资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．服装店为了解某品牌外套销售情况，对各种码数销量进行统计店主最应关注的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
2．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是( )
A． B． C． D．
3．若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c＜ B．c＜ C．c＞ D．c＞
4．从数据，﹣6，1.2，π，中任取一数，则该数为无理数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( )
A．70° B．80° C．84° D．86°
6．如图，内接于⊙，是⊙的直径，，点是弧上一点，连接，则的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
7．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．把二次函数化为的形式是
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝3，AB＝5，OD⊥BC于点D，则OD的长为_____．
13．已知线段a=4，b=9，则a，b的比例中项线段长等于________．
14．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm．
15．已知点与点关于原点对称，则__________．
16．已知实数满足，且，，则抛物线图象上的一点关于抛物线对称轴对称的点为__________．
17．如图，ΔABP是由ΔACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这一旋转过程中，旋转中心是____________，旋转角度为____________.
18．如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（6，10），则点C的坐标为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)，以原点为位似中心，在原点的另一侧画出△A1B1C1 ，使=，并写出△A1B1C1 各顶点的坐标.
20．（6分）课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm． 当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：
（1）在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；
（2）求BF的长．
21．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
22．（8分）近期江苏省各地均发布“雾霾”黄色预警，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．
销售单价x（元/件）
…
20
25
30
40
…
每月销售量y（万件）
…
60
50
40
20
…
(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式为__________；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？
(3)如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
23．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（8分）某网店销售一种商品，其成本为每件30元.根据市场调查，当每件商品的售价为元（）时，每周的销售量（件）满足关系式：.
（1）若每周的利润为2000元，且让消费者得到最大的实惠，则售价应定为每件多少元？
（2）当时，求每周获得利润的取值范围.
25．（10分）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
26．（10分）某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为分），测试结束后，张老师从七年级名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）张老师抽取的这部分学生中，共有 名男生， 名女生；
（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是 ；
（3）若将不低于分的成绩定为优秀，请估计七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据题意，应该关注哪种尺码销量最多.
【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故应该关注这组数据中的众数.
故选D
本题考查了数据的选择，根据题意分析，即可完成。属于基础题.
2、C
【解析】△AMN的面积=AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；
解：（1）当0＜x≤1时，如图，
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，
∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴=，
即，=，MN=x；
∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），
∵＞0，
∴函数图象开口向上；
（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，=，
即=，MN=2-x；
∴y=
AP×MN=x×（2-x），
y=-x2+x；
∵-＜0，
∴函数图象开口向下；
综上答案C的图象大致符合．
故选C．
本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．
3、D
【分析】根据方程没有实数根，则解得即可．
【详解】由题意可知：△＝=9﹣4c＜0，
∴c＞，
故选：D．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
4、B
【分析】从题中可以知道，共有5个数，只需求出5个数中为无理数的个数就可以得到答案．
【详解】从，-6，1.2，π，中可以知道
π和为无理数．其余都为有理数．
故从数据，-6，1.2，π，中任取一数，则该数为无理数的概率为，
故选：B．
此题考查概率的计算方法，无理数的识别．解题关键在于掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、B
【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°.
【详解】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°.
∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，
∴∠B＝∠BB1A＝40°.
∴∠AB1C1＝40°.
∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°.
故选B.
本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键.
6、A
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ABC=90°，计算出∠BAC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠D的度数．
【详解】解：∵是⊙的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵，
∴∠BAC=90°-40°=50°，
又∵∠BAC与所对的弧相等，
∴∠D=∠BAC=50°，
故答案为A．
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．
7、B
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．
故选：B．
本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8、B
【解析】先求出抛物线y=2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的顶点坐标，再根据关于x轴对称开口大小不变，开口方向相反求出a的值，即可求出答案.
【详解】抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+1．
故选B．
本题考查了二次函数的轴对称变换，此图形变换包括x轴对称和y轴对称两种方式.二次函数关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 二次函数关于y轴对称的图像，其形状不变，开口方向也不变，因此a值不变，但是顶点位置改变，只要根据关于y轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.
9、B
【分析】根据抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，即可得出结论．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为
故选B．
此题考查的是求抛物线平移后的解析式，掌握抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，是解决此题的关键．
10、B
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】原式＝（x2＋4x−4）
＝（x2＋4x＋4−8）
＝（x＋2）2−2
故选：B．
此题考查了二次函数一般式与顶点式的转换，解答此类问题时只要把函数式直接配方即可求解．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．
【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得，解得．故答案为1．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12、1
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝4，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
而OB＝OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD＝AC＝×4＝1．
故答案为：1．
本题考查了圆周角定理的推论及垂径定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”，及垂径定理是关键．
13、1
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
∴，即，解得，（不合题意，舍去）
故答案为：1．
此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．
14、6π
【分析】直接利用弧长公式计算即可.
【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）
故答案为6π
本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键.
15、1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点P（a，-6）与点Q（-5，3b）关于原点对称，
∴a=5，3b=6，
解得：b=2，
故a+b=1．
故答案为：1．
此题考查关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
16、
【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.
【详解】解：∵，，
∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线上，
∴抛物线的对称轴是直线：x=1，
∴点关于直线x=1对称的点为：（4，4）.
故答案为：（4，4）.
本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，根据题意判断出点（－1，0）与（3，0）在抛物线上、熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键.
17、，
【分析】根据条件得出AD=AP,AC=AB，确定旋转中心，根据条件得出∠DAP=∠CAB=90°，确定旋转角度数.
【详解】解：∵△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转而得，
∴△ABP≌△ACD，
∴∠DAC=∠PAB=60°,AD=AP,AC=AB,
∴∠DAP=∠CAB=90°,
∴△ABP是△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转90°得到的.
故答案为：A，90°
本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键.
18、（6，﹣10）
【分析】根据菱形的性质可知A、C关于直线OB对称，再根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：∵四边形OABC是菱形，
∴A、C关于直线OB对称，
∵A（6，10），
∴C（6，﹣10），
故答案为：（6，﹣10）．
本题考查了菱形的性质和关于x轴对称的点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握菱形的性质是关键．
三、解答题(共66分)
19、画图见解析；点A1(-2，-6)，B1(-8，-4)，C1(-4，-2).
【分析】根据题意利用画位似图形的作图技巧以原点为位似中心，以为位似比作图并结合图像写出△A1B1C1 各顶点的坐标.
【详解】解：利用画位似图形的作图技巧以原点为位似中心，以为位似比作图:
因为=，△A1B1C1 各顶点的坐标为原坐标A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)，横纵坐标互为相反数的2倍，即A1(-2，-6)，B1(-8，-4)，C1(-4，-2).
本题考查位似图形的作图，熟练掌握并利用画位似图形的作图技巧以及位似比进行作图分析是解题的关键.
20、（1）补全图形见解析；（2）BF＝(＋2)cm或BF＝(－2)cm．
【分析】（1）分两种情况：①△DEF在△ABC外部，②△DEF在△ABC内部进行作图即可；
（2）根据（1）中两种情况分别求解即可.
【详解】（1）补全图形如图：
情况Ⅰ：
情况Ⅱ：
（2）情况Ⅰ：
解：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°
∴AF＝AC＝2cm．
∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，
∴BC＝4，AB＝．
∴BF＝(＋2)cm．
情况Ⅱ：
解：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°
∴AF＝AC＝2cm．
∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，
∴BC＝4，AB＝．
∴BF＝(－2)cm．
本题主要考查了勾股定理与解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
21、（1）见解析；（2）见解析，点C2的坐标为（1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）
【解析】(1)作出A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可得到;
(2)把A、B、C绕原点按逆时针旋转90度得到对应点，然后顺次连接即可得到，根据图可写出C2的坐标;
(3)成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标.
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，3）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）．
本题综合考查了轴对称图形和图形的旋转的作图，图形变换的性质，不管是哪一种变化，找对应点是关键.
22、（1）y=﹣2x+100；（2）当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；（3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣成本），代入代数式求出函数关系式，令利润z=41，
求出x的值；
（3）根据厂商每月的制造成本不超过51万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范
围，进而得出最大利润．
【详解】解：（1）由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，60），（25，50）代入得：
解得：
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣2x+100；
（2）设总利润为z，由题意得，
z=y（x﹣18）
=（﹣2x+100）（x﹣18）
=﹣2x2+136x﹣1800；
当z=41时，
﹣2x2+136x﹣1800=41，
解得：x1=28，x2=1．
答：当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；
（3）∵厂商每月的制造成本不超过51万元，每件制造成本为18元，
∴每月的生产量为：小于等于=30万件，
y=﹣2x+100≤30，
解得：x≥35，
∵z=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，
∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，
∴x=35时，z最大为：510万元．
当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
23、（1） （2）点P的坐标；（3）M
【分析】（1）待定系数法即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得M在对称轴上，根据两点之间线段最短，可得M点在线段AB上，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，5）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
【详解】（1）由得，
把代入，
得，
，
抛物线的解析式为；
（2）连接AB与对称轴直线x=1的交点即为P点的坐标（对称取最值），
设直线AB的解析式为,
将A（2，-3），B（-1，0）代入，得y=-x-1，
将x=1代入，得x=-2，
所以点P的坐标为（1，-2）；
（3）设M（）
①以AB为边，则AB∥MN，如图2，
过M作对称轴y于E，AF轴于F，
则
或,
或
∥AM，
如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
综上所述，存在以点ABMN为顶点的四边形是平行四边形，
或或
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
24、（1）售价应定为每件40元；（2）每周获得的利润的取值范围是1250元2250元.
【分析】（1）根据题意列出方程即可求解；
（2）根据题意列出二次函数，根据求出W的取值.
【详解】解：（1）根据题意得，
解得，.
∵让消费者得到最大的实惠，∴.
答：售价应定为每件40元.
（2）
.
∵，∴当时，有最大值2250.
当时，；当时，.
∴每周获得的利润的取值范围是1250元2250元.
此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程或二次函数进行求解.
25、（1）且；（2）8
【分析】（1）利用根的判别式求解即可；
（2）利用求根公式求解即可．
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且.
∴的取值范围是且.
（2）∵是方程的两个根，
∴，，
∴，
即.
解得（舍去），，
经检验，是原方程的解.
故的值是8.
本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，熟记根的判别式以及求根公式是解此题的关键．
26、（1），（2）；（3）（人）
【解析】（1）根据条形统计图将男生人数和女生人数分别加起来即可
（2）众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数
（3）先计算所抽取的80中优秀的人数有14+13+5+7+2+1+1+1=44人，故七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是（人）
【详解】解：（1）男生人数：1+2+2+4+9+14+5+2+1=40（人）
女生人数：1+1+2+3+11+13+7+1+1=40（人）
（2）根据条形统计图，分数为时女生人数达到最大，故众数为27
（3）（人）
本题考查了条形统计图，数据的分析，用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图表，获取每项的准确数值.
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