资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为( )
A．16:9 B．4：3 C．9：16 D．3：4
2．给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=；④y=x1．x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（ ）
A．1个 B．1个 C．3个 D．4个
3．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
4．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天的最高气温将达35℃
B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
6．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数
100
200
400
1000
“射中9环以上”的次数
78
158
321
801
“射中9环以上”的频率
0.78
0.79
0.8025
0.801
根据表中数据，估计这位射击运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为（ ）
A．0.78 B．0.79 C．0.85 D．0.80
7．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
8．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两队身高一样整齐 B．甲队身高更整齐
C．乙队身高更整齐 D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐
9．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
10．如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法中，不正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
12．如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，下图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 cm（结果保留根号）．
14．反比例函数（）的图象如图所示，点为图象上的一点，过点作轴，轴，若四边形的面积为4，则的值为______.
15．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是___cm．
16．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
17．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为_____．
18．计算：=______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若CF＝5，，求⊙O半径的长．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x1．
（1）求实数k的取值范围；
（1）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．（8分）（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；
（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF的长．
22．（10分）定义：已知点是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点叫做该三角形的等距点．
（1）如图1：中，，，，在斜边上，且点是的等距点，试求的长；
（2）如图2，中，，点在边上，，为中点，且．
①求证：的外接圆圆心是的等距点；②求的值．
23．（10分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果按此速度增涨，该公司六月份的快递件数将达到多少万件？
24．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，求CD的长
25．（12分）若矩形的长为，宽为，面积保持不变，下表给出了与的一些值求矩形面积.
(1)请你根据表格信息写出与之间的函数关系式;
(2)根据函数关系式完成下表
1
8
4
2
26．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方．
【详解】根据题意得：＝．即这两个相似多边形的相似比为4：1．
故选：B．
本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
2、C
【解析】解: 当x<0时，①y=−x，③，④ y随x的增大而减小；
②y=x，y随x的增大而增大.
故选C.
3、D
【解析】以AB为对角线将图形补成长方形，由已知可得缺失的两部分面积相同，即3×6=x×(9-x)，解得x=3或x=6，故选D.
【点睛】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确地区分和识别图形是解题的关键．
4、C
【分析】根据三角函数的定义及相似三角形的判定定理及性质对各选项逐一判断即可得答案．
【详解】∵已知∠ACB的度数和AC的长，
∴利用∠ACB的正切可求出AB的长，故①能求得A，B两树距离，
∵AB//EF，
∴△ADB∽△EDF，
∴，故②能求得A，B两树距离，
设AC＝x，
∴AD＝CD+x，AB＝，AB＝；
∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴可求出x，然后可得出AB，故③能求得A，B两树距离，
已知∠F，∠ADB，FB不能求得A，B两树距离，故④求得A，B两树距离，
综上所述：求得A，B两树距离的有①②③，共3个，
故选：C．
本题考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
5、D
【解析】A、明天最高气温是随机的，故A选项错误；
B、任意买一张动车票，座位刚好挨着窗口是随机的，故B选项错误；
C、掷骰子两面有一次正面朝上是随机的，故C选项错误；
D、对顶角一定相等，所以是真命题，故D选项正确.
【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，
故选：D．
本题的考点是随机事件.解决本题需要正确理解必然事件的概念：必然事件指在一定条件下一定发生的事件.
6、D
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.1附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.1．故选：D．
本题考查利用频率估计概率，在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近．n 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率．
7、D
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【详解】解：A. ,故此选项错误;
B. ,故此选项错误;
C. ,故此选项错误;
D. 是最简二次根式,故此选项正确
故选：D．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．
8、B
【解析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】∵S甲=1.7，S乙=2.4，
∴S甲＜S乙，
∴甲队成员身高更整齐；
故选B.
此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键
9、D
【详解】解： ∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
10、B
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：如图所示，几何体的左视图是：
．
故选：B．
本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
11、A
【分析】根据相似多边形的定义，即可得到答案.
【详解】解：A、所有的菱形都相似，错误；
B、所有的正方形都相似，正确；
C、所有的等边三角形都相似，正确；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，正确；
故选：A.
本题考查了相似多边形的定义，熟练掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例是解题的关键.
12、A
【分析】运用动点函数进行分段分析，当点P在AD上和在BD上时，结合图象得出符合要求的解析式．
【详解】①当点P在AD上时，此时BC是定值，BC边的高是定值，则△PBC的面积y是定值；
②当点P在BD上时，此时BC是定值，BC边的高与运动时间x成正比例的关系，则△PBC的面积y与运动时间x是一次函数，并且△PBC的面积y与运动时间x之间是减函数，y≥1．
所以只有A符合要求．
故选：A．
此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键，有一定难度．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、3（﹣1）
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【详解】根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC=AB=×6=3（﹣1）．
故答案为：3（﹣1）．
14、4
【分析】根据反比例函数的性质得出，再结合图象即可得出答案.
【详解】表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积
反比例函数（）的图象在第一象限
故答案为：4.
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数中，的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积.
15、.
【分析】连接OB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OB，从而求出EC，再根据勾股定理即可求出BC，根据三线合一即可求出BF，最后再利用勾股定理即可求出OF.
【详解】连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴BE＝BD＝6cm，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得：OB＝，
∴AC=2OA=2OB=13cm
则EC＝AC﹣AE＝9cm，
BC＝＝＝3cm，
∵OF⊥BC，OB=OC
∴BF＝BC＝cm，
∴OF＝＝＝cm，
故答案为．
此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.
16、且
【分析】根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可.
【详解】由题意得
x-1≥0且x-2≠0，
解得
且
故答案为：且
本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
17、3
【分析】作出D关于AB的对称点D'，则PC+PD的最小值就是CD'的长度．在△COD'中根据边角关系即可求解．
【详解】作出D关于AB的对称点D'，连接OC，OD'，CD'．
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，
∴∠BAD'∠CAB=15°，
∴∠CAD'=45°，
∴∠COD'=90°．∴△COD'是等腰直角三角形．
∵OC=OD'AB=3，
∴CD'=3．
故答案为：3．
本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解答本题的关键．
18、
【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的变化．
【详解】解：==
故答案为：.
此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是解此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）AO＝.
【分析】（1）连接OD，利用点D是半圆的中点得出∠AOD与∠BOD是直角，之后通过等量代换进一步得出∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°从而证明结论即可；
（2）通过得出＝，再证明△ACF∽△CBF从而得出AF＝10，之后进一步求解即可.
【详解】证明：连接OD，
∵点D是半圆的中点，
∴∠AOD=∠BOD=90°.
∴∠ODC+∠OED=90°.
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD.
又∵CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC.
∵∠FEC=∠OED，
∴∠FCE=∠OED.
∴∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°.
即FC⊥OC.
∴FC是⊙O的切线.
（2）∵tanA＝，
∴在Rt△ABC中，＝.
∵∠ACB＝∠OCF＝90°，
∴∠ACO＝∠BCF＝∠A.
∴△ACF∽△CBF，
∴＝＝＝.
∴AF＝10.
∴CF2＝BF·AF.
∴BF＝.
∴AO＝＝.
本题主要考查了圆的切线证明与综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
20、（1）（1）不存在
【分析】（1）由题意可得△≥0，即[﹣（1k+1）]1﹣4（k1+1k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（1）假设存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x1=1k+1,x1·x1=k1+1k，然后利用完全平方公式可以把x1·x1-x11-x11≥0转化为3x1·x1-（x1+x1）1≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值．
【详解】（1）∵原方程有两个实数根，
∴△≥0
即[﹣（1k+1）]1﹣4（k1+1k）≥0，
∴4k1+4k+1﹣4k1﹣8k≥0 ，
∴1﹣4k≥0，
∴k≤，
∴当k≤时，原方程有两个实数根；
（1）假设存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立，
∵x1，x1是原方程的两根，
∴x1+x1=1k+1,x1·x1=k1+1k，
由x1·x1-x11-x11≥0，
得3x1·x1-（x1+x1）1≥0
∴3（k1+1k）﹣（1k+1）1≥0，
整理得：﹣（k﹣1）1≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立；
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立.
21、（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由详见解析；（3）.
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF≌△CAG，得到CG＝BF＝13，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可.
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵ ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴，
故答案为BD＝CE，BD⊥CE；
（2）2AD2＝BD2+CD2，理由是：如图2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∵△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴DE2＝CE2+CD2，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴，
∴2AD2＝BD2+CD2；
（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，
则△FAG是等腰直角三角形，
∴∠AFG＝45°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠GFC＝90°，
同理得：△BAF≌△CAG，
∴CG＝BF＝13，
Rt△CGF中，∵CF＝5，
∴FG＝12，
∵△FAG是等腰直角三角形，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键.
22、（1）或 ； （2）①证明见解析, ②．
【分析】（1）根据三角形的等距点的定义得出OB=OE或OA=OF，利用相似三角形，表达出对应边，列出方程求解即可；
（2）①由△CPD为直角三角形，作出外接圆，通过平行线分线段成比例得出DP∥OB，进而证明△CBO≌△PBO，最后推出OP为点O到AB的距离，从而证明点O是△ABC的等距点；
（2）求相当于求，由①可得△APO为直角三角，通过勾股定理计算出BC的长度，从而求出．
【详解】解：（1）如图所示，作OF⊥BC于点F，作OE⊥AC于点E，
则△OBF∽△ABC，
∴
∵，，由勾股定理可得AB=5，
设OB=x，则
∴，
∵点是的等距点，
若OB=OE，
∴
解得：
若OA=OF，OA=5-x
∴，解得
故OB的值为或
（2） ①证明：∵△CDP是直角三角形，所以取CD中点O，作出△CDP的外接圆，连接OP，OB
设圆O的半径为r，则DC=2r，
∵D是AC中点，
∴OA=3r
∴，
又∵PA=2PB，
∴AB=3PB
∴
∴
∴∠ODP=∠COB，∠OPD=∠POB
又∵∠ODP=∠OPD，
∴∠COB=∠POB，
在△CBO与△PBO中， ，
∴△CBO≌△PBO（SAS）
∴∠OCB=∠OPB=90°，
∴OP⊥AB，
即OP为点O到AB的距离，
又∵OP=OC，
∴△CPD的外接圆圆心O是△ABC的等距点
②由①可知，△OPA为直角三角形，且∠PDC=∠BOC，OC=OP=r
∵在Rt△OPA中，OA=3r,
∴，
∴
∴在Rt△ABC中，AC=4r，，
∴，
∴
本题考查了几何中的新定义问题，涉及了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质及三角函数的内容，范围较大，综合性较强，解题的关键是明确题中的新定义，并灵活根据几何知识作出解答．
23、（1）10%；（2）13.31
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）根据增长率相同，由五月份的总件数即可得出六月份的总量．
【详解】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，
依题意得，
解方程得，（不合题意，舍弃）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．
（2）六月份快递件数为（万件）．
答：该公司六月份的快递件数将达到13.31万件．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题．
24、CD=1
【分析】利用相似三角形的判定和性质，先求出△ADC∽△CDB，再根据对应边成比例，即可求出CD的值．
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠ACD +∠A=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD +∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD ，
∴△ADC ∽△CDB，
∴，
∴= AD •BD=82=16，
∴ CD=1．
此题运用了相似三角形的判定和性质，两个角对应相等，则两三角形相似．
25、（1）；（2）6，，2，
【分析】（1）矩形的宽=矩形面积÷矩形的长，设出关系式，由于（1，4）满足，故可求得k的值；
（2）根据（1）中所求的式子作答．
【详解】解(1)设，由于在此函数解析式上，那么.
∴
（2）
1
2
8
6
4
2
本题考查了列函数关系式表式实际问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．在此函数上的点一定适合这个函数解析式．
26、（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．
【解析】试题分析：（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，再求得点M的坐标．
试题解析：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2
∴M（-1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.轴对称-最短路线问题．
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