资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且，则 S△ADE：S四边形BCED 的值为（ ）
A．1： B．1：3 C．1：8 D．1：9
2．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、2、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是( )
A． B．
C． D．
3．如图，的半径为5，的内接于，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，AD＝DB，若S△ADE＝3，则S四边形DBCE＝( )
A．12 B．15 C．24 D．27
6．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
7．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
8．抛物线的顶点到轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
9．已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
10．下列图形中是中心对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，，点E、F分别在边AB、BC上. 将BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于________．
12．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有4个点……第n行有2n个点……，若前n行的点数和为930，则n是________．
13．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了_________m．
14．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C＝90°，⊙O半径长为1cm，BC＝3cm，则AD长度为__cm．
15．某圆锥的底面半径是2，母线长是6，则该圆锥的侧面积等于________．
16．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位后顶点坐标为_______．
17．如图，有一张直径（BC）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE，AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是（2，0）．那么点E的坐标是____．
18．布袋中装有3个红球和4个白球，它们除颜色外其余都相同，如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）速滑运动受到许多年轻人的喜爱。如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为.后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为.
（1）求新坡面的坡角及的长；
（2）原坡面底部的正前方米处是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米。请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：）
20．（6分）如图，点是二次函数图像上的任意一点，点在轴上.
（1）以点为圆心，长为半径作.
①直线经过点且与轴平行，判断与直线的位置关系，并说明理由.
②若与轴相切，求出点坐标；
（2）、、是这条抛物线上的三点，若线段、、的长满足，则称是、的和谐点，记做.已知、的横坐标分别是，，直接写出的坐标_______.
21．（6分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
22．（8分）如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A（5，0），B（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y1＝（k1＞0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）一次函数y2＝k2x+b经过D、E两点，结合图象，写出不等式＜k2x+b的解集．
23．（8分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的融合点.
例如：，，当点满是，时，则点是点，的融合点，
（1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
（2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点，的融合点.
①试确定与的关系式.
②若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标.
24．（8分）已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
25．（10分）如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长．
26．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C.
（1）= ，= ；
（2）根据函数图象可知，当＞时，x的取值范围是 ；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E，当：=3：1时，求点P的坐标.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE：S四边形BCED的值．
【详解】∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE:S△ABC＝1:9，
∴S△ADE:S四边形BCED＝1:8，
故选C.
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
2、D
【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为10，
所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．
故选D．
本题考查了列表法与树状图法．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
3、C
【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB，利用垂径定理和勾股定理求出OH的长，再根据圆周角定理求出∠ACB=∠AOH，即可利用等角的余弦值相等求得结果.
【详解】如图，连接OA、OB，作OH⊥AB，
∵AB=8，OH⊥AB，
∴AH=AB=4，∠AOB=2∠AOH,
∵OA=5，
∴OH=,
∵∠AOB=2∠ACB,
∴∠ACB=∠AOH,
∴=cos∠AOH=,
故选：C.
此题考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角函数，圆周角定理，利用圆周角定理求得∠ACB=∠AOH，由此利用等角的函数值相等解决问题.
4、C
【分析】根据反比例函数的性质，可得出1-m＞0，从而得出m的取值范围．
【详解】∵反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，
∴1-m＞0，
解得m＜1，
故答案为m＜1．
本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y都随x的增大而增大．
5、C
【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9，则可求出S△ABC，问题得解.
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC是1：9，
∵S△ADE＝3，
∴S△ABC＝3×9＝27，
则S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝27﹣3＝24.
故选：C.
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
6、D
【分析】因为AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、D，所以AP=AC、BD=BP，所以．
【详解】解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选D．
本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理．
7、B
【详解】二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
8、C
【分析】根据二次函数的顶点式即可得到顶点纵坐标,即可判断距x轴的距离.
【详解】由题意可知顶点纵坐标为:-2,即到x轴的距离为2.
故选C.
本题考查顶点式的基本性质,需要注意题目考查的是距离即为坐标绝对值.
9、A
【分析】根据正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限可判断出k的符号，进而可得出结论．
【详解】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出k的符号是解答此题的关键．
10、B
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断．
【详解】从左起第2、4个图形是中心对称图形，
故选B．
本题考查了中心对称图形的概念，注意掌握图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】如图，作GH⊥BA交BA的延长线于H，EF交BG于O．利用勾股定理求出MG，由此即可解决问题.
【详解】过点G作GM⊥AB交BA延长线于点M，则∠AMG=90°，
∵G为AD的中点，∴AG=AD==1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD ，∴∠MAG=∠D=60°，
∴∠AGM=30°，
∴AM=AG=，
∴MG=，
设BE=x，则AE=2-x，
∵EG=BE，∴EG=x，
在Rt△EGM中，EG2=EM2+MG2，
∴x2=(2-x+)2+ ，
∴x=，
故答案为.
本题考查了菱形的性质、轴对称的性质等，正确添加辅助线构造直角三角形利用勾股定理进行解答是关键.
12、1
【分析】根据题意得出这个点阵中前n行的点数和等于2+4+6+8+……+2n，再计算即可．
【详解】解：根据题意知，2+4+6+8+……+2n
=2（1+2+3+…+n）
=2×n（n+1）
=n（n+1）．
∴，
解得：（负值已舍去）；
故答案为：1．
此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字的运算规律，利用规律解决问题．
13、1．
【详解】解：如图：
由题意得，BC：AC=3：2．
∴BC：AB=3：3．
∵AB=10，
∴BC=1．
故答案为：1
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
14、3
【分析】如图，连接OD、OE、OF，由切线的性质和切线长定理可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，AF=AD，BE=BD，接着证明四边形OECF为正方形，则CE=OE=CF=OF=1cm，所以BE=BD=2cm，由勾股定理可求AD的长．
【详解】解：如图，连接OE，OF，OD，
∵⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，AF＝AD，BE＝BD，
∴四边形OECF为矩形
而OF＝OE，
∴四边形OECF为正方形，
∴CE＝OE＝CF＝OF＝1cm，
∴BE＝BD＝2cm，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（AD+1）2+9＝（AD+2）2，
∴AD＝3cm，
故答案为：3
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，切线长定理，勾股定理，正方形的判定和性质，熟悉切线长定理是本题的关键．
15、
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可得．
【详解】圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为圆锥母线
则该圆锥的侧面积为
故答案为：．
本题考查了圆锥的侧面积公式，熟记公式是解题关键．
16、
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
所以，抛物线y=（x+5）（x-3）向左平移2个单位长度后的顶点坐标为（-1-2，-16），即（-3，-16），
故答案为：（-3，-16）
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
17、（4，0）
【分析】如图延长CB交y轴于F，由桌面与x轴平行△AFB∽△AOD，求FB=1.2，由△AFC∽△AOE，可求OE即可．
【详解】如图，延长CB交y轴于F，
∵桌面与x轴平行即BF∥OD，
∴△AFB∽△AOD，
∵OF=0.8，
∴AF=AO-OF=2-0.8=1.2，
∵OA=OD=2，
则AF=FB=1.2，BC =1.2，FC=FB+BC=1.2+1.2=2.4，
∵FC∥x轴，
∴△AFC∽△AOE，
∴，
∴=4，
E（4，0）．
故答案为：（4，0）．
．
本题考查平行线截三角形与原三角形相似，利用相似比来解，关键是延长CB与y轴相交，找到了已知与未知的比例关系从而解决问题．
18、
【分析】由题意根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．
【详解】解：∵一个布袋里装有3个红球和4个白球，共7个球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为：，
故答案为：.
本题主要考查概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）新坡面的坡角为，米；（2）新的设计方案不能通过，理由详见解析．
【分析】（1）过点C作CH⊥BG，根据坡度的概念、正确的定义求出新坡面AC的坡角；（2）根据坡度的定义分别求出AH、BH，求出EA，根据题意进行比较，得到答案．
【详解】解：如图，过点作垂足为
（1）新坡面的坡度为 ，
即新坡面的坡角为
米；
（2）新的设计方案不能通过.
理由如下：
坡面的坡度为，
，
新的设计方案不能通过．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20、（1）①与直线相切.理由见解析；②或；（2）或.
【分析】（1）①作直线的垂线，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征证明线段相等即可；
②利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
（2）利用两点之间的距离公式分别求得各线段的长，根据“和谐点”的定义及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
【详解】（1）①与直线相切.
如图，过作直线，垂足为，设.
则，
，即：
与直线相切.
②当与轴相切时
∴ ，
，即：
代入
化简得：或.
解得：，.
或.
（2）已知、的横坐标分别是，，代入二次函数的解析式得：
，，
设，
∵点B的坐标为，
∴，
，
，
依题意得：，即，
，即：，
∴(不合题意，舍去)或，
把，代入得：
直接开平方解得：，，
∴的坐标为：或
本题主要考查了两点之间的距离公式二次函数的性质，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程是解题的关键.
21、（1）y=；（2）12
【分析】（1）将点A分别代入一次函数与反比例函数，即可求出相应的解析式；
（2）如图，将△AOB的面积转化为△AOC的面积和△BOC的面积和即可求出．
【详解】（1）解：y=x-b过A(-5，-1)
-1=-5-b；b=-4
y=x-+4
y=过A(-5，-1)，
k=-5×(-1)=5
y=
（2）如下图，直线与y轴交于点C，连接AO，BO
∵直线解析式为：y=x+4
∴C(0，4)，CO=4
由图形可知，
∴．
本题考查一次函数与反比例函数的综合，求△AOB面积的关键是将△AOB的面积转化为△AOC和△BOC的面积和来求解．
22、（1）；（2）＜x＜1．
【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝1，得到D点坐标为（1，2），然后把D点坐标代入反比例函数表达式中，求出k的值即可得到反比例函数解析式；
（2）观察函数图象即可求解．
【详解】解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴，即，
解得：DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝1，
∴D点坐标为（1，2），
把D（1，2）代入y1＝得，k＝2×1＝8，
∴反比例函数解析式为；
（2）由（1）知，点D的坐标为（1，2）；
对于，当y＝6时，即6＝，解得x＝，故点E（，6）；
从函数图象看，＜k2x+b时，x的取值范围为＜x＜1，
故不等式＜k2x+b的解集为＜x＜1．
本题主要考查反比例函数与一次函数的关系及相似三角形的判定与性质，关键是根据题意及相似三角形的性质与判定得到反比例函数的解析式，然后利用反比例函数与一次函数的关系进行求解即可．
23、（1）点是点，的融合点；（2）①，②符合题意的点为， .
【解析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案.
（2）①由题中融合点的定义可得，.
②结合题意分三种情况讨论：（ⅰ）时，画出图形，由融合点的定义求得点坐标；（ⅱ）时，画出图形，由融合点的定义求得点坐标；（ⅲ）时，由题意知此种情况不存在.
【详解】（1）解：，
∴点是点，的融合点
（2）解：①由融合点定义知，得．
又∵，得
∴，化简得．
②要使为直角三角形，可分三种情况讨论：
（i）当时，如图1所示，
设，则点为．
由点是点，的融合点，
可得或，
解得，∴点．
（ii）当时，如图2所示，
则点为．
由点是点，的融合点，
可得点．
（iii）当时，该情况不存在．
综上所述，符合题意的点为，
本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
24、（1）详见解析；（2）≤≤1
【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可；
（2）根据图象即可得出答案.
【详解】解：（1）列表如下：
-2
-1
1
1
2
3
5
1
-3
-4
-3
1
函数图象如下图所示：
（2）由图象可知，当1≤x≤3时，≤≤1．
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
25、（1）等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到，，从而得到，然后利用等弧对等角、等角对等边等知识得到，从而证得，判定等腰三角形；
（2）成立，证明方法同（1）；
（3）首先根据上题得到，从而利用已知条件得到，然后利用勾股定理得到，，从而求得，最后求得
【详解】解：（1）结论：△FAG是等腰三角形；
理由：如图1，
为直径，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
（2）（1）中的结论成立；
为直径，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
（3）由（2）得：，
，
，
解得：，，
，
．
此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出是等腰三角形，是一道难度不大的三角形和圆的结合的题目．
26、（1），16； （2）－8＜x＜0或x＞4； （3）点P的坐标为（）.
【分析】（1）将点B代入y1＝k1x＋2和y2＝，可求出k1=k2=16.
（2）由图象知，－8＜x＜0和x＞4
（3）先求出四边形ODAC的面积，从而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的解析式即可得出点P的坐标．
【详解】解：（1）把B（-8，-2）代入y1=k1x+2得-8k1+2=-2，解得k1=
∴一次函数解析式为y1=x+2；
把B（-8，-2）代入得k2=-8×（-2）=16，
∴反比例函数解析式为
故答案为：，16；
（2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，
∴-8＜x＜0或x＞4；
故答案为：-8＜x＜0或x＞4；
(3)由(1)知y1＝x＋2，y2＝，
∴m＝4，点C的坐标是(0，2)，点A的坐标是(4，4)，
∴CO＝2，AD＝OD＝4，
∴S梯形ODAC＝·OD＝×4＝12.
∵S梯形ODAC∶S△ODE＝3∶1，
∴S△ODE＝×S梯形ODAC＝×12＝4，
即OD·DE＝4，∴DE＝2，
∴点E的坐标为(4，2)．
又∵点E在直线OP上，
∴直线OP的解析式是y＝x，
∴直线OP与反比例函数y2＝的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4，2)．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形、梯形的面积，根据图象找出自变量的取值范围.在解题时要综合应用反比例函数的图象和性质以及求一次函数与反比例函数交点坐标是本题的关键．
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