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西安市东方中学
第一章 三角函数
课标要求:
1.掌握角的概念,理解 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角) 、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法;理解推广后的角的概念;
3.理解弧度的意义;了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数.“角度制”与“弧度制”的区别与联系
4.能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题
5.掌握任意角的三角函数的定义;
6.已知角终边上一点,会求角的各三角函数值;
7.掌握,角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路
8.掌握,角的正弦、余弦、正切的诱导公式
及其探求思路
9.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。
10.掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。并能求出正、余弦函数的最大最小值与值域、
11、掌握正切函数的图象和性质.
12、能正确应用正切函数的图象和性质解决有关问题.
13.熟练掌握正切函数性质,同时要注意数形结合,借助单位圆或正切函数的图象对问题,直观迅速作业解答.
14.会用 “五点法”作出函数以及函数的图象的图象。
15.理解对函数的图象的影响.
16.能够将的图象变换到的图象.
17.会根据条件求解析式..
18.灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。
§1周期现象.
一、课前指导
学习目标
1了解周期现象在现实中广泛存在;2感受周期现象对实际工作的意义;3理解周期函数的概念;
4能熟练地判断简单的实际问题的周期;5能利用周期函数定义进行简单运用研究
学法指导
单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等,感知周期现象;从数学的角度分析这种现象,就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义,再在实践中加以应用
要点导读
1. 是周期现象
二.课堂导学
§2 角的概念的推广.
一.课前指导
学习目标
1.掌握角的概念,理解 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角) 、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法;理解推广后的角的概念;
学法指导
1.在表示角的集合时,一定要使用统一单位(统一制度),只能用角度制或弧度制的一种,不能混用。
2.在进行集合的运算时,要注意用数形结合的方法。
3.终边相同的角、区间角与象限角的区别:
角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角,它们彼此相差2kπ(k∈Z),即β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角,如α∈{α|≤α≤}=[,
要点导读
1.角可以看成 。。
按 角叫正角,按 叫负角 。如果一条射线 零角。
2.
角的终边所在位置
角的集合
X轴正半轴
Y轴正半轴
X轴负半轴
Y轴负半轴
X轴
Y轴
坐标轴
2.α、、2α之间的关系。
若α终边在第一象限则终边在 象限;2α终边在
若α终边在第二象限则终边在 象限;2α终边在
若α终边在第三象限则终边 ;2α终边在 。
若α终边在第四象限则终边 象限;2α终边在
二.课堂导学
例1:写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来:
(1)600; (2)-210; (3)363014,
例2.写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上; (2)y轴上;
类比:(1)终边落在x轴上的角的集合如何表示?终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?
(2)终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示?
思考:集合A={β|β=450+k×1800,k∈Z },B={β|β=450+k×900,k∈Z }有何关系?
(图形表示)
例3.已知角的顶点与直角坐标系原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?
(1)4200; (2)-750; (3)8550; (4)-5100.
例4.若是第二象限角,则,分别是第几象限的角。问:是第二象限角,如何表示?
三.课后测评
课后测评A
一.选择题(每小题5分)
1、下列角中终边与330°相同的角是( )
A.30° B.-30° C.630° D.-630°
2、-1120°角所在象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、把-1485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°, k∈Z)的形式是 ( )
A.45°-4×360°B.-45°-4×360°C.-45°-5×360°D.315°-5×360°
4、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( )
A.{α∣90°<α<180°}
B.{α∣90°+k·180°<α<180°+k·180°,k∈Z}
C.{α∣-270°+k·180°<α<-180°+k·180°,k∈Z}
D.{α∣-270°+k·360°<α<-180°+k·360°,k∈Z}
5、下列命题是真命题的是( )
Α.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角
C.不相等的角终边一定不同
D.=
6、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是( )
A.B=A∩C B.B∪C=C C.AC D.A=B=C
二.填空题(每小题5分)
1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________.
2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________.
3、若角α的终边为第二象限的角平分线,则α的集合为______________________.
4、角α的终边在坐标轴上,请用集合的形式表示α为 .
三.解答题(每小题10分)
已知角是第二象限角,求:(1)角是第几象限的角;(2)角终边的位置。
课后测评B
一、选择题(每小题5分)
1.下列命题中正确的是( )
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同
2.与120°角终边相同的角是( )
A.-600°+k·360°,k∈Z B.-120°+k·360°,k∈Z
C.120°+(2k+1)·180°,k∈Z D.660°+k·360°,k∈Z
3.若角α与β终边相同,则一定有( )
A.α+β=180° B.α+β=0°
C.α-β=k·360°,k∈Z D.α+β=k·360°,k∈Z
4.设A=, B = C= D=,则下列等式中成立的是( )
A. A= B B. B= C
C. A =C D. A= D
5.若α=-3,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.若α是第四象限角,则π-α一定在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、填空题:(每小题5分)
7. 角α=45°+k·90°的终边在第 象限.
三、解答题:(每小题10分)
8. 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)
9. 写出终边在直线y=x上所有的角的集合,并指出在上述集合中,最大负角是多少?
10. 已知是第二象限角,试求:
(1)角所在的象限;(2)角所在的象限;(3)2角所在范围.
§3 弧度制.
一.课前指导
学习目标
理解弧度的意义;了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数.“角度制”与“弧度制”的区别与联系
能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题
学法指导
角度与弧度之间的转换:
①将角度化为弧度:
; ;;.
②将弧度化为角度:
;;;.
要点导读
1.规定把周角的作为1度的角,用 叫做角度制.
2. 叫做1弧度的角; 叫做弧度制.在弧度制下, 1弧度记做1rad.在实际运算中,常常将rad单位省略.
3.弧度制的性质:
①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是 . ④负角的弧度数是 .
⑤零角的弧度数是 . ⑥角α的弧度数的绝对值
4.特殊角的弧度
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
5.弧长公式
_____________.
二.课堂导学
例1.将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,并确定其所在的象限.
;.
三.课后测评
课后测评A
一.选择题(每小题5分)
1、下列各角中与240°角终边相同的角为 ( )
A. B.- C.- D.
2、若角α终边在第二象限,则π-α所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、把-1125°化成α+2kπ ( 0≤α<2π,k∈Z=)的形式是 ( )
A.--6π B. -6π C.--8π D.-8π
4、已知集合M ={x∣x = , ∈Z},N ={x∣x = , k∈Z},则 ( )
A.集合M是集合N的真子集 B.集合N是集合M的真子集
C.M = N D.集合M与集合N之间没有包含关系
5、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ( )
A.4 cm2 B.2 cm2 C.4πcm2 D.2πcm2
6、集合{α∣α = -,k∈Z}∩{α∣-π<α<π}为 ( )
A.{-,}B.{-,}C.{-, ,-,}D.{,}
二.填空题(每小题5分)
1、若角α,关于y轴对称,则α,的关系是 ;
2、若角α,满足,则的范围 ;
3、将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 .
4、已知是第二象限角,且则的集合是 .
三.解答题(每小题10分)
已知=1690o,
(1)把表示成的形式,其中k∈Z,∈.
(2)求,使与的终边相同,且.
课后测评B
一、选择题(每题5分共60分 )
(1)在半径不等的两个圆内,1弧度的圆心角( )
A.所对的弧长相等 B.所对的弦长相等
C.所对的弧长等于各自的半径 D.以上都不对
(2).把化为的形式是( )
A. B. C. D.
(3).把表示成的形式,使最小的的值是( )
A. B. C. D.
(4).若是第二象限角,那么和都不是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
(5).将分针拨慢十分钟,则分针所转过的弧度数是 ( )
A、 B、 C、 D、
(6)圆弧长度等于其内接正三角形的边长,其圆心角的弧度数是 ( )
A、 B、 C、 D、2
(7)已知集合 ,
则 等于 ( )
A、 B、{} C、
D、或}
(8).设且17的终边与的终边相同,则等于 ( )
A. B. C. D.1
(9).集合
则A、B的关系为 ( )
A. B. C.A=B D,A
(10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
(11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为 ( )
A. B.
C. D.
(12)若是第四象限的角,则在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、填空题(每题5分共10分)
(13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧的弧长是
(14)用弧度制表示x轴上方的角的集合
(15)扇形的半径是5cm,弧长是cm那么扇形的面积是 cm
(16)
三、解答题(每题10分共20分)
17.已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
18.如图,一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积.
A B
R
R
O
§1----§3综合测评A
一、选择题(每小题5分)
1.若α是第一象限角,则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )
(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α
2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )
(A){α|α=k·360°,k∈Z} (B){α|α=k·180°+90°,k∈Z}
(C){α|α=k·180°,k∈Z} (D){α|α=k·90°,k∈Z}
3.若角α、β的终边关于y轴对称,则α、β的关系一定是(其中k∈Z) ( )
(A) α+β=π (B) α-β= (C) α-β=(2k+1)π (D) α+β=(2k+1)π
4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 ( )
(A) (B) (C) (D)2
5.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( )
(A) (B)- (C) (D)-
*6.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},下列四个命题:
①A=B=C ②AC ③CA ④A∩C=B,其中正确的命题个数为 ( )
(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二.填空题(每小题5分)
7.终边落在x轴负半轴的角α的集合为 ,终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .
8. -πrad化为角度应为 .
9.圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
10.若角α是第三象限角,则角的终边在 ,2α角的终边在 .
三.解答题(每小题10分)
11.试写出所有终边在直线上的角的集合,并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.
12.已知0°<θ<360°,且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合,求θ.
13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
x
y
O
A
*14.如下图,圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0<θ<π)角,2分钟到达第三象限,14分钟后回到原来的位置,求θ.
§1----§3综合测评B
一、选择题(每题5分共60分 )
(1)在半径不等的两个圆内,1弧度的圆心角( )
A.所对的弧长相等 B.所对的弦长相等
C.所对的弧长等于各自的半径 D.以上都不对
(2).把化为的形式是( )
A. B. C. D.
(3).把表示成的形式,使最小的的值是( )
A. B. C. D.
(4).若是第二象限角,那么和都不是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
(5).将分针拨慢十分钟,则分针所转过的弧度数是 ( )
A、 B、 C、 D、
(6)圆弧长度等于其内接正三角形的边长,其圆心角的弧度数是 ( )
A、 B、 C、 D、2
(7)已知集合 ,
则 等于 ( )
A、 B、{} C、
D、或}
(8).设且17的终边与的终边相同,则等于 ( )
A. B. C. D.1
(9).集合
则A、B的关系为 ( )
A. B. C.A=B D,A
(10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
(11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为 ( )
A. B.
C. D.
(12)若是第四象限的角,则在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、填空题(每题5分共10分)
(13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧的弧长是
(14)用弧度制表示x轴上方的角的集合
(15)扇形的半径是5cm,弧长是cm那么扇形的面积是 cm
(16)
三、解答题(每题10分共20分)
17.已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
18.如图,一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积.
A B
R
R
O
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
§4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
一.课前指导
学习目标
1.掌握任意角的三角函数的定义;
2.已知角终边上一点,会求角的各三角函数值;
学法指导
三角函数线的定义:设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点P,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
由四个图看出:
当角的终边不在坐标轴上时,有向线段, , ,.
称有向线段 分别为正弦线、余弦线、正切线。
要点导读
1.三角函数另一种定义:
在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么
(1)比值叫做的正弦,记作,即 ;
(2)比值叫做的余弦,记作,即 ;
(3)比值叫做的正切,记作,即 ;
2.三角函数的符号
由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号
①正弦值 为正(),
为负();
②余弦值 为正(),
为负();
③正切值 为正(同号),
为负(异号).
二.课堂导学
例1. 已知角的终边经过点,求的三个函数制值。
例2.求下列各角的三个三角函数值:(1);(2);(3).
例3 已知角的终边过点,求的三个三角函数值。
例4:已知角的终边上一点,且,求的值。
补充:已知点,在角的终边上,求、、的值。
三.课后测评
课后测评A
一、选择题(每小题5分)
1. 若三角形的两内角a,b满足sinacosb0,则此三角形必为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能
2.已知点p(tana,cosa)在第三象限,则a的终边在第几象限( )
A.一 B.二 C.三 D.四
3.如果角a的终边过点(2sin30,一2cos30),则sina的值等于( )
A. B.一 C.一 D.一
4.Sin2cos3tan4的值( )
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不存在
5.下列不等式中成立的是( )
A.sin(一)>sin(一) B.cos(一)>cos(一)
C.tan(一)>tan(一) D.cot(一)>cot (一)
6. 已知集合E=,集合F=,那么EF为区间( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
二、填空题:(每小题5分)
7.已知角a的终边过点(一x,4),且cosa= 一则x=
8.函数y= .
9.已知点P(tana,sina一cosa)在第一象限,且,则角a的取值范围是
10.若角a的终边落在直线x+y=0上,则= .
三、解答题:(每小题10分)
11. 已知角的终边经过点P(2,-3),求的两个三角函数值.
12. 已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值
13.若为第三、四象限的角且sin=,求m的取值范围。
14. 求值:sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4950°
15. 利用单位圆求满足下列条件的x的集合:
课后测评B
一.选择题(每小题5分)
1.函数y=++的值域是 ( )
(A){-1,1} (B){-1,1,3} (C) {-1,3} (D){1,3}
2.已知角θ的终边上有一点P(-4a,3a)(a≠0),则2sinθ+cosθ的值是 ( )
(A) (B) - (C) 或 - (D) 不确定
3.设A是第三象限角,且|sin|= -sin,则是 ( )
(A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角
4. sin2cos3tan4的值 ( )
(A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定
5.在△ABC中,若cosAcosBcosC<0,则△ABC是 ( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形
6.已知|cosθ|=cosθ, |tanθ|= -tanθ,则的终边在 ( )
(A)第二、四象限 (B)第一、三象限
(C)第一、三象限或x轴上 (D)第二、四象限或x轴上
二.填空题(每小题5分)
7.若sinθ·cosθ>0, 则θ是第 象限的角;
8.求值:sin(-π)+cosπ·tan4π -cosπ= ;
9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同,则θ的值为 ;
*10.设M=sinθ+cosθ, -1<M<1,则角θ是第 象限角.
三.解答题(每小题10分)
11.求函数y=lg(2cosx+1)+的定义域
12.求:的值.
13.已知:P(-2,y)是角θ终边上一点,且sinθ= -,求cosθ的值.
14.如果角.x时,借助三角函数线试比较x, tanx, sinx的大小。
15.已知点,在角的终边上,求、、的值。
§4.2 单位圆与周期性
一课前指导
学习目标
1.理解周期函数2。会求下列三角函数的周期3。会求三角函数的最小周期
学法指导
1.思考:周期函数的周期是否唯一?正弦函数y=sinx的周期有哪些?
答:周期函数的周期不止一个. ±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.
2.今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.
3.周期函数的周期不是唯一
要点导读
1.周期函数定义的理解要掌握三个条件,即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;
f(x+T)= 。那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.
二.课堂导学
例1.已知函数f(x)满足对定义域内的任意x,均存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)。
求f(x+2T) ,f(x+3T)
例2.已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数,且f(1)=2005,求f(11)
例3 求下列三角函数的周期: ① ②(3),.
三.课后测评
1 求下列函数的周期:
⑴y=3cosx,x∈R; ⑵y=sin2x,x∈R;
2 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周期函数?
3.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8)
4.如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(ωx+φ)的周期是多少?
5.求函数y=|sinx|,x∈R的周期。
6.已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时,f(x)=x-4,求f(10)的值.
§4.3 单位圆与诱导公式(一)
一课前指导
学习目标
通过本节内容的教学,使学生掌握,角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路
学法指导
+2kπ,-,π的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.
①
②这四组诱导公式可以概括为:
总结为一句话:函数名不变,符号看象限
公式记忆的口诀:“函数名不变,符号看象限”的简便记法.
要点导读
1. 公式一(复习)
; : (其中kZ)
2、π+与(公式二)
sin(π+)= ;cos(π+)= ;tan(π+)= .
3、-与(公式三)
sin(-)= ;cos(-)= ;tan(-)= .
4、π-与(公式四)
sin(π-)= ;cos(π-)= ;tan(π-)= .
二.课堂导学
例1 求下列三角函数值:(1); (2).
例2 已知,且是第四象限角,求的值。
变式训练:将例2中的“是第四象限角”条件去掉,结果又怎样?
例3 化简.
例4..化简:+sin(-θ).
例5 已知:,求的值。
三、课后测评
课后测评A
一.选择题(每小题5分)
1.cos600°等于( )
A.- B. C.- D.
2.已知角α的终边上一点P(1,-2),则sinα+cosα等于( )
A.-1 B. C.- D.-
3.如果α+β=180°,那么下列等式中成立的是( )
A.cosα=cosβ B.cosα=-cosβ C.sinα=-sinβ D.以上都不对
4..若,则角α的终边在( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限
5.. cos(-)+sin(-)的值为( )
A. B. C. D.
二.求下列函数值(每小题5分)
(1)sin(-1650°); (2)sin(-150°15’);
(3)sin(-π) (4);
(5)
三; 化简(每小题10分)
(1)..(2)
(3).
课后测评B
一.求值:1。.
2..
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