资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A． B． C． D．
3．函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣2，4） C．（2，4） D．（2，﹣4）
4．如下图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，），则下列点在该图象上的是（ ）
A．（﹣5，2） B．（3，﹣6） C．（2，9） D．（9，2）
6．如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）
A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2
8．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连结与相交于点H．给出下列结论，
①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④，
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，交于点，切于点，点在上. 若，则为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一个不透明的袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是___________．
14．若、为关于x的方程（m≠0）的两个实数根，则的值为________．
15．如图，河的两岸、互相平行，点、、是河岸上的三点，点是河岸上一个建筑物，在处测得，在处测得，若米，则河两岸之间的距离约为______米（，结果精确到0.1米）（必要可用参考数据：）
16．如图，点在双曲线上，且轴于，若的面积为，则的值为__________．
17．钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了______度．
18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
20．（8分）如图，在一块长8、宽6的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽.
21．（8分）解方程：x2－2x－3＝0
22．（10分）如图所示的直面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）将绕原点逆时针旋转画出旋转后的；
（2）求出点到点所走过的路径的长．
23．（10分）（1）计算：|﹣1|+2sin45°﹣+tan260°；
（2）已知：，求．
24．（10分）不透明的袋子中装有1个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、1．
(1)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率；
(2)随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和为奇数”的概率．
25．（12分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝x m．
（1）若矩形花园ABCD的面积为165m2，求 x的值；
（2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD面积S的最大值．
26．已知：为的直径，,为上一动点（不与、重合）.
（1）如图1，若平分，连接交于点.①求证：；②若，求的长；
（2）如图2，若绕点顺时针旋转得，连接.求证：为的切线.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】A、C、D都是中心对称图形；不是中心对称图形的只有B．
故选B．
本题属于基础应用题，只需学生熟知中心对称图形的定义，即可完成．
2、D
【解析】试题分析：∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.
∵BC=3，，∴.
故选D.
考点：1.直角三角形两锐角的关系；2.锐角三角函数定义.
3、C
【详解】函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（2，4）
故选C.
4、C
【解析】两对对应点的连线的交点即为位似中心，连接OD、AC，交点为（2，2，）即位似中心为（2，2，）；k=OA：CD=6：3=2，故选C．
5、B
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，）求出k的值，进而根据在反比例函数图像上的点的横纵坐标的积应该等于其比例系数对各选项进行代入判断即可.
【详解】∵若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，），
∴k＝﹣4×＝﹣18，
A：，故不在函数图像上；B：，故在函数图像上；
C：，故不在函数图像上；D：，故不在函数图像上.
故选：B．
本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，求出k的值是解题关键.
6、B
【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．
【详解】解： A、∵∠ACP＝∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠APC＝∠ACB，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选：B．
本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
7、D
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【详解】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴．
故选D．
8、A
【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；
③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；
④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案．
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，
∴∠CPD=75°，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∴∠DHP=∠BHC=18075°，
∴PD=DH，
∴△DPH是等腰三角形，故②正确；
设PF=x，PC=y，则DC=AB=PC=y，
∵∠FCD=30°，
∴即，
整理得：
解得：，
则，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°，
∴，
，
S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD
，
∴，故④正确；
故正确的有4个，
故选：A．
本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE及PC的长是解题关键．
9、B
【解析】试题解析：∵2x=5y，
∴．
故选B．
10、B
【解析】试题解析：列表如下：
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．
11、B
【分析】根据切线的性质得到∠ODA=90，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA=90，
∵∠A=40，
∴∠DOA=90-40=50，
由圆周角定理得，∠BCD=∠DOA=25°，
故选：B．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
12、D
【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
【详解】解：∵与都是所对的圆周角，
∴．
故选D．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到红球的只有4种情况，
∴两次都摸到红球的概率是：．
故答案为．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．正确的列出树状图是解决问题的关键．
14、-2
【分析】根据根与系数的关系，，代入化简后的式子计算即可.
【详解】∵，，
∴，
故答案为：
本题主要考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，熟记：两根之和是，两根之积是，是解题的关键．
15、54.6
【分析】过P点作PD垂直直线b于点D，构造出两个直角三角形，设河两岸之间的距离约为x米，根据所设分别求出BD和AD的值，再利用AD=AB+BD得出含x的方程，解方程即可得出答案.
【详解】过P点作PD垂直直线b于点D
设河两岸之间的距离约为x米，即PD=x，则，
可得：
解得：x=54.6
故答案为54.6
本题考查的是锐角三角函数的应用，解题关键是做PD垂直直线b于点D，构造出直角三角形.
16、
【分析】设点A坐标为（x，y），由反比例函数的几何意义得，根据的面积为，即可求出k的值.
【详解】解：设点A的坐标为：（x，y），
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数经过第二、四象限，则，
∴
故答案为：.
本题考查了反比例函数的性质，以及反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几何意义进行解题.
17、90
【解析】分针走一圈（360°）要1小时，则每分钟走360°÷60=6°，
则15分钟旋转15×6°=90°.
故答案为90.
18、﹣1
【详解】∵OD=2AD，
∴，
∵∠ABO=90°，DC⊥OB，
∴AB∥DC，
∴△DCO∽△ABO，
∴，
∴，
∵S四边形ABCD=10，
∴S△ODC=8，
∴OC×CD=8，
OC×CD=1，
∴k=﹣1，
故答案为﹣1．
三、解答题（共78分）
19、（1）y＝﹣2x2+30x；6≤x＜11；（2）当x＝7.1时，y的最大值是112.1．
【分析】（1）利用矩形的面积公式，列出面积y关于x的函数解析式，即可求解；
（2）根据自变量的取值范围和函数的对称性确定函数的最大值即可．
【详解】解：（1）由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；
∵墙的长度为18，
∴0＜30﹣2x≤18，
解得，6≤x＜11，
即x的取值范围是6≤x＜11；
（2）由（1）知，y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，
而6≤x＜11，
∴当x＝7.1时，y取得最大值，此时y＝112.1，
即当x＝7.1时，y的最大值是112.1．
本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
20、花圃四周绿地的宽为1 m
【分析】设花圃四周绿地的宽为x米，根据矩形花圃的面积=矩形绿地面积的一半列方程求解即可．
【详解】解：设花圃四周绿地的宽为x m，
由题意，得：（6-2x )(8-2x )=6×8，
解方程得：x 1=1,x 2=6(舍），
答：花圃四周绿地的宽为1 m．
本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，根据题意找出题目中的等量关系式是解此题的关键．
21、,
【解析】试题分析：用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：
,
或 ,
,.
点睛：解一元二次方程的常用方法：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据旋转角、旋转方向、旋转中心找到各顶点的对应点顺次连结即可；
（2）根据勾股定理先求出OB的长度，然后根据弧长公式列式运算即可．
【详解】解：（1）所作图形如下图所示：
即为所求；
（2）∵，
∴OB=，
∴点到点所走过的路径的长为：
．
本题考查了旋转作图，掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键；注意旋转时点经过的路径为一段弧长．
23、 (1) 2；(2)
【分析】（1）利用绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的性质进行计算，再合并即可；
（2）先根据分式的除法将所求式子进行变形，再将已知式子的值代入即可得出结果．
【详解】解：（1）原式=﹣1+2×﹣2+()2=﹣1+﹣2+3=2；
（2）∵，
∴．
本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算以及比例的性质和分式的除法法则，掌握基本运算法则，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．
24、 (1)； (2)．
【解析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】(1)画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为1，
所以“两次取的球标号相同”的概率==；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和为奇数的结果数为8，
所以“两次取出的球标号和为奇数”的概率==．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
25、（1）x的值为11m或15m；（2）花园面积S的最大值为168平方米．
【分析】（1）直接利用矩形面积公式结合一元二次方程的解法即可求得答案；
（2）首先得到S与x的关系式，进而利用二次函数的增减性即可求得答案.
【详解】（1）∵AB＝xm，则BC＝（26﹣x）m，
∴x（26﹣x）＝165，
解得：x1＝11，x2＝15，
答：x的值为11m或15m；
（2）由题意可得出：
S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
由题意得：14≤x≤19，
∵-1＜0，14≤x≤19，
∴S随着x的增大而减小，
∴x＝14时，S取到最大值为：S＝﹣（14﹣13）2+169＝168，
答：花园面积S的最大值为168平方米．
本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数的增减性求得最值是解题的关键.
26、（1）①见解析，②2；（2）见解析
【分析】（1）①先根据圆周角定理得出，再得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角定理即可求证；②取中点，连接，可得是中位线，根据平行线的性质得，然后根据等腰三角形的性质得出，最后再根据中位线的性质得出；
（2）上截取，连接，由题意先得出，再得出，然后由旋转性质得、，再根据同角的补角相等得出，然后证的，最后得出即可证明.
【详解】解：（1）①证明：为的直径，
.
，
，.
.
平分，
.
，
，
.
；
②解法一：如图，取中点，连接，
为的中点，
，.
.
，，
.
.
；
解法二：如图，作，垂足为，
平分，，
.
.
.
.
.
.
.
在中，.
；
解法三：如图，作，垂足为，
设
平分，，
.
∴
∴，即
∴
解得：
∴
（2）证明（法一）：如图，在上截取，连接.
，
.
.
.
.
由旋转性质得，，.
，
.
.（没写不扣分）
.
.
.
为的切线．
证法二：如图，延长到，使.
由旋转性质得，，.
.
，
.
.（没写不扣分）
，.
，
.
.
.
.
.
.
.
为的切线．
证法三：作交延长线于点.（余下略）
由旋转性质得，，
∴
，
∴.
∵
∴
∴、
∴
∴
∴
∴
∵为的直径，
∴
∴
∴
∴.
∴为的切线．
本题主要考察圆周角定理、角平分线定义、中位线性质、全等三角形的判定及性质等，准确作出辅助线是关键.
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