资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
3．在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加100米预赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若小明首先抽签，则小明抽到1号跑道的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三者都有可能
5．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
6．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为、12cm、的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件
8．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
9．如图，在等腰中，于点，则的值（ ）
A． B． C． D．
10．如图，这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，则这个花坛的周长（实线部分）为（ ）
A．4π米 B．π米 C．3π米 D．2π米
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图示，半圆的直径，，是半圆上的三等分点，点是的中点，则阴影部分面积等于______.
12．四边形为的内接四边形，为的直径，为延长线上一点，为的切线，若，则_________.若，则__________．
13．反比例函数的图象在第 象限．
14．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为___．
15．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．
16．关于的一元二次方程的一个根，则另一个根______.
17．如果两个相似三角形的对应角平分线之比为2：5，较小三角形面积为8平方米，那么较大三角形的面积为_____________平方米．
18．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程：
（1）x2－8x＋6＝0
（2）(x -1)2 -3(x -1) =0
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M是AB边的中点.
(1)如图1，若CM=，求△ACB的周长；
(2)如图2，若N为AC的中点，将线段CN以C为旋转中心顺时针旋转60°，使点N至点D处，连接BD交CM于点F，连接MD，取MD的中点E，连接EF.求证：3EF=2MF.
21．（6分）如图，有一直径是20厘米的圆型纸片，现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC．
（1）求剪出的扇形ABC的周长．
（2）求被剪掉的阴影部分的面积．
22．（8分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用、、表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用、表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成.
（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果；
（2）求小明恰好抽中、两个项目的概率.
23．（8分）化简：．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E.
(1)求证：BC是⊙D的切线；
(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
25．（10分）解方程：x2+2x﹣1=1．
26．（10分）如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠PAE=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，，
∵AB=AE-BE=6，
则解得：
∴
在直角△BEQ中，
故选：A
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
2、C
【解析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案．
【详解】
过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90，
∵∠A=30,AC=，
∴CD=AC=,由勾股定理得：AD=CD=3，
∵tanB==，
∴BD=2，
∴AB=2+3=5，
故选C.
本题考查解直角三角形.
3、B
【详解】解：小明选择跑道有4种结果，抽到跑道1只有一种结果，小明抽到1号跑道的概率是
故选B．
本题考查概率．
4、A
【解析】试题分析：本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A和圆的位置关系是解题关键．设直线经过的点为A，若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择．
设直线经过的点为A，
∵点A的坐标为（sin45°，cos30°），
∴OA==，
∵圆的半径为2，
∴OA＜2，
∴点A在圆内，
∴直线和圆一定相交.
故选A．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.坐标与图形性质；3.特殊角的三角函数值．
5、D
【分析】根据因式分解法，可得答案．
【详解】解：
解得：，，
故选：．
本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．注意此题中方程两边不能同时除以，因为可能为1．
6、B
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中球的总数为：2+3=5，有2个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为：．
故选B．
7、D
【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.
【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；
C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；
D. “用长分别为、12cm、的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，
故选：D.
此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.
8、B
【解析】先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可．
【详解】∵两根铝材的长分别为27cm、45cm，若45cm为一边时，
则另两边的和为27cm，27<45，不能构成三角形，
∴必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，
设另外两边长分别为x、y，则
(1)若27cm与24cm相对应时，
，
解得：x=33.75cm，y=40.5cm，
x+y=33.75+40.5=74.25cm>45cm，故不成立；
(2)若27cm与36cm相对应时，
，
解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm<45cm，成立；
(3)若27cm与30cm相对应时，
，
解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm>45cm，故不成立；
故只有一种截法.
故选B.
9、D
【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：D
本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10、A
【分析】根据弧长公式解答即可．
【详解】解：如图所示：
∵这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，
∴OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1，
∴∠AOC＝120°，∠AOB＝60°，
∴这个花坛的周长＝，
故选：A．
本题考查了圆的弧长公式，找到弧所对圆心角度数是解题的关键
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可．
【详解】连接OC、OD、CD，如图所示：
∵△COD和△CDE等底等高，
∴S△COD=S△ECD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD=180°÷3=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形COD=．
故答案为．
此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键．
12、
【分析】连接OC，AC、过点A作AF⊥CE于点F，根据相似三角形的性质与判定，以及勾股定理即可求出答案．
【详解】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=20°，
∴∠COD=70°，
∵OC=OD，
∴∠ABC=180°-55°=125°，
连接AC，过点A做AF⊥CE交CE于点F，
设OC=OD=r，
∴OE=8+r，
在Rt△OEC中，
由勾股定理可知：（8+r）2=r2+122，
∴r=5，
∵OC∥AF
∴△OCE∽△AEF，
故答案为：
本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
13、二、四
【解析】：∵k=-1＜0，∴反比例函数y="-1/x" 中，图象在第二、四象限
14、1．
【分析】根据概率公式得到 ，然后利用比例性质求出n即可．
【详解】根据题意得，
解得n＝1，
经检验：n＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15、80°或120°
【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．
【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，
∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，
②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，
∴∠CDB″=60°，
旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．
故答案为80°或120°．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．
16、1
【分析】设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系可得出4+x2=4，解之即可得出结论．
【详解】设方程的另一个根为x2，根据题意得：4+x2=4，
∴x2=1．
故答案为：1．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
17、1
【分析】设较大三角形的面积为x平方米．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出方程，然后求解即可．
【详解】设较大三角形的面积为x平方米．
∵两个相似三角形的对应角平分线之比为2：5，
∴两个相似三角形的相似比是2：5，
∴两个相似三角形的面积比是4：25，
∴8：x=4：25，
解得：x=1．
故答案为：1．
本题考查了相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
18、
【分析】根据根的判别式即可求出答案；
【详解】解：由题意可知：
解得：
故答案为：
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式并应用．
三、解答题(共66分)
19、（1）x1=，x2=-（2） x1=1，x2=1．
【分析】（1）根据配方法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】（1）x2－8x＋6＝0
x2－8x＋16＝10
（x-1）2＝10
x-1=±
∴x1=，x2=-
（2）(x -1)2 - 3(x -1) =0
(x -1)(x -1-3)=0
(x -1)(x-1)=0
∴x-1=0或x-1=0
解得x1=1,x2=1．
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．
20、 (1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的长度，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得BC的长度，最后根据勾股定理可得AC的长度，计算出周长即可；
（2）如图所示添加辅助线，由（1）可得ΔBCM是等边三角形，可证ΔBCP≌ΔCMN，进而证明ΔBPF≌ΔDCF，根据E是MD中点，得出，根据BPMC，得出，进而得出3EF=2MF即可．
【详解】解：(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，
∴
∴AB=2MC=，
又∵∠A=30°，
∴
由勾股定理可得，
∴△ABC的周长为++6=
(2)过点B作BPMC于P
∵∠ACB=90°，∠A=30° ，
∴
∵M为AB的中点 ，
∴
∴
∵∠ABC=60°
∴ΔBCM是等边三角形
∴∠CBP=∠MCN=30°,BC=CM
∴在ΔBCP与ΔCMN中
∴ΔBCP≌ΔCMN(AAS)
∴BP=CN ∵ CN=CD ∴BP=CD
∵∠BPF=∠DCF=90°
∠BFP=∠DFC
∴ΔBPF≌ΔDCF
∴PF=FC BF=DF
∵E是MD中点，
∴
∵BPMC，
∴
∴，
∴
∴
本题考查含30°直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，解题的关键是能够综合运用上述几何知识进行推理论证．
21、（1）（10+5）cm；（1）50πcm1．
【分析】（1）连接BC，首先证明BC是直径，求出AB，AC，利用弧长公式求出弧BC的长即可解决问题．
（1）根据S阴＝S圆O﹣S扇形ABC计算即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，连接BC
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC＝10cm，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝10，
∴的长＝＝5π，
∴扇形ABC的周长＝（10+5）cm．
（1）S阴＝S圆O﹣S扇形ABC＝π•101﹣＝50πcm1．
本题考查了弧长计算和不规则图形的面积计算，熟练掌握弧长公式与扇形面积公式是解题的关键．
22、（1）见解析；（2） .
【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果；
（2）从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1）画树状图如下：
（2）由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为：．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、
【分析】根据完全平方公式和平方差公式,先算整式乘法,再算加减.
【详解】解：原式=
=
=
考核知识点：整式乘法.熟记乘法公式是关键.
24、 (1)证明详见解析；(2)．
【解析】试题分析：（1）过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到AD=DF．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到AB=FB．根据和勾股定理列方程即可得到结论．
试题解析：（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=DF．
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线；
（2）解：∵∠BAC=90°．
∴AB与⊙D相切，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB=FB．
∵AB=5，BC=13，
∴CF=8，AC=1．
在Rt△DFC中，
设DF=DE=r，则，
解得：r=．
∴CE=．
考点：切线的判定；圆周角定理．
25、．
【分析】根据公式法解一元二次方程，即可得出结论.
【详解】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
即，
故答案为.
本题考查了公式法解一元二次方程是常数且.解题的关键是根据系数的特点选用适合的解题方法，选用公式法解题时，判别式，
(1)当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
(2)当时，一元二次方程有两个相等的实数根；
(3)当时，一元二次方程没有实数根.
26、 (1) ；(2) 存在，或；；(3) 当时，的最大值为：．
【解析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；
(2)分三种情况，分别求解即可；
(3)由即可求解．
【详解】解：(1)由二次函数交点式表达式得：，
即：，解得：，
则抛物线的表达式为；
(2)存在，理由：
点的坐标分别为，
则，
将点的坐标代入一次函数表达式：并解得：…①，
同理可得直线AC的表达式为：，
设直线的中点为，过点与垂直直线的表达式中的值为，
同理可得过点与直线垂直直线的表达式为：…②，
①当时，如图1，
则，
设：，则，
由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)，
故点；
②当时，如图1，
，则，
则，
故点；
③当时，
联立①②并解得：(舍去)；
故点Q的坐标为：或；
(3)设点，则点，
∵，
∴，
，
∵，
∴有最大值，
当时，的最大值为：．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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