资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
2．先将抛物线关于轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数图像上三个点的坐标分别是，能正确反映的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似
6．如图，已知抛物线y=x2+px+q的对称轴为直线x=﹣2，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（ ）.
A．（0，﹣2） B．（0，﹣） C．（0，﹣） D．（0，﹣）
7．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1.5cm C． D．1cm
8．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为8，连接矩形ABCD各边中点E、F、G、H得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
9．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A＝36°，则∠OBC的度数为( )
A．18° B．36° C．60° D．54°
10．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a，b的大小关系为 ( )
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．不能确定
11．不解方程，则一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．以上都不对
12．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．
A．； B．； C．； D．．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____．
14．如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为_____．
15．如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则____．
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC=__________．
17．关于x的方程的两个根是﹣2和1，则nm的值为_____．
18．已知抛物线，过点（0，2），则c＝__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在中，∠A=90°，AB=12cm，AC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以每秒2cm的速度移动，点Q沿CA边从点C开始向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q同时出发，用t表示移动的时间．
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形?
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
20．（8分）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点.
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为2，，，求图中阴影部分的周长.
21．（8分）山西是我国酿酒最早的地区之一，山西酿酒业迄今为止已有余年的历史.在漫长的历史进程中，山西人民酿造出品种繁多、驰名中外的美酒佳酿，其中以汾酒、竹叶青酒最为有名.某烟酒超市卖有竹叶青酒，每瓶成本价是元，经调查发现，当售价为元时，每天可以售出瓶，售价每降低元，可多售出瓶（售价不高于元）
（1）售价为多少时可以使每天的利润最大？最大利润是多少？
（2）要使每天的利润不低于元，每瓶竹叶青酒的售价应该控制在什么范围内？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝1．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标．
23．（10分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成，留出2米长门供学生进出.若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽.
24．（10分）利用公式法解方程：x2﹣x﹣3＝1．
25．（12分）某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.
26．一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球．
（1）“其中有1个球是黑球”是 事件；
（2）求2个球颜色相同的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.
【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是
方差是
故选D
本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.
2、C
【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于轴对称的特点得出答案．
【详解】根据二次函数关于轴对称的特点：两抛物线关于轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，可得：抛物线关于轴对称的新抛物线的解析式为
故选：C.
本题主要考查二次函数关于轴对称的特点，熟知两抛物线关于轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，对称轴不变是关键.
3、D
【解析】从图形的上方观察即可求解.
【详解】俯视图从图形上方观察即可得到，
故选D．
本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．
4、B
【分析】根据反比例函数关系式，把－2、1、2代入分别求出，然后比较大小即可.
【详解】将A、B、C三点横坐标带入函数解析式可得，
∵，
∴.
故选：B.
本题考查反比例函数图象上点的坐标，正确利用函数表达式求点的坐标是解题关键.
5、C
【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可．
【详解】A．菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A错误；
B．矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B错误；
C．正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C正确；
D．平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D错误．
故选：C．
本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6、B
【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得N，′根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得M点坐标，根据两点之间线段最短，可得MN′，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．
【详解】如图，
作N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于P点，
将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得，
解得，
y=x2+4x+2=（x+2）2-2，
M（-2，-2），
N点关于y轴的对称点N′（1，-1），
设MN′的解析式为y=kx+b，
将M、N′代入函数解析式，得，
解得，
MN′的解析式为y=x-，
当x=0时，y=-，即P（0，-），
故选：B．
本题考查了二次函数的性质，利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短得出P点的坐标是解题关键．
7、D
【详解】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，，
解得：r=1．
故选D．
8、B
【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．
【详解】解：∵H、G是AD与CD的中点，
∴HG是△ACD的中位线，
∴HG=AC=4cm，
同理EF=4cm，根据矩形的对角线相等，连接BD，得到：EH=FG=4cm，
∴四边形EFGH的周长为16cm．
故选：B．
本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质．
9、D
【解析】根据圆周角定理，由∠A=36°，可得∠O=2∠A =72°，然后根据OB=OC，求得∠OBC=（180°-∠O）=（180°-72°）=54°.
故选：D
点睛：此题主要考查了圆周角定理，解题时，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出圆心角，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可，解题关键是发现同弧所对的圆心角和圆周角，明确关系进行计算.
10、D
【解析】∵二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，∴a>0，∵无论b为何值，此函数均有最小值，∴a、b大小无法确定．
11、C
【分析】根据∆值判断根的情况
【详解】解：a=2 b=3 c= -4
∴有两个不相等的实数根
故本题答案为：C
本题考查了通过根的判别式判断根的情况，注意a,b,c有符号
12、B
【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】解：、左边得出的是的方向不是单位向量，故错误；
、符合向量的长度及方向，正确；
、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
、左边得出的是的方向，右边得出的是的方向，两者方向不一定相同，故错误．
故选：．
本题考查了向量的性质．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、60°
【解析】分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
详解：如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB．
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°．
∵OA=OB，∴∠ABO=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°．
故答案为60°．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题的关键．
14、1
【分析】设PN＝a，PM＝b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设PN＝a，PM＝b，
∵P点在第二象限，
∴P（﹣a，b），代入y＝中，得
k＝﹣ab＝﹣1，
∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝1，
故答案为：1．
本题考查了反比例函数的几何意义，即S矩形PMON=
15、．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【详解】解：∵以点为位似中心，将放大后得到，，
∴．
故答案为．
此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
16、1
【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，得到，即可求BC的长．
【详解】解：∵AE：EC=2：3，
∴AE：AC=2：5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE=4，
∴BC=1．
故答案为：1．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17、﹣1
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
【详解】解：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1，
∴，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴．
故答案为：﹣1．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
18、2
【分析】将点（0，2）代入原解析式解出c的值即可.
【详解】∵抛物线，过点（0，2），
∴，
∴c=2，
故答案为：2.
本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）或．
【分析】（1）利用距离=速度×时间可用含t的式子表示AP、CQ、QA的长，根据QA=AP列方程求出t值即可；
（2）分△QAP∽△BAC和△QAP∽△CAB两种情况，根据相似三角形的性质列方程分别求出t的值即可．
【详解】（1）∵点P的速度是每秒2cm，点Q的速度是每秒1cm，
∴，，，
∵时，为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴当时，为等腰直角三角形．
（2）根据题意，可分为两种情况，
①如图，当∽时，，
∴，
解得：，
②当∽，，
∴，
解得：，
综上所述：当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
本题考查了等腰直角三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，正确列出关于t的方程式是解题的关键．
20、 (1)直线与相切；理由见解析；(2).
【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；
（2）根据切线长定理可得DE=AE=2.5，由圆周角定理可得∠AOD=100°，然后根据弧长公式计算弧AD的长，从而可求得结论．
【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
∵OA=OD
∠1=∠2
OE=OE，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE=AE，
∵点E是AC的中点，
∴DE=AE=AC=2.5，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴阴影部分的周长=．
本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线、切线长定理、弧长的计算，掌握切线的性质与判定、弧长公式是解题的关键．
21、（1）每瓶竹叶青酒售价为元时，利润最大，最大利润为元；（2）要使每天利润不低于元，每瓶竹叶青酒售价应控制在元到元之间.
【分析】（1）设每瓶竹叶青酒售价为元，每天的销售利润为元，根据“当售价为元时，每天可以售出瓶，售价每降低元，可多售出瓶”即可列出二次函数，再整理成顶点式即可得出；
（2）由题意得，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】解：（1）设每瓶竹叶青酒售价为元，每天的销售利润为元.则：
，
整理得：.
，
当时，取得最大值.
每瓶竹叶青酒售价为元时，利润最大，最大利润为元.
（2）每天的利润为元时，
.
解得：，.
，由二次函数图象的性质可知，
时，.
要使每天利润不低于元，每瓶竹叶青酒售价应控制在元到元之间.
本题考查了二次函数的应用，根据题意找到关系式是解题的关键.
22、（1）y＝；（2）①（ ，4）；②（1，3）或（3﹣2 ，﹣1）．
【分析】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣1，n），利用反比例函数图像上的点的坐标特征可求出m的值，之后进一步求出n的值，然后进一步求解即可；
（2）根据三角形的面积公式与矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC即可进一步求出P的纵坐标.①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；②由点A，B的坐标及点P的总坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．
【详解】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣1，n）．
∵点D，E在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝mn＝（m﹣1）n，
∴m＝3．
∵OC：CD＝5：3，
∴n：（m﹣1）＝5：3，
∴n＝5，
∴k＝mn＝×3×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y＝．
（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，
∴OA∙yP＝OA∙OC，
∴yP＝OC＝4．
当y＝4时，＝4，
解得：x＝，
∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）．
②由（1）可知：点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（3，5），
∵yP＝4，yA+yB＝5，
∴，
∴AP≠BP，
∴AB不能为对角线．
设点P的坐标为（t，4）．
分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：
（i）当AB＝AP时，（3﹣t）2+（4﹣0）2＝52，
解得：t1＝1，t2＝12（舍去），
∴点P1的坐标为（1，4）．
又∵P1Q1＝AB＝5，
∴点Q1的坐标为（1，3）；
（ii）当BP＝AB时，（3﹣t）2+（5﹣4）2＝52，
解得：t3＝3﹣2，t4＝3+2（舍去），
∴点P2的坐标为（3﹣2，4）．
又∵P2Q2＝AB＝5，
∴点Q2的坐标为（3﹣2，﹣1）．
综上所述：点Q的坐标为（1，3）或（3﹣2，﹣1）．
本题主要考查了反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
23、若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.
【分析】设自行车车棚的宽AB为x米，则长为（38-2x）米，根据矩形的面积公式，即可列方程求解即可．
【详解】解：现有总长的铁栏围成，需留出2米长门
∴设，则；
根据题意列方程，
解得，；
当，（米），
当，（米），而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.
本题考查的是一元二次方程的应用，结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
24、x1＝，x2＝．
【分析】观察方程为一般形式，找出此时二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于1，故利用求根公式可得出方程的两个解．
【详解】解：x2﹣x﹣3＝1，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞1，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
此题考查了利用公式法来求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出相应的a，b及c的值，代入b2-4ac中求值，当b2-4ac≥1时，可代入求根公式来求解．
25、人行通道的宽度为1米.
【分析】设人行通道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积和为102平方米，列出关于x的一元二次方程，求解即可.
【详解】设人行通道的宽度为x米，根据题意得，
(20﹣3x)(8﹣2x)＝102，
解得：x1＝1，x2＝(不合题意，舍去).
答：人行通道的宽度为1米.
本题主要考查一元二次方程的实际应用----面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关键.
26、（1）随机
（2）
【解析】试题分析：（1）直接利用随机事件的定义分析得出答案；
（2）利用树状图法画出图象，进而利用概率公式求出答案．
试题解析：（1）“其中有1个球是黑球”是随机事件；
故答案为随机；
（2）如图所示：
，
一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，
故2个球颜色相同的概率为：=．
考点：列表法与树状图法．
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