菏泽市重点中学2024年九上数学期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在等腰中，于点，则的值（ ）

A． B． C． D．
2．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC＝10m，∠B＝36°，D为底边BC的中点，则上弦AB的长约为（　　）（结果保留小数点后一位sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）

A．3.6m B．6.2m C．8.5m D．12.4m
3．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为(　　)
A． B． C． D．
4．在一个箱子里放有1个自球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
5．若抛物线经过点，则的值在（ ）．
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
6．已知如图，直线，相交于点，且，添加一个条件后，仍不能判定的是（ ）．

A． B． C． D．
7．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
8．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为(　　)
A． B． C． D．
9．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．把一袋黑豆中放入红豆100粒，搅匀后取出100粒豆子，其中红豆5粒，则该袋中约有黑豆_______粒．
12．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____．
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1

13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线的图象上，边CD交y轴于点E，若，则k的值为______.

14．在本赛季比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：则这组数据的极差为_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，作第一个正方形且点在上，点在上，点在上；作第二个正方形且点在上，点在上，点在上…，如此下去，其中纵坐标为______，点的纵坐标为______．

16．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）

17．若实数、满足，则以、的值为边长的等腰三角形的周长为
．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）一个不透明的布袋里有材质、形状、大小完全相同的4个小球，它们的表面分别印有1、2、3、4四个数字（每个小球只印有一个数字），小华从布袋里随机摸出一个小球，把该小球上的数字记为，小刚从剩下的3个小球中随机摸出一个小球，把该小球上的数字记为．
（1）若小华摸出的小球上的数字是2，求小刚摸出的小球上的数字是3的概率；
（2）利用画树状图或列表格的方法，求点在函数的图象上的概率．
20．（6分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合）．

（1）求证：；
（2）在旋转过程中，试判断等式是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
21．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD的长．

22．（8分）如图1，在中，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，试求的长；
（3）如图2，点是弧的中点，连结，交于点，若，求的值．

23．（8分）如图，在平面直角坐标中，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，作直线分别交于两点，已知.

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积.
24．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为　 　度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(﹣2，1)，B(﹣1，4)，C(﹣3，2)，以原点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2，在y轴的左侧，请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1．

26．（10分）（1）（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图23.4.2，写出完整的证明过程．

（2）（结论应用）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结BE，M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P．
①求证：MN＝PN；
②∠MNP的大小是．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：D
本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
2、B
【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝BC＝5m，AD⊥BC，再由cosB＝，∠B＝36°知AB＝，代入计算可得．
【详解】∵△ABC是等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD＝BC＝5m，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵cosB＝，∠B＝36°，
∴AB＝＝≈6.2（m），故选：B．
本题考查解直接三角形的应用，解题的关键是根据等腰三角形的性质构造出直角三角形Rt△ABD，再利用三角函数求解.
3、B
【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．
【详解】解：由题意可画树状图如下：

根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：．
本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．
4、C
【解析】结合题意求得箱子中球的总个数，再根据概率公式即可求得答案.
【详解】依题可得，
箱子中一共有球：（个），
∴从箱子中任意摸出一个球，是白球的概率.
故答案为：C.
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、D
【分析】将点A代入抛物线表达式中，得到，根据进行判断．
【详解】∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴的值在3和4之间，
故选D．
本题考查抛物线的表达式，无理数的估计，熟知是解题的关键．
6、C
【分析】根据全等三角形判定，添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到.
【详解】添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到，添加属SSA，不能证.
故选：C
考核知识点：全等三角形判定选择.熟记全等三角形的全部判定是关键.
7、B
【详解】根据二次根式的性质，由此可知2-a≥0，解得a≤2.
故选B
此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质可求解.
8、B
【分析】用黄色小球的个数除以总个数可得．
【详解】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为
故答案为B．
本题考查了概率公式,解答的关键在于确定发生事件的总发生数和所求事件发生数.
9、A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误；
故选A．
考核知识点：轴对称图形与中心对称图形识别.
10、B
【解析】根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，
即OP=6，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】先根据取出100粒豆子，其中有红豆5粒，确定取出红豆的概率为5%，然后用100÷5%求出豆子总数,最后再减去红豆子数即可．
【详解】解：由题意得：取出100粒豆子，红豆的概率为5%，则豆子总数为100÷5%=2000粒，所以该袋中黑豆约有2000-100=1粒．
故答案为1．
本题考查了用频率估计概率，弄清题意、学会用样本估计总体的方法是解答本题的关键．
12、110m1．
【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.1×6+0.4×7+0.5×1）÷20＝0.125（m1），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.125＝110（m1），
故答案为：110m1．
此题考查的是根据样本估计总体，掌握样本平均数的公式是解决此题的关键．
13、4
【分析】过D作DF⊥x轴并延长FD，过A作AG⊥DF于点G，利用正方形的性质易证△ADG≌△DCF，得到AG=DF，设D点横坐标为m，则OF=AG=DF=m，易得OE为△CDF的中位线，进而得到OF=OC，然后利用勾股定理建立方程求出，进而求出k.
【详解】如图，过D作DF⊥x轴并延长FD，过A作AG⊥DF于点G，

∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AD，∠ADC=90°
∴∠ADG+∠CDF=90°
又∵∠DCF+∠CDF=90°
∴∠ADG=∠DCF
在△ADG和△DCF中，
∵∠AGD=∠DFC=90°，∠ADG=∠DCF，AD=CD
∴△ADG≌△DCF（AAS）
∴AG=DF
设D点横坐标为m，则OF=AG=DF=m，
∴D点坐标为(m,m)
∵OE∥DF，CE=ED
∴OE为△CDF的中位线，
∴OF=OC
∴CF=2m
在Rt△CDF中，
∴
解得
又∵D点坐标为(m,m)
∴
故答案为：4.
本题考查反比例函数与几何的综合问题，需要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是作出辅助线，利用全等三角形推出点D的横纵坐标相等.
14、1
【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．极差＝最大值−最小值，根据极差的定义即可解答．
【详解】解：由题意可知，极差为28−12＝1，
故答案为：1．
本题考查了极差的定义，解题时牢记定义是关键．
15、
【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．
【详解】解：设直线AB的解析式y=kx+b
则有： ，解得：
所以直线仍的解析式是：
设C1的横坐标为x，则纵坐标为
∵正方形OA1C1B1
∴x=y，即，解得
∴点C1的纵坐标为
同理可得：点C2的纵坐标为=
∴点Cn的纵坐标为．
故答案为：，．
本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
16、40
【解析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．
【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°=，
解得：CD=40（m），
故答案为40．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．
17、1．
【解析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解：
根据题意得，x﹣4=0，y﹣2=0，解得x=4，y=2．
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
∵4+4=2，∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、2、2，能组成三角形，周长=4+2+2=1．
所以，三角形的周长为1．
18、2﹣2
【分析】取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，根据勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【详解】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，

∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，
在Rt△ACG中，AG＝＝2
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2
本题考查了动点问题，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形中勾股定理关系式.

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）
【分析】（1）根据小刚从印有数字1,3,4的三个小球中摸出印有数字3的小球进行求解概率；
（2）根据题意画出树状图，进而求解．
【详解】解：（1）由题意知，小刚摸出的小球上的数字是3的概率为；
（2）画树状图如下：

一共有12种等可能情况，有三种情况满足条件，分别为：，，，
∴点在函数的图象上的概率为．
本题考查等可能条件下的概率计算公式，画树状图或列表求解概率，熟知画树状图或列表法是解题的关键．
20、（1）详见解析；（1）成立．
【分析】（1）由图形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根据∠B=∠C=45°，证明两个三角形相似；
（1）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．
【详解】（1）∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA；
（1）成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，

则CE=BH，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中，

∴△EAD≌△HAD（SAS）．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD1+BH1=HD1，即BD1+CE1=DE1．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
21、AC=10,BD=10
【分析】根据菱形的性质可得Rt△ABO中，∠ABO=∠ABD＝∠ABC＝30°，则可得AO和BO的长，根据AC=2AO，BD=2BO可得AC和BD的长；
【详解】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，
在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO=∠ABD＝30°，
∴AO＝AB=5，BO＝AB=5，
∴AC＝2AO＝10，BD＝2BO＝10．
本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，掌握菱形的性质，解直角三角形是解题的关键.
22、（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）连接半径，根据已知条件结合圆的基本性质可推出，即，即可得证结论；
（2）设，根据已知条件列出关于的方程、解方程即可得到圆心角，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；
（3）由，设，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出、，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论．
【详解】解：（1） 连结，如图：

∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵在圆上
∴是的切线．
（2）设
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
连结，过作于点，如图：

∵点是的中点
∴
∴设
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵，
∴
∴
∴．
故答案是：（1）证明见解析（2）（3）
本题考查了圆的相关性质、切线的判定、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的相关性质、锐角三角函数、三角形的外角性质以及弧长的计算公式等，综合性较强，但难度不大属中档题型．
23、（1），；（2）
【分析】（1）根据待定系数法，分别把分别代入，进而得出解析式.
（2）根据函数的交点性质，求出C、D的坐标，进而求出CD的长和三角形的高，进行求面积即可.
【详解】解：（1）∵的图象过点，的图象过点，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知两条曲线与直线的交点为，
∴，∴.
本题主要考察了反比例函数的性质，灵活运用待定系数法和函数的交点性质是解题的关键.
24、（1）2、45、20；（2）72；（3）
【解析】分析：（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值；
（2）用360°乘以C等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
详解：（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人，
∴a=40×5%=2，b=×100=45，c=×100=20，
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°，
（3）画树状图，如图所示：

共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，
故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=．
点睛：此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
25、见解析.
【分析】根据位似图形的画图要求作出位似图形即可.
【详解】解：如图所示，△A1B1C1即为所求．

本题主要考察位似图形的作图，掌握位似图形的画法是解题的关键.
26、（1）见详解；（2）①见详解；②120°
【分析】教材呈现：证明△ADE∽△ABC即可解决问题．
结论应用：（1）首先证明△ADE是等边三角形，推出AD＝AE，BD＝CE，再利用三角形的中位线定理即可证明．
（2）利用三角形的中位线定理以及平行线的性质解决问题即可．
【详解】教材呈现：证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，，
∴DE∥BC，DE＝BC．
结论应用：
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠ADE＝60°，∠ACB＝∠AED＝60°，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵EM＝MD，EN＝NB，
∴MN＝BD，
∵BN＝NE，BP＝PC，
∴PN＝EC，
∴NM＝NP．
（2）∵EM＝MD，EN＝NB，
∴MN∥BD，
∵BN＝NE，BP＝PC，
∴PN∥EC，
∴∠MNE∠ABE，∠PNE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠MNP＝∠ABE+∠EBC+∠C＝∠ABC+∠C＝120°．

本题考查了三角形中位线定理，，平行线的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的关键．