资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．小丽参加学校“庆元旦，迎新年演唱比赛，赛后小丽把七位评委所合的分数进行处理，得到平均数、中位数，众数，方差，如果把这七个数据去掉一个最高分和一个最低分，则数据一定不发发生变化的是 （ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
4．下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的依次为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（ ）
A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）
8．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是（ ）
A．当1<a<5时，点B在⊙A内 B．当a<5时，点B在⊙A内
C．当a<1时，点B在⊙A外 D．当a>5时，点B在⊙A外
9．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（ ）
①∠2＝90°；②∠1＝∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE＝∠1．
A．1 个 B．2 个 C．1 个 D．4 个
10．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为，则得方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径为_____cm．
12．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是_____．
13．在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些求除颜色外其余完全相同，摇匀后 随机摸出一个，摸出红球的概率是，则的值为__________．
14．在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．
15．如图三角形ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC等于60度，，CF=EF，则三角形ABC的面积为________(用含的代数式表示).
16．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= ．
17．四边形ABCD是☉O的内接四边形，，则的度数为____________.
18．正五边形的中心角的度数是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知中，以为直径的⊙交于，交于，,求的度数.
20．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加15°，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：，）
21．（6分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择 A通道通过的概率是 ；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
22．（8分）如图，在矩形 ABCD 中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P 为 BD 上一个动点，以 P 为圆心，PB 长半径作⊙P，⊙P 交 CE、BD、BC 交于 F、G、H（任意两点不重合），
（1）半径 BP 的长度范围为 ；
（2）连接 BF 并延长交 CD 于 K，若 tan ÐKFC = 3 ，求 BP；
（3）连接 GH，将劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 于点 M，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由.
23．（8分）（1）如图①，点，，在上，点在外，比较与的大小，并说明理由；
（2）如图②，点，，在上，点在内，比较与的大小，并说明理由；
（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：
在平面直角坐标系中，如图③，已知点，，点在轴上，试求当度数最大时点的坐标.
24．（8分）现有红色和蓝色两个布袋，红色布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，蓝色布袋中有也三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字2，3，4小明先从红布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从蓝布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）用列表法或树状图表示出两次取得的小球上所标数字的所有可能结果；
（2）若把m、n分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率．
25．（10分）如图，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上方抛物线上一点，连接OP．
①若OP与线段BC交于点D，则当D为OP中点时，求出点P坐标．
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）平面直角坐标系中，函数（x>0），y=x-1，y=x-4的图象如图所示，p（a , b）是直线上一动点，且在第一象限.过P作PM∥x轴交直线于M，过P作PN∥y轴交曲线于N.
（1）当PM=PN时，求P点坐标
（2）当PM > PN时，直接写出a的取值范围.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的长为．故选A．
本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
2、A
【解析】试题分析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
3、D
【分析】根据中位数的定义即位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数进行分析即可．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：D．
本题考查统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度较小．
4、A
【解析】A既是轴对称图形，又是中心对称图形;
B是轴对称图形，不是中心对称图形;
C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
【详解】
请在此输入详解！
5、A
【解析】根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=5，
∴cosB==．
故选A．
本题主要考查了余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，解决本题的关键是要熟练掌握余弦的定义.
6、B
【分析】先整理成一般式，然后根据定义找出即可.
【详解】方程化为一般形式为：，
．
故选：．
题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
7、A
【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．
【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．
故选：A．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
8、B
【解析】试题解析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项A、C、D正确，选项B错误．
故选B．
点睛：若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
9、C
【解析】∵∠1+∠1=∠2，∠1+∠1+∠2=180°，
∴∠1+∠1=∠2=90°，故①正确；
∵∠1+∠1=∠2，∴∠1≠∠AEC.故②不正确；
∵∠1+∠1=90°，∠1+∠BAE=90°,
∴∠1=∠BAE,
又∵∠B＝∠C,
∴△ABE∽△ECF.故③，④正确；
故选C.
10、C
【分析】设调价百分率为x，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．
【详解】解：设调价百分率为x，
则：
故选：C．
本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形，把对应的数值代入即可求得半径r的长．
【详解】解：∵S扇形，
∴，
∴．
故答案为1．
本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形．
12、1＜S＜2
【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S=a+b+c中消元，再根据对称轴的位置判断S的取值范围即可．
【详解】解：将点（1，1）和（﹣1，1）分别代入抛物线解析式，得c＝1，a＝b﹣1，
∴S＝a+b+c＝2b，
由题设知，对称轴x＝且，
∴2b＞1．
又由b＝a+1及a＜1可知2b＝2a+2＜2．
∴1＜S＜2．
故答案为：1＜S＜2．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题．
13、1
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可
【详解】解：∵摸到红球的概率为
∴
解得n=1．
故答案为：1．
本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
14、1
【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．
【详解】由勾股定理得：AB＝＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10；
∴这个三角形的外接圆半径长为1，
故答案为1．
本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.
15、
【分析】连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，因为BD、CE是高，所以AG⊥BC，由∠ABC=60°，∠AGB=90°，推出∠BAG=30°，在Rt△AEF中，由EF=x，∠EAF=30°，可得在Rt△BCE中，由EC=2x，∠CBE=60°可得．由AE+BE=AB可得，代入即可解决问题．
【详解】解：连接延长交于，设==，
是高，
，
，，
，
在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
，，
.
本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，掌握勾股定理和30°直角三角形是解题的关键.
16、105°．
【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．
【详解】连接OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：OA=1：，
设BO=1，OA=，
∴AQ=1，则tan∠AQO==，
∴∠AQO=60°，
∴∠AQC=105°．
故答案为105°．
17、130°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，得∠ABC=180°-∠D=130°．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠D=180°,
∵∠D=50°,
∴∠ABC=180°-∠D=130°．
故答案为：130°．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补．
18、72°．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．
【详解】解：正五边形的中心角为： ．
故答案为72°．
此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
三、解答题(共66分)
19、40°
【分析】连接AE，判断出AB=AC，根据∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠DOE的度数．
【详解】解：连接
∵是⊙的直径.
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴.
本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，把圆周角转化为圆心角是解题的关键．
20、此时火箭所在点处与发射站点处的距离约为．
【解析】利用已知结合锐角三角函数关系得出的长．
【详解】解：如图所示：连接，由题意可得：，，
，，
在直角中，．
在直角中，．
答：此时火箭所在点处与发射站点处的距离约为．
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21、（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
试题解析：（1）选择 A通道通过的概率=，
故答案为；
（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率==．
22、（1）；（2）BP=1；（3）
【分析】（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态，分别求出BP的值，因为任意点都不重合，所以BP在两者之间即可得出答案；
（2）∠KFC和∠BFE是对顶角，得到，得出EF的值，再根据△BEF∽△FEG，求出EG的值，进而可求出BP的值；
（3）设圆的半径，利用三角函数表示出PO，GO的值，看用面积法求出，在中由勾股定理得出MQ的值，进而可求出PM的值即可得出答案．
【详解】（1）当G点与E点重合时，BG=BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BD=5，
∵CE⊥BD，
∴,
∴,
在△BEC中，由勾股定理得：
,
∴,
当点G和点D重合时，如图所示：
∵△BCD是直角三角形，
∴BP=DP=CP,
∴，
∵任意两点都不重合，
∴，
（2）连接FG，如图所示：
∵∠KFC=∠BFE，tan ÐKFC = 3，
∴，
∴，
∴,
∵BG是圆的直径，
∴∠BFG=90°，
∴∠GFE+∠BFE=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠FEG=∠FEB=90°，
∴∠GFE+∠FGE=90°，
∴∠BFE=∠FGE
∴△BEF∽△FEG，
∴,
∴,
∴,
∴BG=EG+BE=2，
∴BP=1，
（3）为定值，
过作,连接，，交GH于点O，如下图所示：
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
本题考查了动圆问题，矩形的性质，面积法的运用，三角函数，相似三角形的判定和性质等知识点，属于圆和矩形的综合题，难度中等偏上，利用数形结合思想和扎实的基础是解决本题的关键．
23、（1）；理由详见解析；（2）；理由详见解析；（3），
【分析】（1）根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，构建圆周角，然后利用三角形外角性质比较即可；
（2）根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，构建圆周角，然后利用三角形外角性质比较即可；
（3）根据圆周角定理，结合（1）（2）的结论首先确定圆心的位置，然后即可得出点P的坐标.
【详解】（1）交于点，连接，如图所示：
中
又
∴
（2）延长交于点，连接，如图所示：
中
又
∴
（3）由（1）（2）结论可知，当OP=2.5时，∠MPN最大，如图所示：
∴OM=2.5，MH=1.5
∴
∴，
本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.
24、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；
（2）利用，的值确定满足的个数，根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：（1）所有可能情况如下表，且它们的可能性相
n
m
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
由列表知，（m，n）有9种可能；
（2）由（1）知，所有可能情况有9种，其中满足y＝的有（2，3）和（3，2）两种，
∴点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率为．
本题考查了列表法求概率，反比例函数图象上点的坐标特点．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
25、（2）y＝﹣x2+x+2；（2）①点P坐标为（2，3）；②存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO
【分析】（2）与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2），由题意可得即可求解；
（2）①过点P作PE∥OC，交BC于点E．根据题意得出△OCD≌△PED，从而得出PE＝OC＝2，再根据 即可求解；
②当点P在y轴右侧，PO∥AC时，∠POC=∠ACO．抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，则点A坐标为（-2，0）．则直线AC的解析式为y=2x+2．直线OP的解析式为y=2x，即可求解；当点P在y轴右侧，设OP与直线AC交于点G，当CG=OG时，∠POC=∠ACO，根据等腰三角形三线合一，则CF=OF=2，可得：点G坐标为即可求解．
【详解】（2）∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2）．
由题意可得，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①如图，过点P作PE∥OC，交BC于点E．
∵点D为OP的中点，
∴△OCD≌△PED（AAS），
∴PE＝OC＝2，
设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），点E坐标为（m，﹣m+2），
则PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝2，
解得m2＝m2＝2．
∴点P坐标为（2，3）；
②存在点P，使得∠POC＝∠ACO．
理由：分两种情况讨论．
如上图，当点P在y轴右侧，
PO∥AC时，∠POC＝∠ACO．
∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，
∴点A坐标为（﹣2，0）．
∴直线AC的解析式为y＝2x+2．
∴直线OP的解析式为y＝2x，
解方程组，解得：x＝（舍去负值）
∴点P坐标为（，﹣2）．
如图，当点P在y轴右侧，
设OP与直线AC交于点G，当CG＝OG时∠POC＝∠ACO，
过点G作GF⊥OC，垂足为F．
根据等腰三角形三线合一，则CF＝OF＝2．
∴可得点G坐标为（﹣，2）
∴直线OG的解析式为y＝﹣2x；
把y＝﹣2x代入抛物线表达式并解得x＝（不合题意值已舍去）．
∴点P坐标为（，﹣7）．
综上所述，存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
26、（1）（2，1）或（，）；（2）
【分析】（1）根据直线与直线的特征，可以判断为平行四边形，且，再根据坐标特征得到等式=3 ，即可求解；
（2）根据第（1）小题的结果结合图象即可得到答案.
【详解】（1）∵直线与轴交点，直线与轴交点 ，
∴，
∵直线 与直线平行，
且∥轴，
∴为平行四边形，
∴，
∵∥轴， 在的图象上，
∴ ，
∵在直线上 ，
∴ ，
∵ ，
∴=3 ，
解得：或，
（2）如图，
∵或， ，
当点在直线和区间运动时，,
∴
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
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