资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．等腰三角形底边长为10，周长为36，则底角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0； ②﹣1≤a≤； ③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是( )
A．1:2 B．1:4 C．1: D．2:1
4．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，平行于x轴的直线与函数y1＝（a＞1，x＞1），y2＝（b＞1．x＞1）的图象分别相交于A、B两点，且点A在点B的右侧，在X轴上取一点C，使得△ABC的面积为3，则a﹣b的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
6．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（ ）
A．0＜CP≤1 B．0＜CP≤2 C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8
7．已知抛物线y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）
8．把二次函数，用配方法化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A． B． C． D．
10．如图，立体图形的俯视图是( )
A． B． C． D．
11．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．图象位于第一、三象限
C．图象关于直线对称 D．图象经过点（-1，-5）
12．如图，点在反比例函数的图象上，过点的直线与轴，轴分别交于点，，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，且DEBC，BD＝AE，若AB＝12cm，AC＝24cm，则AE＝_____．
14．如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则________．
15．小刚和小亮用图中的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘各一次，若其中的一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚赢，否则小亮赢．若用P1表示小刚赢的概率，用P2 表示小亮赢概率，则两人赢的概率P1________P2（填写>，=或<）
16．一元二次方程x2﹣x﹣=0配方后可化为__________．
17．分解因式____________．
18．经过点（1，﹣4）的反比例函数的解析式是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．
（1）直接写出点B的坐标是 ；
（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）解方程：
(1)
(2)
21．（8分）如图，点E是四边形ABCD的对角线ＢＤ上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
①试说明BE·AD＝CD·AE；
②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）
22．（10分）已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC．
（1）求证：△AED∽△CFE；
（2）当EF//DC时，求证：AE=DE．
23．（10分）如图，是等边三角形，顺时针方向旋转后能与重合.
（1）旋转中心是___________，旋转角度是___________度，
（2）连接，证明：为等边三角形.
24．（10分）已知抛物线的顶点坐标是（1，－4），且经过点（0，－3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
26．如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动.过点作于点(点不与点重合)，作，边交射线于点.设点的运动时间为秒.
(1)用含的代数式表示线段的长.
(2)当点与点重合时，求的值.
(3)设与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，BC=10cm，AB=AC，
可得AC=（36-10）÷2=26÷2=13（cm）．
又AD是底边BC上的高，
∴CD=BD=5cm，
∴cosC=，
即底角的余弦值为，
故选：A．
本题主要考查等腰三角形的性质和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．
2、C
【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出-1≤a≤-，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
【详解】：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴-=1，
∴b=-2a，
∴4a+2b=0，结论①错误；
②∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），
∴a-b+c=3a+c=0，
∴a=-．
又∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤a≤-，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
3、B
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．
【详解】∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积比是1：1．
故选B．
本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单．
4、B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．
故选B．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5、A
【分析】△ABC的面积＝•AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
【详解】设A（ ，m），B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝3，
则a﹣b＝2．
故选A．
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
6、B
【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到AP的长的取值范围．
【详解】如图所示,过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E,则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA,此时0＜PC＜8;
如图所示,过P作∠BPF＝∠A交AB于F,则△BPF∽△BAC,
此时0＜PC＜8;
如图所示,过P作∠CPG＝∠B交AC于G,则△CPG∽△CAB,
此时,△CPG∽△CBA,
当点G与点A重合时,CA1＝CP×CB,即41＝CP×8,
∴CP＝1,
∴此时,0＜CP≤1;
综上所述,CP长的取值范围是0＜CP≤1．
故选B．
本题主要考查了相似三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质.
7、B
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】∵抛物线y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，7），
故选：B．
本题考查二次函数的顶点式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8、B
【分析】先提取二次项系数，再根据完全平方公式整理即可．
【详解】解：；
故选：B．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的三种形式的转化，难点在于（3）判断出二次函数取最大值时的自变量x的值．
9、C
【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
10、C
【解析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】A、是该几何体的主视图；
B、不是该几何体的三视图；
C、是该几何体的俯视图；
D、是该几何体的左视图．
故选C．
考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
11、A
【分析】根据反比例函数的图像及性质逐个分析即可.
【详解】解：选项A：要说成在每一象限内y随x的增大而减小，故选项A错误；
选项B：，故图像经过第一、三象限，所以选项B正确；
选项C：反比例函数关于直线对称，故选项C正确；
选项D：将（-1，-5）代入反比例函数中，等号两边相等，故选项D正确.
故答案为：A.
本题考查了反比例函数的性质；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
12、D
【分析】过点C作CD⊥x轴交于点D，连接OC，则CD∥OB，得AO=OD，CD=2OB，进而得的面积为4，即可得到答案．
【详解】过点C作CD⊥x轴交于点D，连接OC，则CD∥OB，
∵，
∴AO=OD，
∴OB是∆ADC的中位线，
∴CD=2OB，
∵的面积为，
∴的面积为4，
∵点在反比例函数的图象上，
∴k=2×4=8，
故选D．
本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，添加辅助线，求出的面积，是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1cm
【分析】由题意直接根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进行代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵DE//BC，
∴，即，
解得：AE＝1．
故答案为：1cm．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14、1．
【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
∴的面积为，∴，∴.
故答案为1．
本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于基础题型．
15、<
【分析】由于第二个转盘红色所占的圆心角为120°，则蓝色部分为红色部分的两倍，即相当于分成三个相等的扇形（红、蓝、蓝），再列出表，根据概率公式计算出小刚赢的概率和小亮赢的概率，即可得出结论．
【详解】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：
红
蓝
蓝
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
红
（红，红）
（蓝，红）
（蓝，红）
上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可以得到紫色，
所以小刚赢的概率是；则小亮赢的概率是
所以；
故答案为：<
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
16、
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【详解】x2﹣x﹣=0
x2﹣x=
x2﹣x+=+
故填：.
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
17、
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
【详解】
故答案为：．
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
18、﹣
【分析】直接利用反比例函数的性质得出解析式．
【详解】∵反比例函数经过点（1，﹣4），
∴xy＝﹣4，
∴反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
本题考查的是反比例函数的性质，是近几年中考的热点问题，要熟练掌握.
三、解答题（共78分）
19、（1）点B的坐标为（3，1）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）点A1在抛物线上；理由见解析；（4）存在，点P（﹣2，1）．
【分析】（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，通过证明△BDC≌△COA即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，从而得知B坐标；
（2）利用待定系数法，将B坐标代入即可求得；
（3）画出旋转后的图形，过点作x轴的垂线，构造全等三角形，求出的坐标代入抛物线解析式即可进行判断；
（4）由抛物线的解析式先设出P的坐标，再根据中心对称的性质 与线段中点的公式列出方程求解即可．
【详解】（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠CAO，
又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，
在△BDC和△COA中：
∵∠BDC=∠COA，∠BCD＝∠CAO，CB=AC，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），
∴1＝9a﹣3a﹣2，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（3）旋转后如图1所示，过点A1作A1M⊥x轴，
∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，
∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，
∴A1，B，C共线，
在三角形BDC和三角形A1CM中：
∵∠BDC=∠A1MC=90°，∠BCD=∠A1CM，A1C=BC,
∴△BDC≌△A1CM
∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1，
∴OM＝1，
∴点A1（﹣1，﹣1），
把点x＝﹣1代入y＝x2﹣x﹣2，
y＝﹣1，
∴点A1在抛物线上．
（4）设点P（t， t2﹣t﹣2），
点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），
若点P和点C对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点A对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点B对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
解得：t＝﹣2，
t2﹣t﹣2＝1
所以：存在，点P（﹣2，1）．
本题主要考查了抛物线与几何图形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
20、 (1)，；(2)，.
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可.
【详解】解：(1)原方程可化为，
移项得，
分解因式得，
于是得，或，
，；
(2)原方程化简得，
，
∴，
，.
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
21、（1）证明见解析；
（2）猜想=或（理由见解析
【解析】试题分析：
（1）由已知条件易证∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC，从而可得△AEB∽△ADC，由此可得，这样就可得到BE·AD=DC·AE；
（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得= ，结合∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，从而可得：=或（）.
试题解析：
①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE，
∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC，
又∵∠DAE=∠BDC，
∴∠AEB=∠ADC，
∴△BEA∽△CDA，
∴=，
即BE·AD=CD·AE；
②猜想=或（），
由△BEA∽△CDA可知，=，即=，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△BAC∽△EAD，
∴=或（）.
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：两组角对应相等，两个三角形相似.
证明根据相似三角形对应边成比例，即可证明.
试题解析：（1）
又
∵AD//BC，
（2）∵EF//DC，
∴．
∵AD//BC，
∴，∴．
即，
23、（1）B，60；（2）见解析
【分析】（1）根据三角形三个顶点中没有变动的点就是旋转中心来判断，再根据旋转的性质判断出旋转的角度即可；
（2）先根据旋转的性质得出和即可证明.
【详解】解：（1）旋转中心是，
旋转角度是度；
（2）证明：是等边三角形，
，
旋转角是；
，
又，
是等边三角形．
本题主要考察正三角形的判定及性质、图形的旋转性质，熟练掌握性质是关键.
24、y=x2－2 x－3
【分析】由于知道了顶点坐标是（1，－4），所以可设顶点式求解，即设y=a(x－1)2－4，然后把点（0，－3）代入即可求出系数a，从而求出解析式.
【详解】解：设y=a(x－1)2－4，
∵经过点（0，－3），
∴－3= a(0－1)2－4，
解得a=1
∴二次函数表达式为y=x2－2 x－3
25、（1）证明见解析；（2）1.
【分析】（1）由AD∥BC，BD平分∠ABC，可得AD＝AB，结合AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形，进而，可证明四边形ABCD是菱形，
（2）由四边形ABCD是菱形，可得OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝1，根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求解.
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝1，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝1．
本题主要考查菱形的判定定理及性质定理，题目中的“双平等腰”模型是证明四边形是菱形的关键，掌握直角三角形的性质和勾股定理，是求OE长的关键.
26、 (1)；(2)t=1；(3).
【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；
（2）利用AD＋DQ＝AC，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论.
【详解】解：在中，.
，
在中，，
.
在中，，
.
点和点重合，，
；
当时，；
当时，如图2，
，
在中，，
，
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出图形是解本题的关键．
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