-270°+k·360°<α<-180°+k·360°,k∈Z} 5、下列命题是真命题的是( ) Α.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不同 D.= 6、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.AC D.A=B=C 二.填空题(每小题5分) 1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________. 2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________. 3、若角α的终边为第二象限的角平分线,则α的集合为______________________. 4、角α的终边在坐标轴上,请用集合的形式表示α为 . 三.解答题(每小题10分) 已知角是第二象限角,求:(1)角是第几象限的角;(2)角终边的位置。 课后测评B 一、选择题(每小题5分) 1.下列命题中正确的是( ) A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同 2.与120°角终边相同的角是( ) A.-600°+k·360°,k∈Z B.-120°+k·360°,k∈Z C.120°+(2k+1)·180°,k∈Z D.660°+k·360°,k∈Z 3.若角α与β终边相同,则一定有( ) A.α+β=180° B.α+β=0° C.α-β=k·360°,k∈Z D.α+β=k·360°,k∈Z 4.设A=, B = C= D=,则下列等式中成立的是( ) A. A= B B. B= C C. A =C D. A= D 5.若α=-3,则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.若α是第四象限角,则π-α一定在( ) A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题:(每小题5分) 7. 角α=45°+k·90°的终边在第 象限. 三、解答题:(每小题10分) 8. 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界) 9. 写出终边在直线y=x上所有的角的集合,并指出在上述集合中,最大负角是多少? 10. 已知是第二象限角,试求: (1)角所在的象限;(2)角所在的象限;(3)2角所在范围. §3 弧度制. 一.课前指导 学习目标 理解弧度的意义;了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数.“角度制”与“弧度制”的区别与联系 能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题 学法指导 角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度: ; ;;. ②将弧度化为角度: ;;;. 要点导读 1.规定把周角的作为1度的角,用 叫做角度制. 2. 叫做1弧度的角; 叫做弧度制.在弧度制下, 1弧度记做1rad.在实际运算中,常常将rad单位省略. 3.弧度制的性质: ①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为 ③正角的弧度数是 . ④负角的弧度数是 . ⑤零角的弧度数是 . ⑥角α的弧度数的绝对值 4.特殊角的弧度 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 5.弧长公式 _____________. 二.课堂导学 例1.将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,并确定其所在的象限. ;. 三.课后测评 课后测评A 一.选择题(每小题5分) 1、下列各角中与240°角终边相同的角为 ( ) A.  B.-  C.-  D. 2、若角α终边在第二象限,则π-α所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、把-1125°化成α+2kπ ( 0≤α<2π,k∈Z=)的形式是 ( ) A.--6π B. -6π C.--8π D.-8π 4、已知集合M ={x∣x = , ∈Z},N ={x∣x = , k∈Z},则 ( ) A.集合M是集合N的真子集 B.集合N是集合M的真子集 C.M = N D.集合M与集合N之间没有包含关系 5、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ( ) A.4 cm2 B.2 cm2 C.4πcm2 D.2πcm2 6、集合{α∣α = -,k∈Z}∩{α∣-π<α<π}为 ( ) A.{-,}B.{-,}C.{-, ,-,}D.{,} 二.填空题(每小题5分) 1、若角α,关于y轴对称,则α,的关系是 ; 2、若角α,满足,则的范围 ; 3、将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 . 4、已知是第二象限角,且则的集合是 . 三.解答题(每小题10分) 已知=1690o, (1)把表示成的形式,其中k∈Z,∈. (2)求,使与的终边相同,且. 课后测评B 一、选择题(每题5分共60分 ) (1)在半径不等的两个圆内,1弧度的圆心角( ) A.所对的弧长相等 B.所对的弦长相等 C.所对的弧长等于各自的半径 D.以上都不对 (2).把化为的形式是( ) A. B. C. D. (3).把表示成的形式,使最小的的值是( ) A. B. C. D. (4).若是第二象限角,那么和都不是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (5).将分针拨慢十分钟,则分针所转过的弧度数是 ( ) A、 B、 C、 D、 (6)圆弧长度等于其内接正三角形的边长,其圆心角的弧度数是 ( ) A、 B、 C、 D、2 (7)已知集合 , 则 等于 ( ) A、 B、{} C、 D、或} (8).设且17的终边与的终边相同,则等于 ( ) A. B. C. D.1 (9).集合 则A、B的关系为 ( ) A. B. C.A=B D,A (10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为( ) A. B. C. D. (11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为 ( ) A. B. C. D. (12)若是第四象限的角,则在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题(每题5分共10分) (13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧的弧长是 (14)用弧度制表示x轴上方的角的集合 (15)扇形的半径是5cm,弧长是cm那么扇形的面积是 cm (16) 三、解答题(每题10分共20分) 17.已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 18.如图,一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积. A B R R O §1----§3综合测评A 一、选择题(每小题5分) 1.若α是第一象限角,则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α 2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k·360°,k∈Z} (B){α|α=k·180°+90°,k∈Z} (C){α|α=k·180°,k∈Z} (D){α|α=k·90°,k∈Z} 3.若角α、β的终边关于y轴对称,则α、β的关系一定是(其中k∈Z) ( ) (A) α+β=π (B) α-β= (C) α-β=(2k+1)π (D) α+β=(2k+1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 ( ) (A) (B) (C) (D)2 5.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A) (B)- (C) (D)- *6.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},下列四个命题: ①A=B=C ②AC ③CA ④A∩C=B,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题(每小题5分) 7.终边落在x轴负半轴的角α的集合为 ,终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -πrad化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. 10.若角α是第三象限角,则角的终边在 ,2α角的终边在 . 三.解答题(每小题10分) 11.试写出所有终边在直线上的角的集合,并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角. 12.已知0°<θ<360°,且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合,求θ. 13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? x y O A *14.如下图,圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0<θ<π)角,2分钟到达第三象限,14分钟后回到原来的位置,求θ. §1----§3综合测评B 一、选择题(每题5分共60分 ) (1)在半径不等的两个圆内,1弧度的圆心角( ) A.所对的弧长相等 B.所对的弦长相等 C.所对的弧长等于各自的半径 D.以上都不对 (2).把化为的形式是( ) A. B. C. D. (3).把表示成的形式,使最小的的值是( ) A. B. C. D. (4).若是第二象限角,那么和都不是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (5).将分针拨慢十分钟,则分针所转过的弧度数是 ( ) A、 B、 C、 D、 (6)圆弧长度等于其内接正三角形的边长,其圆心角的弧度数是 ( ) A、 B、 C、 D、2 (7)已知集合 , 则 等于 ( ) A、 B、{} C、 D、或} (8).设且17的终边与的终边相同,则等于 ( ) A. B. C. D.1 (9).集合 则A、B的关系为 ( ) A. B. C.A=B D,A (10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为( ) A. B. C. D. (11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为 ( ) A. B. C. D. (12)若是第四象限的角,则在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题(每题5分共10分) (13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧的弧长是 (14)用弧度制表示x轴上方的角的集合 (15)扇形的半径是5cm,弧长是cm那么扇形的面积是 cm (16) 三、解答题(每题10分共20分) 17.已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 18.如图,一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积. A B R R O §4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 §4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 一.课前指导 学习目标 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角终边上一点,会求角的各三角函数值; 学法指导 三角函数线的定义:设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点P,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点. (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 由四个图看出: 当角的终边不在坐标轴上时,有向线段, , ,. 称有向线段 分别为正弦线、余弦线、正切线。 要点导读 1.三角函数另一种定义: 在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么 (1)比值叫做的正弦,记作,即 ; (2)比值叫做的余弦,记作,即 ; (3)比值叫做的正切,记作,即 ; 2.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号 ①正弦值 为正(), 为负(); ②余弦值 为正(), 为负(); ③正切值 为正(同号), 为负(异号). 二.课堂导学 例1. 已知角的终边经过点,求的三个函数制值。 例2.求下列各角的三个三角函数值:(1);(2);(3). 例3 已知角的终边过点,求的三个三角函数值。 例4:已知角的终边上一点,且,求的值。 补充:已知点,在角的终边上,求、、的值。 三.课后测评 课后测评A 一、选择题(每小题5分) 1. 若三角形的两内角a,b满足sinacosb0,则此三角形必为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能 2.已知点p(tana,cosa)在第三象限,则a的终边在第几象限( ) A.一 B.二 C.三 D.四 3.如果角a的终边过点(2sin30,一2cos30),则sina的值等于( ) A. B.一 C.一 D.一 4.Sin2cos3tan4的值( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不存在 5.下列不等式中成立的是( ) A.sin(一)>sin(一) B.cos(一)>cos(一) C.tan(一)>tan(一) D.cot(一)>cot (一) 6. 已知集合E=,集合F=,那么EF为区间( ) A.(,) B.(,) C.(,) D.(,) 二、填空题:(每小题5分) 7.已知角a的终边过点(一x,4),且cosa= 一则x= 8.函数y= . 9.已知点P(tana,sina一cosa)在第一象限,且,则角a的取值范围是 10.若角a的终边落在直线x+y=0上,则= . 三、解答题:(每小题10分) 11. 已知角的终边经过点P(2,-3),求的两个三角函数值. 12. 已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值 13.若为第三、四象限的角且sin=,求m的取值范围。 14. 求值:sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4950° 15. 利用单位圆求满足下列条件的x的集合: 课后测评B 一.选择题(每小题5分) 1.函数y=++的值域是 ( ) (A){-1,1} (B){-1,1,3} (C) {-1,3} (D){1,3} 2.已知角θ的终边上有一点P(-4a,3a)(a≠0),则2sinθ+cosθ的值是 ( ) (A) (B) - (C) 或 - (D) 不确定 3.设A是第三象限角,且|sin|= -sin,则是 ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角 4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定 5.在△ABC中,若cosAcosBcosC<0,则△ABC是 ( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形 6.已知|cosθ|=cosθ, |tanθ|= -tanθ,则的终边在 ( ) (A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x轴上 (D)第二、四象限或x轴上 二.填空题(每小题5分) 7.若sinθ·cosθ>0, 则θ是第 象限的角; 8.求值:sin(-π)+cosπ·tan4π -cosπ= ; 9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同,则θ的值为 ; *10.设M=sinθ+cosθ, -1<M<1,则角θ是第 象限角. 三.解答题(每小题10分) 11.求函数y=lg(2cosx+1)+的定义域 12.求:的值. 13.已知:P(-2,y)是角θ终边上一点,且sinθ= -,求cosθ的值. 14.如果角.x时,借助三角函数线试比较x, tanx, sinx的大小。 15.已知点,在角的终边上,求、、的值。 §4.2 单位圆与周期性 一课前指导 学习目标 1.理解周期函数2。会求下列三角函数的周期3。会求三角函数的最小周期 学法指导 1.思考:周期函数的周期是否唯一?正弦函数y=sinx的周期有哪些? 答:周期函数的周期不止一个. ±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期. 2.今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期. 3.周期函数的周期不是唯一 要点导读 1.周期函数定义的理解要掌握三个条件,即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值; f(x+T)= 。那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期. 二.课堂导学 例1.已知函数f(x)满足对定义域内的任意x,均存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)。 求f(x+2T) ,f(x+3T) 例2.已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数,且f(1)=2005,求f(11) 例3 求下列三角函数的周期: ① ②(3),. 三.课后测评 1 求下列函数的周期: ⑴y=3cosx,x∈R; ⑵y=sin2x,x∈R; 2 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周期函数? 3.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8) 4.如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(ωx+φ)的周期是多少? 5.求函数y=|sinx|,x∈R的周期。 6.已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时,f(x)=x-4,求f(10)的值. §4.3 单位圆与诱导公式(一) 一课前指导 学习目标 通过本节内容的教学,使学生掌握,角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路 学法指导 +2kπ,-,π的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. ① ②这四组诱导公式可以概括为: 总结为一句话:函数名不变,符号看象限 公式记忆的口诀:“函数名不变,符号看象限”的简便记法. 要点导读 1. 公式一(复习) ; : (其中kZ) 2、π+与(公式二) sin(π+)= ;cos(π+)= ;tan(π+)= . 3、-与(公式三) sin(-)= ;cos(-)= ;tan(-)= . 4、π-与(公式四) sin(π-)= ;cos(π-)= ;tan(π-)= . 二.课堂导学 例1 求下列三角函数值:(1); (2). 例2 已知,且是第四象限角,求的值。 变式训练:将例2中的“是第四象限角”条件去掉,结果又怎样? 例3 化简. 例4..化简:+sin(-θ). 例5 已知:,求的值。 三、课后测评 课后测评A 一.选择题(每小题5分) 1.cos600°等于( ) A.- B. C.- D. 2.已知角α的终边上一点P(1,-2),则sinα+cosα等于( ) A.-1 B. C.- D.- 3.如果α+β=180°,那么下列等式中成立的是( ) A.cosα=cosβ B.cosα=-cosβ C.sinα=-sinβ D.以上都不对 4..若,则角α的终边在( ) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限 5.. cos(-)+sin(-)的值为( ) A. B. C. D. 二.求下列函数值(每小题5分) (1)sin(-1650°); (2)sin(-150°15’); (3)sin(-π) (4); (5) 三; 化简(每小题10分) (1)..(2) (3). 课后测评B 一.求值:1。. 2..
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