资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
2．一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．抛物线y＝(x﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是( )
A．(4，﹣5)，开口向上 B．(4，﹣5)，开口向下
C．(﹣4，﹣5)，开口向上 D．(﹣4，﹣5)，开口向下
4．如图，在中，点为边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为( )
A． B． C． D．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴于点A，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若OA＝1，则k的值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
6．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．15m D．5m
7．若关于x的分式方程有增根，则m为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-1或2
8．如图，A，B是反比例函数y=图象上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC＝BD＝OC，S四边形ABCD＝9，则k值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．1．
9．已知关于x的方程（m+4）x2+2x﹣3m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．m≠0 C．m≠﹣4 D．m＞﹣4
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的点，且DE∥AC，若，，则△ACD的面积为（ ）
A．64 B．72 C．80 D．96
11．二次函数y=(x+2)2-3的顶点坐标是（ ）
A．(﹣2，3) B．(2，3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，﹣3)
12．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该
企业一年中应停产的月份是( )
A．1月，2月 B．1月，2月，3月 C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在中，，，为边上的一点，且，若的面积为，则的面积为__________．
14．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为_____．
15．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝_____．
16．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为__________.
17．如图，在正方形中，以为边作等边，延长，分别交于点，连接、、与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的是__________．
18．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
20．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（2，1），B两点．
（1）求出反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围．
21．（8分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过、两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量，位于的北偏东的方向上，的北偏东的方向上，且.
(1)求景点与的距离.
(2)求景点与的距离.(结果保留根号)
22．（10分）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作与的延长线交于点，连接交于．
（1）求证：；
（2）连结，若，且，求证：四边形是正方形．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为（每个方格的边长均为个单位长度）.
（1）将以点为旋转中心，逆时针旋转度得到，请画出；
（2）请以点为位似中心，画出的位似三角形，使相似比为.
24．（10分）如图，AB是的直径，AC为弦，的平分线交于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：；
．
25．（12分）为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度．
26．夏季多雨，在山坡处出现了滑坡，为了测量山体滑坡的坡面的长度，探测队在距离坡底点米处的点用热气球进行数据监测，当热气球垂直上升到点时观察滑坡的终端点时，俯角为，当热气球继续垂直上升90米到达点时，探测到滑坡的始端点，俯角为，若滑坡的山体坡角，求山体滑坡的坡面的长度．(参考数据：，结果精确到0.1米)
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为，即可得出选项．
【详解】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B．
本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
2、A
【分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况.
【详解】
方程有两个不相等的实数根.
故选A.
本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入计算是解题的突破口.
3、A
【解析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．
【详解】由y＝(x﹣4)2﹣5，得
开口方向向上，
顶点坐标(4，﹣5)．
故选：A．
本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h.
4、C
【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD的长，从而求出AD和AC，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP⊥AB时AP的长，然后证出△APC∽△ACB，列出比例式即可求出AB，最后用勾股定理即可求出BC．
【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当=0时，y=2
∴CD=2
∵点为边中点，
∴AD=CD=2，CA=2CD=4
由图象可知，当运动时间x=时，y最小，即CP最小
根据垂线段最短
∴此时CP⊥AB，如下图所示，此时点P运动的路程DA＋AP=
所以此时AP=
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB=90°
∴△APC∽△ACB
∴
即
解得：AB=
在Rt△ABC中，BC=
故选C．
此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
5、C
【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝1BD，再证得四边形OADB是矩形，利用AC⊥x轴得到C（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【详解】解：作BD⊥AC于D，如图，
∵ABC为等腰直角三角形，
∴BD是AC的中线，
∴AC＝1BD，
∵CA⊥x轴于点A，
∵AC⊥x轴，BD⊥AC，∠AOB＝90°，
∴四边形OADB是矩形，
∴BD＝OA＝1，
∴AC＝1，
∴C（1，1），
把C（1，1）代入y＝得k＝1×1＝1．
故选：C．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了等腰直角三角形的性质．
6、A
【解析】试题分析：河堤横断面迎水坡AB的坡比是，
即，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10，
故选A．
考点：解直角三角形
7、A
【分析】增根就是分母为零的x值，所以对分式方程去分母，得m=x-3，将增根x=2代入即可解得m值．
【详解】对分式方程去分母，得：1=﹣m+2-x，
∴m=x-3，
∵方程有增根，
∴x-2=0，解得：x=2，
将x=2代入m=x-3中，得：
m=2-3=﹣1，
故选：A．
本题考查分式方程的解，解答的关键是理解分式方程有增根的原因．
8、B
【分析】分别延长CA、DB，它们相交于E，如图，设AC＝t，则BD＝t，OC＝5t，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝OD•t＝t•5t，则OD＝5t，所以B点坐标为（5t，t），于是AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t，再利用S四边形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB得到•5t•5t﹣•4t•4t＝9，解得t2＝2，然后根据k＝t•5t进行计算．
【详解】解：分别延长CA、DB，它们相交于E，如图，
设AC＝t，则BD＝t，OC＝5t，
∵A，B是反比例函数y=图象上两点，
∴k＝OD•t＝t•5t，
∴OD＝5t，
∴B点坐标为（5t，t），
∴AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t，
∵S四边形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB，
∴•5t•5t﹣•4t•4t＝9，
∴t2＝2，
∴k＝t•5t＝5t2＝5×2＝2．
故选：B．
本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9、C
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：m+4≠0，
∴m≠﹣4，
故选：C．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
10、C
【分析】根据题意得出BE：CE＝1：4，由DE∥AC得出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积．
【详解】∵S△BDE=4，S△CDE=16，
∴S△BDE：S△CDE=1：4，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ABC=100
∴S△ACD= S△ABC - S△BDE - S△CDE =100-4-16=1．
故选C．
考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
11、C
【分析】根据二次函数的性质直接求解．
【详解】解：二次函数y=（x+2）2-3的顶点坐标是（-2，-3）．
故选：C．
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为y=a（x-）2+，对称轴为直线x=-，顶点坐标为（-，）；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
12、D
【详解】当－n2＋15n－36≤0时该企业应停产，即n2-15n+36≥0，n2-15n+36=0的两个解是3或者12，根据函数图象当n≥12或n≤3时n2-15n+36≥0，所以1月，2月，3月，12月应停产．
故选D
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】首先判定△ADC∽△BAC，然后得到相似比，根据面积比等于相似比的平方可求出△BAC的面积，减去△ADC的面积即为△ABD的面积．
【详解】∵∠CAD=∠B，∠C=∠C
∴△ADC∽△BAC
∴相似比
则面积比
∴
∴
故答案为：1．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14、1
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．
【详解】由图象可知点B2020在第一象限，
∵OA=，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB，
∴OA+AB1+B1C2=++4=10，
∴B2的横坐标为：10，
同理：B4的横坐标为：2×10=20，
B6的横坐标为：3×10=30，
∴点B2020横坐标为：1．
故答案为：1．
本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．
15、
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，，
∴可设BC=4k，AC=3k，
∴由勾股定理可得AB=5k，
∴sinA=，cosA=，
∴sinA+cosA=.
故答案为.
16、0.4m
【分析】先证明△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.
【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO.
∵∠AOB=∠COD,
∴△OAB∽△OCD，
∴AO:CO=AB:CD,
∴4:1=1.6:CD,
∴CD=0.4.
故答案为0.4.
本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
17、①②③④
【分析】①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题；②正确，通过计算证明∠BPD=135°，即可判断； ③正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断；④正确．利用相似三角形的性质即可证明．
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ABC =∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=90°-60°=30°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在中，∠A=90°，∠ABE=30°，
∴，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=∠DPC=75°，
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC =60°+75°=135°，故②正确；
∵∠ADC =90°，∠PDC=75°，
∴∠EDP=∠ADC -∠PDC =90°-75°=15°，
∵∠DBA=45°，∠ABE=30°，
∴∠EBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°，
∴∠EDP=∠EBD=15°，
∵∠DEP=∠BED，
∴△PDE∽△DBE，故③正确；
∵△PDE∽△DBE，
∴，
∴，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故答案为：①②③④．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18、1
【分析】先根据点A，C的坐标，建立方程求出x1+x2=-2，代入二次函数解析式即可得出结论．
【详解】∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y=2（x+1）2+3的图象上，
∴2（x+1）2+3=4，
∴2x2+4x+1=0，
根据根与系数的关系得，x1+x2=-2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y=2（x+1）2+3的图象上，
∴n=2（-2+1）2+3=1，
故答案为：1．
此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x1+x2=-2是解本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）y=-x+170；（2）W=﹣x2+260x﹣1530，售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W=（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+170；
（2）W=（x﹣90）（﹣x+170）=﹣x2+260x﹣1．
∵W=﹣x2+260x﹣1=﹣（x﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴当x=130时，W有最大值2．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．
20、（1），；（1）B（﹣1，﹣1），x＜﹣1或0＜x＜1．
【分析】（1）先将点A（1，1）代入求得k的值，再将点A（1，1）代入，求得m即可．
（1）当反比例函数的值大于一次例函数的值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，x的取值范围．
【详解】解：（1）将A（1，1）代入中，得k=1×1=1，
∴反比例函数的表达式为，将A（1，1）代入中，得1+m=1，
∴m=﹣1，
∴一次函数的表达式为；
（1）解得或
所以B（﹣1，﹣1）；
当x＜﹣1或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
21、 (1)BC=10km；(2)AC=10km.
【分析】（1）由题意可求得∠C =30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；
（2）分别在和中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.
【详解】解：(1)过点作直线，垂足为，如图所示.
根据题意，得：，，
∴∠C=∠CBD－∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠C，
∴BC=AB=.
(2) 在中，，∴，
在中，，∴.
本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.
22、（1）证明见解析，（2）证明见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得：AD∥BC，AD=BC，又由平行四边形的判定得：四边形ACED是平行四边形，又由平行四边形的对边相等可得结论；
（2）根据（1）：四边形ACED是平行四边形，对角线互相平分可得：结合，从而证明AD=AB，即邻边相等，证明四边形为菱形，再证明 从而∠ABC=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴BC=CE；
（2）由（1）知：四边形ACED是平行四边形，
∴DF=CF=AB，EF=AF，
∵AD=2CF，
∴AB=AD，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
∵AD∥EC，
∴
∴四边形ABCD是正方形．
此题考查了平行四边形的性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，属于基础题，正确利用平行四边形的性质是解题关键．
23、（1）见详解；（2）见详解.
【分析】（1）根据旋转的规律，将点A、B围绕O逆时针旋转90°，得到A1、B1，连接O、A1、B1即可；
（2）连接OA并延长到A2，使OA2=2OA，连接OB并延长到B2，使OB2=2OB，然后顺次连接O、A2、B2即可；
【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求作三角形；
（2）如图，△OA2B2即为所求作三角形；
本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】(1)连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE//OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；
(2)过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE=DM，结合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE≌△DAM(SAS)，根据全等三角形的性质可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出，进而可得出CD=BD，结合DE=DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB(HL)，根据全等三角形的性质可得出CE=BM，结合AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB．
【详解】连接OD，如图1所示，
，AD平分，
，，
，
，
是的切线，
，
，
；
过点D作于点M，连接CD、DB，如图2所示，
平分，，，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
．
本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：(1)利用平行线的判定定理找出AE//OD；(2)利用全等三角形的性质找出AE=AM、CE=BM．
25、AB＝6米．
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【详解】解：根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则，即，
解得：AB＝6米．
答：树AB的高度为6米．
本题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
26、的长为177.2米．
【分析】过点作，垂足为，作，垂足为，设，先根据的正切值得出，再根据的正切值得出，进而计算出，最后根据列出方程求解即得．
【详解】如下图，过点作，垂足为，作，垂足为
设
∵在中，
∴，
∵四边形为矩形
∴．
∵，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∵在中，，
∴
∵四边形为矩形
∴
∴
∴
解得
∴．
答：的长为177.2米．
本题是解直角三角形题型，考查了特殊角三角函数，解题关键是将文字语言转化为几何语言，并找出等量关系列方程．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
