资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．小明利用计算机列出表格对一元二次方程进行估根如表:那么方程的一个近似根是（ ）
A． B． C． D．
2．函数与，在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知反比例函数，下列结论；①图象必经过点；②图象分布在第二，四象限；③在每一个象限内，y随x的增大而增大.其中正确的结论有（ ）个.
A．3 B．2 C．1 D．0
4．斜坡坡角等于，一个人沿着斜坡由到向上走了米，下列结论
①斜坡的坡度是； ②这个人水平位移大约米；
③这个人竖直升高米； ④由看的俯角为．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如果可以通过配方写成的形式，那么可以配方成（ ）
A． B． C． D．
6．如果圆锥的底面半径为3，母线长为6，那么它的侧面积等于（ ）
A．9π B．18π C．24π D．36π
7．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(－3，2)
8．二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知一次函数与反比例函数的图象有2个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点且CD＝4，则OE等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，下列式子中正确的是（ ）
A． B．；
C． D．．
12．若分式的运算结果为，则在中添加的运算符号为（ ）
A．＋ B．－ C．＋或÷ D．－或×
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，中，，且，，则___________
14．如图，某海防响所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这般船与哨所的距离约为________米．（精确到1米，参考数据：，）
15．如图，是等腰直角三角形，，以BC为边向外作等边三角形BCD，，连接AD交CE于点F，交BC于点G，过点C作交AB于点下列结论：；∽；；则正确的结论是______填序号
16．在平面直角坐标系中，已知，，，若线段与互相平分，则点的坐标为______.
17．某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.5毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______小时．
18．在数、、中任取两个数（不重复）作为点的坐标，则该点刚好在一次函数图象的概率是________________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图所示，是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为13.3米，从，两处测得路灯的仰角分别为和，且.求灯杆的长度.
20．（8分）富平因取“富庶太平”之意而得名，是华夏文明重要发祥地之一.某班举行关于“美丽的富平”的演讲活动.小明和小丽都想第一个演讲，于是他们通过做游戏来决定谁第一个来演.讲游戏规则是：在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b、c，(除颜色外其它均相同)，小丽从袋子中摸出一个球，放回后搅匀，小明再从袋子中摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则小丽获胜，否则小明获胜，请你用树状图或列表的方法分别求出小丽与小明获胜的概率，并说明这个游戏规则对双方公平吗？
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线()．
（1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a的代数式表示)；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，且点A在点B的左侧，AB=1．
①求a的值；
②记二次函数图象在点 A，B之间的部分为W(含 点A和点B)，若直线 ()经过（1，-1），且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．
22．（10分）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”
大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位)
23．（10分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．
24．（10分）如图，正方形的边长为9，、分别是、边上的点，且.将绕点逆时针旋转，得到.
（1）求证：
（2）当时，求的长.
25．（12分）在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某校数学兴趣小组为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况，对两小区各600名居民进行测试，从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
（信息一）小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
（信息二）上图中，从左往右第四组成绩如下：
75
77
77
79
79
79
80
80
81
82
82
83
83
84
84
84
（信息三）两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
小区
平均数
中位数
众数
优秀率
方差
75.1
___________
79
40%
277
75.1
77
76
45%
211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求小区50名居民成绩的中位数；
（2）请估计小区600名居民成绩能超过平均数的人数；
（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．
26．一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据表格中的数据，0与最接近，故可得其近似根.
【详解】由表得，0与最接近，
故其近似根为
故答案为C.
此题主要考查对近似根的理解，熟练掌握，即可解题.
2、D
【解析】由二次函数y=ax2+a中一次项系数为0，我们易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称，然后分当a＞0时和a＜0时两种情况，讨论函数y=ax2+a的图象与函数y=（a≠0）的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．
【详解】解：由函数y=ax2+a中一次项系数为0，
我们易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称，可排除A；
当a＞0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝上，顶点（0，a）点在x轴上方，可排除C；
当a＜0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝下，顶点（0，a）点在x轴下方，
函数y=（a≠0）的图象位于第二、四象限，可排除B；
故选：D．
本题考查的知识点是函数的表示方法-图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键.
3、A
【分析】根据反比例函数的图像与性质解答即可.
【详解】①∵-1×1=-1，∴图象必经过点，故①正确；②∵-1<0，图象分布在第二，四象限，故②正确；③∵-1<0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故③正确.
故选A.
本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图像是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.
4、C
【解析】由题意对每个结论一一分析即可得出其中正确的个数．
【详解】解：如图，
斜坡的坡度为tan30°= =1： ，正确．
②AB=20米，这个人水平位移是AC，
AC=AB•cos30°=20× ≈17.3（米），正确．
③这个人竖直升高的距离是BC，
BC=AB•sin30°=20×=10（米），正确．
④由平行线的性质可得由B看A的俯角为30°．所以由B看A的俯角为60°不正确．
所以①②③正确．
故选：C．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角-仰角俯角问题，关键是熟练掌握相关概念．
5、B
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】∵x2−8x＋m＝0可以通过配方写成（x−n）2＝6的形式，
∴x2−8x＋16＝16−m，x2−2nx＋n2＝6，
∴n＝4，m＝10，
∴x2＋8x＋m＝x2＋8x＋10＝0，
∴（x＋4）2＝6，即
故选：B．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
6、B
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×6＝18π．
故选：B．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7、B
【解析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）”解答．
【详解】根据中心对称的性质，得点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B．
关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
8、A
【分析】①对称轴为，得；
②函数图象与x轴有两个不同的交点，得；
③当时，，当时，，得；
④由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，当时
【详解】解：由图象可知，对称轴为，
，
，
①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
，
②正确；
当时，，
当时，，
③正确；
由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，
∴当时，
④错误；
故选A．
考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．
9、C
【分析】将两个解析式联立整理成关于x的一元二次方程，根据判别式与根的关系进行解题即可.
【详解】将代入到中，得，
整理得
∵一次函数与反比例函数的图象有2个公共点
∴方程有两个不相等的实数根
所以
解得或
故选C.
本题考查的是一次函数与反比例函数图像交点问题，能用函数的思想思考问题是解题的关键.
10、B
【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝4，AC⊥BD，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝AB＝1．
故选：B．
此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OE=AB是解题关键．
11、C
【分析】由平行四边形性质，得，由三角形法则，得到，代入计算即可得到答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
在△OAB中，有，
∴，
∴；
故选择：C.
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
12、C
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：＋＝，
÷＝＝x，
故选：C．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】由及，得，再证△ADE∽△ABC，推出，代入值，即可求出BC．
【详解】解：∵,，
∴
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，则BC=1，
故答案为：1．
本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等．
14、566
【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
【详解】设与正北方向线相交于点，
根据题意，所以，
在中，因为，
所以，
中，因为，
所以（米）．
故答案为566.
考查了解直角三角形的应用-方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
15、②③④
【分析】根据题意证明∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC即可证明②正确, ①错误,在△AEF中利用特殊三角函数即可证明③正确,在Rt△AOC中,利用即可证明④正确.
【详解】解：由题可知,∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC,
∴∠ACD=150°,
∴∠CDA=∠CAD=15°,
∴∠FCG=∠BDG=45°,
∴, ②正确, ①错误,
∵易证∠FAE=30°,设EF=x,则AE=CE=,
∴, ③正确,
设CH与AD交点为O,易证∠FCO=30°,
设OF=y,则CF=2y,由③可知,
EF=（）y,
∴AF=（）y,
在Rt△AOC中,.
故②③④正确.
本题考查了相似三角形的判定,特殊的直角三角形,三角函数的简单应用,难度较大,熟知特殊三角函数值是解题关键.
16、
【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形的性质得出D点坐标．
【详解】解：如图所示：
∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
故答案为：（5，3）．
此题考查了平行四边形的性质，图形与坐标，正确画出图形是解题关键．
17、7.1
【分析】将点（1，4）分别代入y=kt， 中，求k、m，确定函数关系式，再把y=0.5代入两个函数式中求t，把所求两个时间t作差即可．
【详解】解：把点（1，4）分别代入y=kt，中，
得k=4，m=4，
∴y=4t，，
把y=0.5代入y=4t中，得t1=，
把y=0.5代入中，得t2=，
∴治疗疾病有效的时间为：t2-t1=
故答案为：7.1．
本题考查了本题主要考查函数模型的选择与应用、反比例函数、一次函数的实际应用．关键是用待定系数法求函数关系式，理解题意，根据已知函数值求自变量的差．
18、
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在一次函数y=x-2图象上的点个数，即可求出所求的概率．
【详解】列表得：
-1
1
2
-1
---
（1，-1）
（2，-1）
1
（-1，1）
---
（2，1）
2
（-1，2）
（1，2）
---
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在一次函数y=x-2图象上的情况有：（1，-1）共1种，则
故答案为：
此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（共78分）
19、2.8米
【分析】过点作，交于点，过点作，交于点，则米.设.根据正切函数关系得，可进一步求解.
【详解】解：由题意得，.
过点作，交于点，
过点作，交于点，则米.设.，.在中，，
.
，..
（米）.
，
.（米）.
答：灯杆的长度为2.8米.
考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是关键.
20、小丽为，小军为，这个游戏不公平，见解析
【分析】画出树状图，得出总情况数及两次模到的球颜色相同和不同的情况数，即可得小丽与小明获胜的概率，根据概率即可得游戏是否公平.
【详解】根据题意两图如下：
共有种等情况数，其中两次模到的球颜色相同的情况数有种，不同的有种，
小丽获胜的概率是
小军获胜的概率是，所以这个游戏不公平.
本题考查游戏公平性的判断，判断游戏的公平性要计算每个参与者获胜的概率，概率相等则游戏公平，否则游戏不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
21、（1）1a+8；（2）①a=-1；②或或
【分析】（1）将原表达式变为顶点式，即可得到答案；
（2）①根据顶点式可得抛物线的对称轴是x=1 ，再根据已知条件得到A、B两点的坐标，将坐标代入，即可得到a的值；②分情况讨论，当 ()经过（1，-1）和A（-1,0）时，以及当 ()经过（1，-1）和B（3，0）时，代入解析式即可求出答案.
【详解】（1）==
所以顶点坐标为（1,1a+8）,则纵坐标为1a+8.
（2）①解：∵原解析式变形为：y=
∴抛物线的对称轴是x=1
又∵ 抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，AB=1
∴ 点A和点B各距离对称轴2个单位
∵ 点A在点B的左侧
∴A（-1,0），B（3，0）
∴将B（3，0）代入
∴9a-6a+5a+8=0
a=-1
②当 ()经过（1，-1）和A（-1,0）时
，
当 ()经过（1，-1）和B（3，0）时
，
∴或或
本题考查了二次函数、一次函数的综合性题目，数形结合是解答此题的关键.
22、由的高约为丈.
【分析】由题意得里，尺，尺，里，过点作于点，交于点，得 尺，里，里，根据相似三角形的性质即可求出.
【详解】解：由题意得里，尺，尺，里.
如图，过点作于点，交于点.
则尺，里，里，
，
∴ △ ECH∽ △ EAG，
，
丈，丈.
答：由的高约为丈.
此题主要考查了相似三角形在实际生活中的应用，能够将实际问题转化成相似三角形是解题的关键.
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质求出AB⊥CD，AB⊥BF，即可证明；
（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，
∴AB⊥CD，
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
（2）解：连接OD、OC，
∵∠A＝35°，
∴∠BOD＝2∠A＝70°，
∴∠COD＝2∠BOD＝140°，
∴的长为：＝．
本题考查的是切线的性质、垂径定理、弧长的计算，掌握切线的性质定理、垂径定理和弧长的计算公式是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）7.1
【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=41°，得到∠MDF=41°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；
（2）由第一问的全等得到AE=CM=3，正方形的边长为9，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=12﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【详解】（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°．
∵∠EDF=41°，
∴∠FDM=∠EDF=41°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF；
（2）设EF=x，则MF=x．
∵AE=CM=3，且BC=9，
∴BM=BC+CM=9+3=12，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=12﹣x．
∵EB=AB﹣AE=9﹣3=6，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2，
即62+(12﹣x)2=x2，
解得：x=7.1，
则EF=7.1．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．
25、（1）76；（2）300人；（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数
【分析】（1）因为有50名居民，中位数应为第25名和第26名成绩的平均值，所以中位数落在第四组，再根据信息二中的表格数据可得出结果；
（2）先求出A小区超过平均数的人数，即（16-1）+10=25（人），再根据小区600名居民成绩能超过平均数的人数=600×，即可得出结果；
（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
【详解】解：（1）因为有50名居民，中位数应为第25名和第26名成绩的平均值.
而前三组的总人数为：4+8+12=24（人），所以中位数落在第四组，
第25名的成绩为75分，第26名的成绩为77分，所以中位数为76，
故答案为：76；
（2）根据题意得，600×=300（人），
答：A小区600名居民成绩能超过平均数的人数300人；
（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；
从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；
从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
（答案不唯一，合理即可；）
本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
26、．
【分析】利用画树状图法得到总的可能和可能发生的结果数，即可求出概率.
【详解】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4，
所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率＝.
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率.
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