资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图下列条件中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（ ）
A．130° B．135° C．140° D．145°
3．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为，直线AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
6．使分式有意义的x的取值范是（ ）
A．x≠3 B．x＝3 C．x≠0 D．x＝0
7．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．15m D．5m
8．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．若点在抛物线上，则的值（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
10．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，当x＜2时，y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
12．已知反比例函数的图象经过点，若点在此反比例函数的图象上，则________.
13．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个．
14．已知二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为：_____.
15．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为__________．
16．已知点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，则ab=_____．
17．如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是_____．
18．已知两个相似三角形的相似比为2︰5，其中较小的三角形面积是，那么另一个三角形的面积为 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）春节前，某超市从厂家购进某商品，已知该商品每个的成本价为30元，经市场调查发现，该商品每天的销售量 (个)与销售单价 (元) 之间满足一次函数关系，当该商晶每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个．
（1）与之间的函数关系式为__________________(不要求写出的取值范围) ；
（2）若超市老板想达到每天不低于220个的销售量，则该商品每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
20．（6分）已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点A（2，1）．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）当x取什么范围时，反比例函数值大于0；
（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B，且纵坐标为﹣4，当x取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；
（4）试判断点P（﹣1，5）关于x轴的对称点P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．
21．（6分）如图所示，小吴和小黄在玩转盘游戏，准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为4，5或6时，则小吴胜；否则小黄胜．（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）
（1）这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由；
（2）请你设计一个对双方都公平的游戏规则．
22．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
23．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
若k为负整数，求此时方程的根．
24．（8分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．
25．（10分）已知函数解析式为y=(m-2)
（1）若函数为正比例函数，试说明函数y随x增大而减小
（2）若函数为二次函数，写出函数解析式，并写出开口方向
（3）若函数为反比例函数，写出函数解析式，并说明函数在第几象限
26．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【详解】A. ，可以判定，不符合题意；
B. ，可以判定，不符合题意；
C. 不是对应边成比例，且不是相应的夹角，不能判定，符合题意；
D. 即且，可以判定，不符合题意．
故选C．
本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．
2、C
【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，由∠D可以求得∠B，再由圆周角定理可以求得∠AOC的度数．
【详解】解：∵∠D＝110°，
∴∠B＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
故选C．
本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握有关定理和性质的应用是解题关键．
3、C
【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
4、D
【解析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵⊙O的半径为2，点A的坐标为，即OC=2.
∴AC是圆的切线.
∵OA=4，OC=2，
∴∠AOC=60°.
又∵直线AB为⊙O的切线，
∴∠AOB=∠AOC=60°.
∴∠BOD=180°－∠AOB-∠AOC=60°.
又∵OB=2，∴OD=1，BD=，即B点的坐标为.故选D.
5、D
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．
【详解】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵△=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故选D．
6、A
【解析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案．
【详解】分式有意义，则1-x≠0，
解得：x≠1．
故选A．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
7、A
【解析】试题分析：河堤横断面迎水坡AB的坡比是，
即，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10，
故选A．
考点：解直角三角形
8、D
【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
【详解】抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣＝﹣a﹣，
纵坐标为：y＝＝﹣2a﹣，
∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+，
∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D．
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．
9、B
【分析】将P点代入抛物线解析式得到等式，对等式进行适当变形即可．
【详解】解：将代入中得
所以．
故选：B．
本题考查二次函数上点的坐标特征，等式的性质．能根据等式的性质进行适当变形是解决此题的关键．
10、D
【解析】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=1．
A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选D．
点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、减小
【分析】根据题目的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x＜2时，y随x的增大如何变化，本题得以解决．
【详解】∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为：x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12、
【分析】将点（1，3）代入y即可求出k+1的值，再根据k+1=xy解答即可．
【详解】∵反比例函数的图象上有一点（1，3），
∴k+1=1×3=6，
又点（－3，n）在反比例函数的图象上，
∴6=－3×n，
解得：n=－1．
故答案为：－1．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
13、1．
【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】设袋中红球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝1，
经检验：x＝1是分式方程的解，
所以袋中红球有1个，
故答案为1．
此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用红球在总数中所占比例进行求解.
14、
【解析】依题意得二次函数y=的对称轴为x=-1,与x轴的一个交点为(-3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为（-1）×2-（-3）=1，
∴交点坐标为(1，0)
∴当x=1或x=-3时，函数值y=0，
即，
∴关于x的一元二次方程的解为x1=−3或x2=1.
故答案为：.
点睛：本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次凹函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率.
15、cm.
【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【详解】解：设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，
根据题意，得
解得x=1．
故选：1cm．
本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16、2
【解析】接把点P（a，b）代入反比例函数y=即可得出结论．
【详解】∵点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，
∴b=，
∴ab=2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17、．
【详解】解：∵把x=1分别代入、，得y=1、y=，
∴A（1，1），B（1，）．∴．
∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线BC的距离为1．
∴△PAB的面积．
故答案为：．
18、25
【解析】试题解析：∵两个相似三角形的相似比为2:5，
∴面积的比是4:25，
∵小三角形的面积为4，
∴大三角形的面积为25.
故答案为25.
点睛：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）该商品每个售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润是3960元
【分析】(1)设y=kx+b，再根据每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个，列方程组，从而确立y与x的函数关系为y=−10x+700；
(2)设利润为W，则，将其化为顶点式，由于对称轴直线不在之间，应说明函数的增减性，根据单调性代入恰当自变量取值，即可求出最大值．
【详解】解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y=−10x+700.
故答案为.
(2)设每天销售利润为元，由题意得
由于，得
∴
又，．当时， 随着的增大而增大
∴当时，取最大值，最大值为
答：该商品每个售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润是3960元.
本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，同时考查了由二次函数图象的对称性及增减性分析解决实际问题的能力．
20、（1）y=，y=2x﹣3；（2）x＞1；（3）x＜﹣1.5或1＜x＜2；（4）点P′在直线上．
【详解】试题分析：（1）根据题意，反比例函数y=的图象过点A（2，1），可求得k的值，进而可得解析式；一次函数y=kx+m的图象过点A（2，1），代入求得m的值，从而得出一次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的解析式，当y＞1时，解得对应x的取值即可；
（3）由题意可知，反比例函数值大于一次函数的值，即可得＞2x﹣3，解得x的取值范围即可；
（4）先根据题意求出P′的坐标，再代入一次函数的解析式即可判断P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．．
试题解析：解：（1）根据题意，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点A（2，1），
则反比例函数y=中有k=2×1=2，
y=kx+m中，k=2，
又∵过（2，1），解可得m=﹣3；
故其解析式为y=，y=2x﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的解析式为y=，
令y＞1，即＞1，解可得x＞1．
（3）根据题意，要反比例函数值大于一次函数的值，
即＞2x﹣3，解可得x＜﹣1.5或1＜x＜2．
（4）根据题意，易得点P（﹣1，5）关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣5）
在y=2x﹣3中，x=﹣1时，y=﹣5；
故点P′在直线上．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
21、（1）不公平
（2）
【解析】解：列表或画树状图正确，
转盘甲
转盘乙
1
2
3
4
5
1
（1，1）和为2
（2，1）和为3
（3，1）和为4
（4，1）和为5
（5，1）和为6
2
（1，2）和为3
（2，2）和为4
（3，2）和为5
（4，2）和为6
（5，2）和为7
3
（1，3）和为4
（2，3）和为5
（3，3）和为6
（4，3）和为7
（5，3）和为8
4
（1，4）和为5
（2，4）和为6
（3，4）和为7
（4，4）和为8
（5，4）和为9
（1）数字之和一共有20种情况，和为4，5或6的共有11种情况，
∵P（小吴胜）＝＞P（小黄胜）＝，
∴这个游戏不公平；
（2）新的游戏规则：和为奇数小吴胜，和为偶数小黄胜.
理由：数字和一共有20种情况，和为偶数、奇数的各10种情况，
∴P（小吴胜）＝P（小黄胜）＝.
22、（1）x1＝－3，x2＝1；（2）x1＝－1，x2＝2
【分析】（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解一：（x+3）（x﹣1）=0
解得：x1=﹣3，x2=1
解二：a=1，b=2，c=﹣3
x=
解得：x=
即x1=﹣3，x2=1．
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0
（x+1）（x﹣2）=0
x1=﹣1，x2=2
点睛: 本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及熟记求根公式．
23、（）；（）时，，．
【解析】试题分析：
（1）由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>0”，由此列出关于k的不等式求解即可；
（2）在（1）中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可.
试题解析：
(1)由题意得Δ＞0，
即9－4(1－k)＞0，
解得k＞.
(2)若k为负整数，则k＝－1，
原方程为x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2.
24、（1）BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由见解析；（3）AP＝AM+PM＝3．
【分析】（1）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，得到AE=AN，进一步证明△AEM≌△ANM，得出ME=MN，得出BM+DN=MN；
（2）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，得出AM=AF，进一步证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN-BM=MN；
（3）由已知得出DN=12，由勾股定理得出AN＝＝＝6 ，由平行线得出△ABQ∽△NDQ，得出＝＝＝＝，∴＝，求出AQ=2 ；由（2）得出DN-BM=MN．设BM=x，则MN=12-x，CM=6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM=2，由勾股定理得出AM＝＝，由平行线得出△PBM∽△PDA，得出＝＝，，求出PM= PM＝AM＝，
得出AP＝AM+PM＝3.
【详解】（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝＝＝6 ，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴AQ＝AN＝2 ；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PM＝AM＝，
∴AP＝AM+PM＝3．
本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
25、（1）详见解析；（2）y=-4x2，开口向下；（3）y=-x-1或y=-3x-1，函数在二四象限
【分析】（1）根据正比例函数的定义求出m，再确定m-2的正负，即可确定增减性；
（2）根据二次函数的定义求出m，再确定m-2的值，即可确定函数解析式和开口方向；
（3）由题意可得-2=-1，求出m即可确定函数解析式和图像所在象限．
【详解】解：(1)若为正比例函数则 -2=1，m=±，
∴m-2＜0，函数y随x增大而减小；
(2) 若函数为二次函数，-2=2且m-2≠0，
∴m=-2，函数解析式为y=-4x2，开口向下
（3）若函数为反比例函数，-2=-1， m=±1， m-2＜0，
解析式为y=-x-1或y=-3x-1，函数在二四象限
本题考查了正比例、二次函数、反比例函数的定义，理解各种函数的定义及其内涵是解答本题的关键．
26、依题意画出图形G为⊙O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出图形G为⊙O，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等得出；从而得出弦相等即可．
（2）先根据HL得出△CDF≌△CMF，得出DF=MF，从而得出BC为弦DM的垂直平分线，根据圆心角和圆周角之间的关系定理得出∠ABC=∠COD，再证得
DE为⊙O的切线即可
【详解】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
本题考查了垂直平分线的性质，圆心角和圆周角之间的关系定理，切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
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