资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是；
④四边形ACEB的面积是1．
则以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④
2．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边落在对角线 BD上，点A落在点A' 处，折痕为DG，求AG的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
3．如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上
5．下列抛物线中，与抛物线y=-3x2+1的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(-1，2)的是（ ）
A．y=-3(x+1)2+2 B．y=-3(x-2)2+2 C．y=-(3x+1)2+2 D．y=-(3x-1)2+2
6． “2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不确定事件
7．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
8．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝2 B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣2）（x﹣3）＝0 D．2x2+y＝1
9．已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，若的面积为，则的值为（ ）
A．5 B． C．10 D．15
11．将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为( )
A． B．
C． D．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则∠CDM等于
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，四边形的项点都在坐标轴上，若与面积分别为和，若双曲线恰好经过的中点，则的值为__________．
14．因式分解：ax3y﹣axy3＝_____．
15．如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点分别是直线与抛物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为__________.
16．如图，在矩形中，点为的中点，交于点，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④若，则.
其中正确的结论是______________.(填写所有正确结论的序号)
17．方程的解是______________．
18．若关于的方程不存在实数根，则的取值范围是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长)．直线MN垂直于地面，垂足为点P，在地面A处测得点M的仰角为60°，点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为30°，AB＝5米．且A、B、P三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．(结果保留根号)
20．（8分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3，4，5，x，甲，乙两人每次同时从袋中各随机取出1个小球，并计算2个小球上的数字之和．记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：
摸球总
次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为8”出
现的频数
2
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为8”出
现的频率
0.20
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表提供的数据，出现和为8的频率将稳定在它的概率附近，估计出现和为8的概率是________；
(2)如果摸出的2个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以为7吗？为什么？
21．（8分）某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“”，错误的写“”，小明在做判断题时，每道题都在“”或“”中随机写了一个.
（1）小明做对第1题的概率是 ；
（2）求小明这3道题全做对的概率.
22．（10分）在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B、C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图 1；
（2）①连接 DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；
②若点 P，Q，C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 的数量关系为： ．
23．（10分）计算：．
24．（10分）（2016湖南省永州市）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
25．（12分）如图，已知和中，，，，，；
（1）请说明的理由；
（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；
（3）求的度数．
26．如图，C是直径AB延长线上的一点，CD为⊙O的切线，若∠C＝20°，求∠A的度数．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】①证明AC∥DE，再由条件CE∥AD，可证明四边形ACED是平行四边形；
②根据线段的垂直平分线证明AE=EB，可得△BCE是等腰三角形；
③首先利用含30°角的直角三角形计算出AD=4，CD=2 ，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2 ；
④利用△ACB和△CBE的面积之和，可得四边形ACEB的面积．
【详解】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=
∴CB=
∴AB=
∴四边形ACEB的周长是10+，故③错误；
④四边形ACEB的面积： ，故④错误，
故选：A．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．
2、A
【分析】由在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，由折叠的性质，即可求得A′B的长，然后设AG=x，由勾股定理即可得：，解此方程即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴
由折叠的性质,可得：A′D=AD=3,A′G=AG,
∴A′B=BD−A′D=5−3=2，
设AG=x，
则A′G=x，BG=AB−AG=4−x，
在Rt△A′BG中,由勾股定理得：
∴
解得：
∴
故选：A．
考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3、D
【分析】根据中心对称图形的概念和识别．
【详解】根据中心对称图形的概念和识别，可知D是中心对称图形，A、C是轴对称图形，D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
故选D．
本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，会判断一个图形是否是中心对称图形．
4、D
【解析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．
【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，
故选：D．
本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．
5、A
【解析】由条件可设出抛物线的顶点式，再由已知可确定出其二次项系数，则可求得抛物线解析式．
【详解】∵抛物线顶点坐标为（﹣1，1），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+1）1+1．
∵与抛物线y＝﹣3x1+1的形状、开口方向完全相同，∴a＝﹣3，∴所求抛物线解析式为y＝﹣3（x+1）1+1．
故选A．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x－h）1+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
6、D
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
7、B
【分析】等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选B．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
8、C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程.
【详解】解：A、x+＝2不是整式方程，不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0不一定是一元二次方程，不符合题意；
C、方程整理得：x2﹣5x+6＝0是一元二次方程，符合题意；
D、2x2+y＝1不是一元二次方程，不符合题意.
故选：C．
9、A
【解析】根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=5，
∴cosB==．
故选A．
本题主要考查了余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，解决本题的关键是要熟练掌握余弦的定义.
10、C
【分析】首先设点C坐标为，根据反比例函数的性质得出，然后利用圆的切线性质和三角形OAB面积构建等式，即可得解.
【详解】设点C坐标为，则
∵与轴相切于点，
∴CB⊥OB
∵的面积为
∴，即
∵为的直径
∴BC=2AB
∴
故选：C.
此题主要考查圆的切线性质以及反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.
11、A
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移3个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（−3，1）；
可设新抛物线的解析式为y＝−4（x−h）2＋k，代入得：y＝−4（x＋3）2＋1．
故选：A．
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
12、A
【分析】根据正方形的特点可知∠CDM=∠DEA,利用勾股定理求出DE，根据余弦的定义即可求解.
【详解】∵CD∥AB，∴∠CDM=∠DEA,
∵E是AB中点，
∴AE=AB=1
∴DE=
∴∠CDM=∠DEA==
故选A.
此题主要考查余弦的求解，解题的关键是熟知余弦的定义.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、6
【分析】根据AB//CD，得出△AOB与△OCD相似，利用△AOB与△OCD的面积分别为8和18，得：AO：OC=BO：OD=2：3，然后再利用同高三角形求得S△COB=12，设B、 C的坐标分别为（a，0）、（0，b），E点坐标为（a，b）进行解答即可.
【详解】解：∵AB//CD，
∴△AOB∽△OCD，
又∵△ABD与△ACD的面积分别为8和18，
∴△ABD与△ACD的面积比为4：9，
∴AO：OC=BO：OD=2：3
∵S△AOB=8
∴S△COB=12
设B、 C的坐标分别为（a，0）、（0，b），E点坐标为（a，b）
则OB=| a | 、OC=| b |
∴|a|×|b|=12即|a|×|b|=24
∴|a|×|b|=6
又∵，点E在第三象限
∴k=xy=a×b=6
故答案为6.
本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知求出S△COB=12是解答本题的关键.
14、axy（x+y）（x﹣y）
【分析】提取公因式axy后剩余的项满足平方差公式，再运用平方差公式即可；
【详解】解：ax3y﹣axy3＝axy= axy（x+y）（x﹣y）；
故答案为：axy（x+y）（x﹣y）
本题主要考查了提公因式法与公式法的运用，掌握提公因式法，平方差公式是解题的关键.
15、或或
【分析】根据二次函数与x轴的负半轴交于点，与轴交于点.直接令x=0和y=0求出A，B的坐标.再根据平行四边形的性质分情况求出点E的坐标.
【详解】由抛物线的表达式求得点的坐标分别为.
由题意知当为平行四边形的边时，，且，
∴线段可由线段平移得到.
∵点在直线上，①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移1个单位长度，
此时点的对应点的横坐标为，将代入，
得，∴.
②当点A的对应点为时，同理，先将向右平移2个单位长度，可得点的对应点的横坐标为2，
将代入得，∴
当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为，
∵在直线上，
∴根据对称性可知的横坐标为，将代入
得，∴.
综上所述，点的坐标为或或.
本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是分情况解决问题的思想．
16、①③④
【分析】根据矩形的性质和余角的性质可判断①；延长CB，FE交于点G，根据ASA可证明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，进一步即可求得AF、BC与CF的关系，S△CEF与S△EAF+S△CBE的关系，进而可判断②与③；由，结合已知和锐角三角函数的知识可得，进一步即可根据AAS证明结论④；问题即得解决．
【详解】解：∵，，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴，
，所以①正确；
延长CB，FE交于点G，如图，
在△AEF和△BEG中，∵∠FAE=∠GBE=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG，
∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF=BG，EF=EG，∴S△CEG=S△CEF，
∵CE⊥EG，∴CG=CF，∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，所以②错误；
∴S△CEF=S△CEG=S△BEG+S△CBE=S△EAF+S△CBE，所以③正确；
若，则，，，
在和中，∵∠CEF=∠D=90°，，CF=CF，≌，所以④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
本题考查了矩形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数等知识，综合性较强，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
17、,
【分析】根据题意先移项，再提取公因式，求出x的值即可．
【详解】解：移项得，x（x-3）-x=0，
提取公因式得，x（x-3-1）=0，即x（x-4）=0，
解得,．
故答案为：,．
本题考查的是解一元二次方程-因式分解法，熟练利用因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．
18、
【分析】根据，即可求出的取值范围.
【详解】解：∵关于的方程不存在实数根，
∴，
解得：；
故答案为：.
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练利用根的判别式求参数.
三、解答题（共78分）
19、米
【分析】设AP=NP=x，在Rt△APM中可以求出MP=x，在Rt△BPM中，∠MBP=30°，求得x，利用MN＝MP－NP即可求得答案．
【详解】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
设PA＝PN＝x，
∵∠MAP＝60°，
∴MP＝AP·tan∠MAP＝x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，
∵∠MBP＝30°，AB＝5，
∴=，
∴x＝，
∴MN＝MP－NP＝x－x＝．
答：广告牌的宽MN的长为米．
本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，将实际问题抽象为数学问题，选用适当的锐角三角函数解直角三角形是解题的关键，属于中考的必考点．
20、（1）出现“和为8”的概率是0.33；（2）x的值不能为7.
【分析】（1）利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可；
（2）假设x=7，根据题意先列出树状图，得出和为9的概率，再与进行比较，即可得出答案.
【详解】解：(1)随着试验次数不断增加，出现“和为8”的频率逐渐稳定在0.33，
故出现“和为8”的概率是0.33.
(2)x的值不能为7.理由：假设x＝7，
则P(和为9)＝≠，所以x的值不能为7.
此题主要考查了利用频率估计概率以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键.
21、（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式求概率即可；
（2）写出小明做这3道题，所有可能出现的等可能的结果，然后根据概率公式求概率即可．
【详解】解：（1）∵第一题可以写A或B，共2种结果，其中作对的可能只有1种，
∴小明做对第1题的概率是1÷2=
故答案为；
（2）小明做这3道题，所有可能出现的结果有：，，，，，，，，共有8种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“这3道题全做对”（记为事件）的结果只有 1种，
∴小明这3道题全做对的概率为1÷8=．
此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
22、（1）详见解析；（1）①详见解析；②BP=AB．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（1）①连接BD，如图1，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；
②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；
【详解】（1）解：补全图形如图 1：
（1）①证明：连接 BD，如图 1，
∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，
∴AQ=AP，∠QAP=90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠1=∠1．
∴△ADQ≌△ABP，
∴DQ=BP，∠Q=∠3，
∵在 Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，
∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，
∵在 Rt△BPD 中，DP1+BP1=BD1， 又∵DQ=BP，BD1=1AB1，
∴DP1+DQ1=1AB1．
②解：结论：BP=AB．
理由：如图 3 中，连接 AC，延长 CD 到 N，使得 DN=CD，连接 AN，QN．
∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，
∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，
∵∠AQP=45°，
∴∠NQC=90°，
∵CD=DN，
∴DQ=CD=DN=AB，
∴PB=AB．
本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴
23、1-．
【解析】分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】原式=4×-3×+2××=1-．
本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
24、（1）10%；（2）1．
【解析】试题分析：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）2”，列出方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可的出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
试题解析：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100-m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.2．
∴m≥1．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品1件．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
25、（1）见解析 （2）绕点顺时针旋转，可以得到 （3）
【解析】（1）先利用已知条件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；
（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．
【详解】∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；
由知，，
∴．
本题利用了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等．
26、35°
【分析】连接OD，根据切线的性质得∠ODC=90°，根据圆周角定理即可求得答案.
【详解】连接OD，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC=90°﹣∠C=70°，
由圆周角定理得，∠A=∠DOC=35°．
本题考查了切线的性质和圆周角定理，有圆的切线时，常作过切点的半径．
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