资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知Rt△ABC中，∠C=90º，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB=
2．下列说法不正确的是（ ）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
3．若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定会下雨 B．明天一定不会下雨
C．明天下雨的可能性较大 D．明天下雨的可能性较小
4．若角都是锐角，以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
5．如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝0
7．使得关于的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的整数的和是( )
A．-8 B．-10 C．-16 D．-18
8．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且，过点O作交BC于点E，若的周长为10，则▱ABCD的周长为
A．14 B．16 C．20 D．18
9．下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．一元二次方程的常数项是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．分解因式：x3﹣16x＝______．
12．如图所示，等边△ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将△ADE沿着DE折叠，点A落在直线BC上，对应点为F，若AB＝4，BF：FC＝1：3，则线段AE的长度为_____．
13．如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率为 ．
14．已知一元二次方程有一个根为0，则a的值为_______.
15．体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点A，B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是______．
16．若方程有两个相等的实数根，则m=________．
17．飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距离是______m
18．若长方形的长和宽分别是关于 x 的方程的两个根，则长方形的周长是_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）水面上升1m，水面宽是多少？
20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，3），C（﹣4，1）．以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点A，B，C旋转后的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）画出△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）求经过点B'，B，A三点的抛物线对应的函数解析式．
21．（6分）一次知识竞赛中，有甲、乙、丙三名同学名次并列，但奖品只有两份，谁应 该得到奖品呢？ 他们决定用抽签的方式来决定：取张大小、质地相同，分别标有数字的卡片，充分混匀后倒扣在桌子上，按甲、乙、丙的顺序，每人从中任意抽取一 张，取后不放回.规定抽到号或号卡片的人得到奖品.求甲、乙两人同时得到奖品 的概率.
22．（8分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于y轴对称图形△A2B2C2，则△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是 ．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
26．（10分）某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨；
(2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【详解】∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB＝，
A、sinA＝，故此选项错误；
B、cosA＝，故此选项错误；
C、tanA＝，故此选项错误；
D、tanB＝，故此选项正确．
故选：D．
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
2、B
【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选B．
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
3、C
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．
【详解】解：气象部门预报明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大，所以只有C合题意．
故选：C．
此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．
4、C
【分析】根据锐角范围内 、 、 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得．
【详解】①∵随 的增大而增大，正确；
②∵随 的增大而减小，错误；
③∵随 的增大而增大，正确；
④若，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得，正确；
综上所述，①③④正确
故答案为：C．
本题考查了锐角的正余弦函数，掌握锐角的正余弦函数的增减性以及互余锐角的正余弦函数间的关系是解题的关键．
5、B
【分析】根据位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可.
【详解】解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B，
∴点B为位似中心
故选B.
此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键.
6、B
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【详解】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1．
故选B．
本题考查二次函数的图象．
7、D
【分析】根据不等式组的解集的情况，得出关于m的不等式，求得m的取值范围，再解分式方程得出x，根据x是非负整数，得出m所有值的和．
【详解】解：∵关于的不等式组有解，
则，
∴ ，
又∵分式方程有非负整数解，
∴ 为非负整数，
∵，
∴ -10，-6，-2
由，
故答案选D．
本题考查含参数的不等式组及含参数的分式方程，能够准确解出不等式组及方程是解题的关键．
8、C
【解析】由平行四边形的性质得出，，，再根据线段垂直平分线的性质得出，由的周长得出，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为10，
，
平行四边形ABCD的周长；
故选：C．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9、A
【解析】A既是轴对称图形，又是中心对称图形;
B是轴对称图形，不是中心对称图形;
C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
【详解】
请在此输入详解！
10、A
【分析】在一元二次方程的一般形式下，可得出一元二次方程的常数项．
【详解】解：由，
所以方程的常数项是
故选A．
本题考查的是一元二次方程的一般形式及各项系数，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x（x+4）（x–4）.
【解析】先提取x，再把x2和16=42分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
解：原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4），
故答案为x（x+4）（x﹣4）．
12、或14
【解析】点E在直线AC上，本题分两类讨论，翻折后点F在BC线段上或点F在CB延长线上，根据一线三角的相似关系求出线段长．
【详解】解：按两种情况分析：①点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知
∠A＝∠DFE＝60°
∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C
∴△BDF∽△CFE，∴
∵AB＝4，BF：FC＝1：3
∴BF＝1，CF＝3
设AE＝x，则EF＝AE＝x，CE＝4﹣x
∴
解得BD＝，DF＝
∵BD+DF＝AD+BD＝4
∴
解得x＝，经检验当x＝时，4﹣x≠0
∴x＝是原方程的解
②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知
△BDF∽△CFE
∴
∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6
设AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4
∴
解得BD＝，DF＝
∵BD+DF＝BD+AD＝4
∴解得a＝14
经检验当a＝14时，a﹣4≠0
∴a＝14是原方程的解，综上可得线段AE的长为或14
故答案为或14
本题考查了翻折问题，根据点在不同的位置对问题进行分类，并通过一线三角形的相似关系建立方程是本题的关键．
13、.
【解析】根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是，
即某一个电子元件不正常工作的概率为，
则两个元件同时不正常工作的概率为；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为1-=.
故答案为：.
14、-1
【解析】将x=0代入原方程可得关于a的方程，解之可求得a的值，结合一元二次方程的定义即可确定出a的值.
【详解】把x=0代入一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-1=0，
可得a2+3a-1=0，
解得a=-1或a=1，
∵二次项系数a-1≠0，
∴a≠1，
∴a=-1，
故答案为-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式以及一元二次方程的解，熟知一元二次方程二次项系数不为0是解本题的关键.
15、小智
【分析】通过比较线段的长短，即可得到OC＞OD＞OB＞OA，进而得出表示最好成绩的点为点C．
【详解】由图可得，OC＞OD＞OB＞OA，
∴表示最好成绩的点是点C，
故答案为：小智．
本题主要参考了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
16、4
【解析】∵方程x²−4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b²−4ac=16−4m=0，
解之得，m=4
故本题答案为：4
17、6
【分析】先求出飞机停下时，也就是滑行距离最远时，s最大时对应的t值，再求出最后2s滑行的距离.
【详解】由题意，
y＝60t－t2，
＝−（t−20）2＋600，
即当t＝20秒时，飞机才停下来．
∴当t=18秒时，y=−（18−20）2＋600=594m，
故最后2s滑行的距离是600-594=6m
故填：6.
本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值,再根据题意进行求解．
18、6
【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据根与系数的关系得a+b=3，即可得到结论．
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
根据题意得，a+b=3，
所以长方形的周长是2×（a+b）=6.
故答案为：6.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=.
三、解答题(共66分)
19、（1）y=﹣x2+2x；（2）2m
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（3）在所求函数解析式中求出y=1时x的值即可得．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将点O（0，0）、A（4，0）、P（3，）代入，得：
解得：
，
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；
（2）当y=1时，﹣x2+2x=1，即x2﹣4x+2=0，
解得：x=2，
则水面的宽为2+﹣（2﹣）=2（m）．
答：水面宽是：2m．
考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把B（0，1）代入求出a即可．
【详解】解：（1）如图△A'B'C'即为所求．A′（0，2），B′（1，0），C′（1，4）
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），
把B（0，1）代入得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．
本题考查的知识点是求抛物线解析式以及图形的旋转变换，根据旋转的性质得出A′，B′，C′的坐标是解此题的关键．
21、
【分析】根据题意画树状图求概率.
【详解】解：根据题意，画树状图为：
三人抽签共有种结果，且得到每种结果的可能性相同，其中甲和乙都抽到号或号卡片的结果有两种。
甲、乙两人同时得到奖品的概率为
本题考查画树状图求概率，正确理解题意取后不放回并正确画出树状图是本题的解题关键.
22、（1）75；4；（2）CD=4．
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴．
又∵AO=3，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD=1：3，
∴．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=1．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，
解得：CD=4．
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
23、（1）见解析；（2）DC＝6.4cm；（3）当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理即可得到结论；
（2）由△ACD∽△BAC，得，结合＝8cm，即可求解；
（3）若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF＝BE时， ②当EF＝EB时，③当FB＝FE时，分别求出t的值，即可．
【详解】（1）∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
又AC⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）在Rt△ABC中，＝8cm，
由（1）知，△ACD∽△BAC，
∴ ，
即: ，解得：DC＝6.4cm；
（3）△BEF能为等腰三角形，理由如下：
由题意得：AF＝2t，BE＝t，
若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得：t=；
②当EF＝EB时，如图1，过点E作AB的垂线，垂足为G，
则，此时△BEG∽△BAC，
∴，即 ，
解得：t=；
③当FB＝FE时，如图2，过点F作AB的垂线，垂足为H，
则，此时△BFH∽△BAC，
∴，即 ，
解得：；
综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
本题主要考查相似三角形的判定和性质的综合以及等腰三角形的性质与勾股定理，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．
24、（1）作图见解析；（2）关于x轴对称．
【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到关于原点的中心对称图形△；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△，进而根据图形位置得出△与△的位置关系．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是关于x轴对称．
故答案为：关于x轴对称．
本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换作图，掌握轴对称性的性质以及中心对称的性质是解决问题的关键．
25、（1）画图见解析，依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；（2）⊙O的半径为1．
【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论．
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）过P点作AB的垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图．
依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
（2）如图，连接OD，
∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝CD，
∵CD＝8，
∴PD＝2．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣2）2+22，
解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
26、 (1)第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨；(2)精加工数量为75吨时，获得最大利润，最大利润为85000元．
【详解】试题分析：（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．构建方程组即可解决问题．
（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工吨．由m≤3，解得m≤75，利润w=1000m+400=600m+40000，构建一次函数的性质即可解决问题．
试题解析：（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．
由题意，
解得，
答：第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．
（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工吨．
由m≤3，解得m≤75，
利润w=1000m+400=600m+40000，
∵600＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=75时，w有最大值为85000元．
考点：1、一次函数的应用；2、二元一次方程组的应用
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