资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知的面积为4，则的面积为（ ）
A．12 B．28 C．36 D．38
2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．12cm C．11cm D．10cm
4．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
7．某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=且∠ACB最大时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7
C．抛掷一枚一元硬币，正面朝上
D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块
10．已知，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，直角三角形中，，，，在线段上取一点，作交于点，现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若，则______.
12．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
13．若圆锥的母线长为４cm，其侧面积，则圆锥底面半径为 cm．
14．某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－t2，这架飞机着陆后滑行最后150m所用的时间是_______s．
15．小刚要测量一旗杆的高度，他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上，如图，此时测得地面上的影长为8米，楼面上的影长为2米．同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则旗杆的高度为_______米．
16．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的有________．(填序号)
①小红的运动路程比小兰的长；② 两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇；③ 当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D ；④在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径．
17．一个正n边形的一个外角等于72°，则n的值等于_____．
18．小华在一次射击训练中的6次成绩（单位：环）分别为：9，8，9，10，8，8，则他这6次成绩的中位数比众数多__________环．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交⊙O于点E．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．
20．（6分）我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．(结果保留根号)
21．（6分）解下列方程
（1）x2+4x﹣1=0
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2
22．（8分）一次函数与反比例函数的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．
23．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA＝2OB＝1．求抛物线的顶点坐标．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=1．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根时，求Rt△ABC的面积．
25．（10分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张除数字外都相同的牌，正面分别标有数字2，5，1．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为奇数，则乙获胜这游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
26．（10分）计算
（1）tan60°﹣sin245°﹣3tan45°+cos60°
（2）+tan30°
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据平行是四边形的性质得到AD∥BC，OA=OC，得到△AFE∽△CEB，根据点E是OA的中点，得到，△AEB的面积=△OEB的面积，计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴△AFE∽△CEB，
∴
∵点E是OA的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2、C
【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得.又AB∥CD，得出，设=a,DF=b（a,b为常数），可得出，从而可以得出，结合可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果.
【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,
∴四边形CDFE为矩形.
∴DF∥GH,
∴
又AB∥CD，∴.
设=a，DF=b,
∴,
∴
∴
∴GH=，
∵a,b的长是定值不变，
∴当人从点走向点时两段影子之和不变．
故选：C.
本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
3、B
【分析】由平行可得＝，再由条件可求得＝，代入可求得BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
且DE＝4cm，
∴＝，
解得：BC＝12cm，
故选：B．
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段成比例是解题的关键．
4、C
【分析】根据一元二次方程有实数根得到△且，解不等式求出的取值范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
△且，
△且，
且．
故选：．
本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
5、A
【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【详解】解：∵1是一元二次方程x1-3x+k=0的一个根，
∴11-3×1+k=0，
解得，k=1．
故选：A．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
6、C
【详解】解:由图可知，点B在第四象限．各选项中在第四象限的只有C．
故选C．
7、C
【详解】由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均不小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C．
8、B
【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当的外接圆与轴相切时，有最大值，此时圆心F的横坐标与C点的横坐标相同，并且在经过AB中点且与直线AB垂直的直线上，根据FB=FC列出关于b的方程求解即可.
【详解】解：∵AB=，A(0,2)、B(a,a+2)
∴，
解得a=4或a=-4（因为a>0，舍去）
∴B(4,6)，
设直线AB的解析式为y=kx+2，
将B(4,6)代入可得k=1，所以y=x+2，
利用圆周角大于对应的圆外角得当的外接圆与轴相切时，有最大值.
如下图，G为AB中点，，
设过点G且垂直于AB的直线，
将代入可得，所以.
设圆心，由，可知，解得（已舍去负值）.
故选：B.
本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C点的位置是解决此题的关键.
9、B
【解析】根据事件发生的可能性大小即可判断.
【详解】A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球的概率为0，故错误；
B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7的概率为1，故为必然事件，正确；
C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率为50%，为随机事件，故错误；
D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，为随机事件，故错误；
故选B.
此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是熟知概率的定义.
10、D
【分析】利用比例的性质进行逐一变形，比较是否与题目一致，即可得出答案.
【详解】A：因为所以ab=cd，故A正确；
B：因为所以ab=cd，故B正确；
C：因为所以(a+c)b=(d+b)c，化简得ab =cd，故选项C正确；
D：因为所以(a+1)(b+1)=(d+1)(c+1)，化简得ab+a+b=cd+d+c，故选项D错误；
故答案选择D.
本题考查的是比例的性质，难度不大，需要熟练掌握相关基础知识，重点需要熟练掌握去括号法则.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3.2
【分析】先利用勾股定理求出AC，设，依题意得，故，易证，得到，再在中利用勾股定理解出，又得，列出方程解方程得到x，即可得到AD
【详解】在中利用勾股定理求出，设，依题意得，故.由求出，再在中，利用勾股定理求出，然后由得，即，解得，从而.
本题考查勾股定理与相似三角形，解题关键在于灵活运用两者进行线段替换
12、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
13、3
【解析】∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l==6π，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r==3cm，
14、1
【解析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即可得到结论．
【详解】当y取得最大值时，飞机停下来，
则y=60t-t2=-（t-20）2+600，
此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当y=600-150=450时，
即60t-t2=450，
解得：t=1，t=30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m所用的时间是20-1=1，
故答案是：1．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
15、1
【分析】直接利用已知构造三角形，利用同一时刻，实际物体与影长成比例进而得出答案．
【详解】如图所示：由题意可得，DE＝2米，
BE＝CD＝8米，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴，
解得：AB＝4，
故旗杆的高度AC为1米．
故答案为：1．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确构造三角形是解题关键．
16、④
【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题．
【详解】解：①由图可知，速度相同的情况下，小红比小兰提前停下来，时间花的短，故小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；
②两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；
③当小红运动到点D的时候，小兰也在点D，故本选项不符合题意；
④当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t=
=4.84，故本选项正确；
故答案为：④．
本题考查动点问题函数图象、解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
17、1．
【分析】可以利用多边形的外角和定理求解．
【详解】解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n的值为360°÷72°＝1．
故答案为：1
本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键．
18、0.5
【分析】根据中位数的定义和众数的定义，分别求出中位数和众数，然后作差即可．
【详解】解：将这6次的成绩从小到大排列： 8， 8，8，9，9，10，
故这6次的成绩的中位数为：（8+9）÷2=环
根据众数的定义，这6次的成绩的众数为8环
∴他这6次成绩的中位数比众数多－8=环
故答案为：．
此题考查的是求一组数的中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解决此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝5．
【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；
（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，又AD⊥PD，
∴OC⊥PD，
∴PC与⊙O相切；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCP+∠OCB＝90°，
∴∠BCP＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠BCP＝∠BEC，
∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：连接AE，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，
∴BC＝6，
由勾股定理得，AB＝，
∵，
∴AE＝BE，
则△AEB为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝5．
本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定，切线的判定及勾股定理、锐角三角函数．熟练运用这些性质是解题的关键．
20、的长为
【分析】在中求AF的长, 在中求EF的长,即可求解.
【详解】过点作于点F
由题知：四边形为矩形
在中，
在中，
求得的长为
本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.
21、 (1) x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；(2) y1=﹣，y2=．
【解析】（1）把常数项1移项后，在左右两边同时加上4配方求解．
(2)整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
【详解】（1）移项可得：x2+4x=1，
两边加4可得：x2+4x+4=4+1，
配方可得：（x+2）2=5，
两边开方可得：x+2=±，
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
（2）移项可得：（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，
分解因式可得：（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，即（4y+1）（3﹣2y）=0，
∴4y+1=0或3﹣2y=0，
∴y1=﹣，x2=．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
22、（1），；（2）．
【分析】（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数可得m的值，再把B（2，n）代入反比例函数的解析式得到n的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由BC⊥y轴，垂足为C以及B点坐标确定C点坐标，可求出直线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，然后计算得出△AED的面积S．
【详解】解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数得，
m=﹣1×4=﹣4，
所以反比例函数的解析式为，
把B（2，n）代入得，2n=﹣4，
解得n=﹣2，
所以B点坐标为（2，﹣2），
把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函数，
得：，解得：，
所以一次函数的解析式为；
（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，﹣2），
∴C点坐标为（0，﹣2）．
设直线AC的解析式为，∵A（﹣1，4），C（0，﹣2），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
当y=0时，﹣6x﹣2=0，解答x=，
∴E点坐标为（，0），
∵直线AB的解析式为，
∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），
∴DE=，
∴△AED的面积S==．
本题考查1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题，利用数形结合思想解题是关键．
23、 (﹣1，9)
【分析】先写出A、B点的坐标，然后利用交点式写出抛物线解析式，再利用配方法得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵OA＝2OB＝1，
∴B（2，0），A（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），
即y＝﹣x2﹣2x+8，
∵y＝﹣（x+1）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）．
本题考查了二次函数的解析式，解决本题的关键是正确理解题意，能够将二次函数一般式转化为交点式.
24、（1）m＜2；（2）
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根即可得到判别式大于1，由此得到答案；
（2）根据根与系数的关系式及完全平方公式变形求出ab，再利用三角形的面积公式即可得到答案.
【详解】（1）关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=1有两个不相等的实数根，
∴△＞1，即△=4-4（m-1）＞1，
解得m＜2；
（2）∵Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根，
∴a+b=2，a2+b2=()2=3 ，
∴(a+b)2-2ab=3，
∴4-2ab=3，
∴ab=，
∴Rt△ABC的面积=ab=.
此题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系式，直角三角形的勾股定理，完全平方式的变形，直角三角形面积的求法.
25、（1）两人抽取相同数字的概率是；（2）这个游戏公平．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两人抽取相同数字的情况数，然后根据概率公式即可得出答案;
（2）根据概率公式求出两人抽取的数字和为4的倍数以及和为奇数的概率,然后进行比较即可得出答案．
【详解】（1）根据题意画树状图如下：
共有9种等情况数，其中两人抽取相同数字的有3种，
则两人抽取相同数字的概率是；
（2）∵共有9种等情况数，其中两人抽取的数字和为4的倍数有4种，抽取的数字和为奇数的有4种，
∴P（和为4的倍数）＝，P（和为奇数）＝，
∴这个游戏公平．
本题主要考查的是利用概率计算判断游戏公平性, 解决本题的关键是要熟练掌握树状图求概率的方法.
26、 (1)0;(2)
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；
（2）将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】（1）原式＝×﹣（）2﹣3×1+
＝3﹣﹣3+
＝0；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
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