资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知点(﹣3，a)，(3，b)，(5，c)均在反比例函数y＝的图象上，则有（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大：④若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2；⑤＜0，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．4的平方根是（ ）
A．2 B．–2 C．±2 D．±
5．平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（3，-2） B．（2，3） C．（-2，3） D．（2，-3）
6．若将抛物线y=x2平移，得到新抛物线，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
7．如图，在中，是的中点，，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
8．关于x的一元二次方程(2x－1)2+n2+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
9．如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．反比例函数y=的图象经过点（2，5），若点（1，n）在此反比例函数的图象上，则n等于（ ）
A．10 B．5 C．2 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．
12．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠OBA＝55°，则∠ACB＝_____．
14．反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_______．
15．对于任何实数，，，，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为________．
16．一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程_________．
17．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是_____km．
18．如图，某试验小组要在长50米，宽39米的矩形试验田中间开辟一横一纵两条等宽的小道，使剩余的面积是1800平方米，求小道的宽.若设小道的宽为米，则所列出的方程是_______（只列方程，不求解）
三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程：
(1)
(2)
20．（6分）中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中．共调查了______名中学生家长；
（2）将图形①、②补充完整；
（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
21．（6分）已知反比例函数为常数，）的图象经过两点．
(1)求该反比例函数的解析式和的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若为直线上的一个动点，当最小时，求点的坐标．
22．（8分）某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数的图象与性质进行了探究，请补充完整以下的探究过程．
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
－1
0
1
0
－3
…
（1）填空：a＝ ．b＝ ．
（2）①根据上述表格数据补全函数图象；
②该函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？
（3）若直线与该函数图象有三个交点，求t的取值范围．
23．（8分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG.
(1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°.
(2)证明：△AFC∽△AGD；
(3)若＝，请求出的值.
24．（8分）计算：
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，AD=3， AF=2， 求AE的长．
26．（10分）天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B测得仰角为60°，已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度.（结果精确到0.1米）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据反比例函数系数k2+1大于0，得出函数的图象位于第一、三象限内，在各个象限内y随x的增大而减小，据此进行解答．
【详解】解：∵反比例函数系数k2+1大于0，
∴函数的图象位于第一、三象限内，在各个象限内y随x的增大而减小，
∵﹣3＜0，0＜3＜5，
∴点（﹣3，a）位于第三象限内，点（3，b），（5，c）位于第一象限内，
∴b＞c＞a．
故选：D．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，解答本题的关键是确定反比例函数的系数大于0，并熟练掌握反比例函数的性质，此题难度一般．
2、B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．
【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，
∴AM＝BM，
∴∠B＝∠BAM，①正确；
②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，
∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；
③∵∠BAC＝90°，AH是高，
∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，
∴∠B＝∠CAH，③正确．
故选：B．
本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．
3、C
【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)，其对称轴为直线x，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)和(2，1)，且，
∴a=b，
由图象知：a＜1，c＞1，b＜1，
∴abc＞1，故结论①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)，
∴9a﹣3b+c=1．
∵a=b，
∴c=﹣6a，
∴3a+c=﹣3a＞1，
故结论②正确；
∵当x时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，
故结论③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)和(2，1)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+3)(x﹣2)．
∵m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)+3=1的两个根，
∴m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)=﹣3的两个根，
∴m，n(m＜n)为函数y=a(x+3)(x﹣2)与直线y=﹣3的两个交点的横坐标，
结合图象得：m＜﹣3且n＞2，
故结论④成立；
∵当x时，y1，
∴1．
故结论⑤正确．
故选：C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠1)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞1时，抛物线向上开口；当a＜1时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab＞1)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜1)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(1，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞1时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=1时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜1时，抛物线与x轴没有交点．
4、C
【分析】根据正数的平方根的求解方法求解即可求得答案．
【详解】∵（±1）1=4，
∴4的平方根是±1．
故选：C．
5、C
【解析】略
6、A
【解析】先确定抛物线y=x1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【详解】解：抛物线y=x1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），
因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），
所以把抛物线y=x1向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）1．
故选：A．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7、D
【解析】根据相似三角形的判定和性质定理和线段中点的定义即可得到结论．
【详解】解：∵∠ADC=∠BAC，∠C=∠C，
∴△BAC∽△ADC，
∴ ，
∵D是BC的中点，BC=6，
∴CD=3，
∴AC2=6×3=18，
∴AC=，
故选：D．
本题考查相似三角形的判定和性质，线段中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8、C
【分析】先对原方程进行变形，然后进行判定即可．
【详解】解：由原方程可以化为：(2x－1)2=-n2-1
∵(2x－1)2≥0, -n2-1≤-1
∴原方程没有实数根．
故答案为C．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键在于对方程的变形，而不是运用根的判别式．
9、A
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理可得到的度数．
【详解】，
，
，
．
故选A．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10、A
【解析】解：因为反比例函数y=的图象经过点（2，5），
所以k=
所以反比例函数的解析式为y=，
将点（1，n）代入可得：n=10.
故选：A
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、16:25
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，
∴这两个三角形的面积比；
故答案为：∶.
本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12、
【分析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
【详解】∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=AB=，BC=AB，
∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣1．
故答案为：10﹣1．
本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
13、35°
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠OAB＝∠OBA＝55°，再根据三角形内角和定理，计算出∠AOB＝70°，然后根据圆周角定理求解．
【详解】∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣55°×2＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°．
故答案为：35°．
本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.
14、
【解析】根据k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，可列出不等式，解之即可得出答案．
【详解】∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限，
∴3k−1<0，
解得：.
故答案为.
本题考查了反比例函数的图象和性质.根据反比例函数的图象所在象限列出不等式是解题的关键.
15、1
【分析】先解变形为，再根据 ，把 转化为普通运算，然后把代入计算即可.
【详解】∵，
∴，
∵ ，
∴
=(x+1)(x-1)-3x(x-2)
= x2-1-3x2+6x
=-2x2+6x-1
=-2(x2-3x)-1
=-2×(-1)-1
=1.
故答案为1.
本题考查了信息迁移，整式的混合运算及添括号法则，
16、
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据“一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元”即可列出方程．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意可得：，
故答案为：．
本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．
17、58
【解析】设A、B两地的实际距离是x厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x的值，再进行换算即可得出答案．
【详解】设A.B两地的实际距离是x厘米，
∵比例尺为1：1000000，A.B两地的图上距离是5.8厘米，
∴1：1000000=5.8：x，解得：x=5800000，
∵5800000厘米=58千米，
∴A、B两地的实际距离是58千米.
故答案为58.
考查图上距离，实际距离，和比例尺之间的关系，注意单位之间的转换.
18、（答案不唯一）
【分析】可设道路的宽为xm，将4块剩余矩形平移为一个长方形，长为（50-x）m，宽为（39-x）m．根据长方形面积公式即可列出方程．
【详解】解：设道路的宽为xm，依题意有
（50-x）（39-x）=1．
故答案为： ．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．解题关键是利用平移把4块试验田平移为一个长方形的长和宽．
三、解答题(共66分)
19、 (1)，；(2)，.
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可.
【详解】解：(1)原方程可化为，
移项得，
分解因式得，
于是得，或，
，；
(2)原方程化简得，
，
∴，
，.
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
20、（1）200；（2）详见解析；（3）48000
【分析】（1）用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；
（3）用家长总数乘以持反对态度的百分比即可．
【详解】解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人；
故答案为：200.
（2）持赞成态度的学生家长有200-50-120=30人，
B所占的百分比为：；
C所占的百分比为：；
故统计图为：
（3）持反对态度的家长有：80000×60%=48000人．
本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关信息．
21、（1）；（2）当时， 的取值范围是；（3）点的坐标为．
【分析】(1)把点A坐标直接代入可求k值，得出函数解析式，再把自变量-6代入解析式可得出n的值
(2)根据k的值可确定函数经过的象限，在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，当x=-1时，y=-3，从而可求出y的取值范围
(3)作点A关于y=x的对称点，连接，线段，由，B的坐标求出直线的解析式，最后根据两直线解析式求出点M的坐标.
【详解】解：（Ⅰ）把代入得，
反比例函数解析式为；
把代入得，解得；
(2)，
图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
把代入得，
当时， 的取值范围是；
(3)作点关于直线的对称点为，则，连接，交直线于点，
此时，，
是的最小值，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
由，解得，
点的坐标为．
本题是一道关于反比例函数的综合题目，考查的知识点有反比例函数的性质，解二元一次方程组，利用点对称求最短距离等，综合性较强.
22、（1）﹣1，1；（2）①见解析；②函数图象是中心对称图形；（3）
【分析】（1）把（1，0），（2，1）代入y=ax2+bx-3构建方程组即可解决问题．
（2）利用描点法画出函数图象，根据中心对称的定义即可解决问题．
（3）求出直线y=x+t与两个二次函数只有一个交点时t的值即可判断．
【详解】解：（1）把（1，0），（2，1）代入y＝ax2+bx﹣3
得，解得，
故答案为：﹣1，1．
（2）①描点连线画出函数图象，如图所示；
②该函数图象是中心对称图形．
（3）由，消去y得到2x2﹣x﹣2﹣2t＝0，
当△＝0时，1+16+16t＝0，，
由消去y得到2x2﹣7x+2t+6＝0，
当△＝0时，19﹣16t﹣18＝0，，
观察图象可知：当时，直线与该函数图象有三个交点．
本题考查中心对称，二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23、 (1)27；(2)证明见解析；(3)＝.
【分析】(1)由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论；
(2)由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得＝，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；
(3)设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论.
【详解】解：(1)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27.
(2)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
(3)∵＝，
设BF＝k，
∴CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴，
∴＝＝.
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．
24、-1
【分析】将， 代入计算即可得到答案.
【详解】
=-4+1+，
=-3+2，
=-1.
此题考查实数的混合计算，熟记特殊角度的三角函数值，掌握正确的计算顺序是解题的关键.
25、（1）答案见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．
试题解析：（）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴．
（）四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
∴．
26、47.3米
【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交AB于点D；设AD=x．本题涉及到两个直角三角形△ADC、△BDC，应利用其公共边CD构造等量关系，解三角形可得AD、BD与x的关系；借助AB=AD-BD构造方程关系式，进而可求出答案．
试题解析：过点C作CD⊥AB，交AB于点D；设CD=x，
在Rt△ADC中，有AD==CD=x，
在Rt△BDC中，有BD=x，
又有AB=AD-BD=20；即x-x=20，
解得：x=10（3+）≈47.3（米）.
答：气球离地面的高度CD为47.3米．
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