资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．使分式有意义的x的取值范是（ ）
A．x≠3 B．x＝3 C．x≠0 D．x＝0
2．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为( )
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）其中结论错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AB＝4，AD＝4，则∠BCD的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
9．如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
10．一元二次方程的正根的个数是( )
A． B． C． D．不确定
11．如图，⊙是的外接圆，，则的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
12．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC，若sinC＝，BC＝12，则AD的长_____．
14．如图，圆锥的母线长为5，底面圆直径CD与高AB相等，则圆锥的侧面积为_____．
15．若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为________．
16．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
17．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝__．
18．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，BA平分∠EBD，AE＝AB．
（1）求证：AC＝AD．
（2）当，AD＝6时，求CD的长．
21．（8分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a= ，b= ，样本成绩的中位数落在 范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？
22．（10分）某校组织了一次七年级科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品，C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图①和图②两幅尚不完整的统计图中.
（1）B班参赛作品有多少件？
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个班的获奖率高？
23．（10分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(-4，2)，BA⊥轴于A．
(1)画出将△OAB绕原点旋转180°后所得的 △OA1B1 ，并写出点B1 的坐标；
(2)将△OAB平移得到△O2A2B2，点A的对应点是 A2 （-2，4），点B的对应点B2 ，在坐标系中画出 △O2A2B2 ；并写出B2的坐标；
(3)△OA1B1与△O2A2B2成中心对称吗？若是， 请直接写出对称中心点P的坐标．
25．（12分）在直角三角形中，，点为上的一点，以点为圆心，为半径的圆弧与相切于点，交于点，连接.
（1）求证:平分；
（2）若，求圆弧的半径；
（3）在的情况下，若，求阴影部分的面积(结果保留和根号)
26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案．
【详解】分式有意义，则1-x≠0，
解得：x≠1．
故选A．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
2、C
【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
3、A
【解析】根据勾股定理求出AB的长，在求出∠ACD的等角∠B，即可得到答案.
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠C=90°,
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,
∴∠B=∠ACD=α,
∴.
故选：A.
此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.
4、C
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
【详解】过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为5，
∴BD=OB•cos∠OBC=，
∴BC=5，
故选C．
本题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.
5、B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线可知： ，，
对称轴，
∴，
∴，故①错误；
②由对称轴可知： ，
∴，
，故②错误；
③关于的对称点为，
∴时，，故③正确；
④当时，y的最小值为，
∴时， ，
∴，
故④正确
故选：B.
本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.
6、C
【解析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.
【详解】A. =3，故不是最简二次根式；
B. =，故不是最简二次根式；
C. ，是最简二次根式；
D. =，故不是最简二次根式；
故选C.
本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式.
7、A
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．
【详解】∵，分别为，的中点，
∴MN是∆OBC的中位线，
∴OB=2MN=2×3=6，
∵四边形是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，
∵AB=6，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴=30°．
故选A．
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．
8、A
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，连接OA，如图，利用垂径定理和解直角三角形的知识分别在Rt△AOE和Rt△AOF中分别求出∠OAE和∠OAF的度数，进而可得∠EAF的度数，然后利用圆内接四边形的性质即可求得结果.
【详解】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，连接OA，如图，则AE＝AB＝2，AF＝AD＝2，
在Rt△AOE中，∵cos∠OAE＝，∴∠OAE＝30°，
在Rt△AOF中，∵cos∠OAF＝，∴∠OAF＝45°，
∴∠EAF＝30°+45°＝75°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣75°＝105°．
故选：A．
本题考查了垂径定理、解直角三角形和圆内接四边形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.
9、B
【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜1．
故选B．
10、B
【分析】解法一：根据一元二次方程的解法直接求解判断正根的个数；解法二：先将一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的根与系数的关系即可判断正根的个数．
【详解】解：解法一：化为一般式得，，
∵a=1，b=3，c=−4，
则，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，，
所以一元二次方程的正根的个数是1；
解法二：化为一般式得，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
则、必为一正一负，所以一元二次方程的正根的个数是1；
故选B．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键；如果只判断正根或负根的个数，也可灵活运用一元二次方程的根与系数的关系进行判断．
11、C
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】连接OB，
∵OC＝OB，∠BCO＝20 ，
∴∠OBC＝20 ，
∴∠BOC＝180 −20 −20 ＝140 ，
∴∠A＝140 ×＝70 ，
故选：C．
本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
12、C
【解析】A选项，∵在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确；
B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；即B正确；
C选项，因为添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；
D选项，因为由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”可证明AD平分∠BAC，从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA证得AE=DE，结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形，所以D正确.
故选C.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝，然后利用AD＝12x进行计算．
【详解】在Rt△ADC中，sinC＝＝，
设AD＝12x，则AC＝13x，
∴DC＝＝5x，
∵cos∠DAC＝sinC＝，
∴tanB＝，
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝，
而AD＝12x，
∴BD＝13x，
∴13x+5x＝12，解得x＝，
∴AD＝12x＝1．
故答案为1．
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
14、5π
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长进行计算．
【详解】解：设CB＝x，则AB＝2x，
根据勾股定理得：x2+（2x）2＝52，
解得：x＝，
∴底面圆的半径为，
∴圆锥的侧面积＝××2π×5＝5π．
故答案为：5π．
本题考查圆锥的面积，熟练掌握圆锥的面积公式及计算法则是解题关键.
15、
【分析】设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0），把A（3，8）代入函数解析式求出k，得出函数解析式，把B点的坐标代入，即可求出答案．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 (k为常数,k≠0)，
把A(3,8)代入函数解析式得：k=24，
即，
把B点的坐标代入得：
故答案为−6.
考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
16、24
【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.
【详解】12÷=36（个），
36-12=24（个），
答：黄球个数为24个.
故答案是：24.
本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.
17、1
【分析】根据白球的概率公式列出方程求解即可．
【详解】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有（n+4）个球，其中白球4个，
根据概率公式知：P（白球）＝，
解得：n＝1，
故答案为：1．
此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P.
18、14
【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=ab=×6×8=14cm1，
故答案为14．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
20、（1）证明见解析；（2）CD=1．
【分析】（1）利用BA平分∠EBD得到∠ABE＝∠ABD，再根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，利用等量代换得到∠ACD＝∠ADC，从而得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ABE，则可证明△ABE∽△ACD，然后根据相似比求出CD的长．
【详解】（1）证明：∵BA平分∠EBD，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD；
（2）解：∵AE＝AB，
∴∠E＝∠ABE，
∴∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝＝，
∴CD＝AD＝×6＝1．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理．
21、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．
【解析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；
（2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用1000乘以样本中该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生比例即可得.
【详解】（1）由统计图可得，
a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，
样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，
故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；
（2）由（1）知，b=20，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）1000×=200（人），
答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数等，读懂统计图与统计表，从中找到必要的信息是解题的关键.
22、（1）B班参赛作品有25件；（2）补图见解析；（3）C班的获奖率高.
【分析】（1）直接利用扇形统计图中百分数，求出B班所占的百分比，进而求出B班参赛作品数；
（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%，结合C班参赛数量得出获奖数量，从而补全统计图；
（3）分别求出各班的获奖率，进行比较从而得出答案.
【详解】解：（1）B班参赛作品有；
（2）C班参赛作品获奖数量为，
补图如下：
；
（3）A班的获奖率为 ，
B班的获奖率为，
C班的获奖率为50%，
D班的获奖率为，
故C班的获奖率高.
23、解：（1）1．
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【解析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数：（人）．
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可．
（3）根据题意列出表格或画树状图，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
24、（1）图见解析，B1（4，-2）；（2）△图见解析，B2（-2，6）（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（1，2）．
【分析】（1）找出点A，点B关于原点O的对称点A1，B1，顺次连接起来即可；
（2）找出点A，点B，点O的对应点，顺次连接起来即可；
（3）根据中心对称图形的性质，找出对称中心P，写出坐标，即可．
【详解】（1）△OA1B1如图所示；B1（4，-2）；
（2）△OA2B2如图所示；B2（-2，6）；
（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（1，2）
本题主要考查图形变换和坐标，熟练掌握平变换和旋转变换的性质，是解题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）2；（3）.
【分析】（1）连接，由BC是圆的切线得到，利用内错角相等，半径相等，证得；
（2）过点作，根据垂径定理得到AH=1，由，利用勾股定理得到半径OA的长；
（3）根据勾股定理求出BD的长，再分别求出△BOD、扇形POD的面积，即可得到阴影部分的面积.
【详解】证明：（1）连接，
为半径的圆弧与相切于点，
，
，
又，
，
，
平分
（2）过点作，垂足为，
，
在四边形中， ，
四边形是矩形，
，
在中， ；
（3）在中，，
，，
∴.
，
，
.
此题考查切线的性质，垂径定理，扇形面积公式，已知圆的切线即可得到垂直的关系，圆的半径，弦长，弦心距，根据勾股定理与垂径定理即可求得三个量中的一个.
26、（1）图形见解析；（2）P点坐标为（，﹣1）．
【分析】（1）分别作出点A、B关于点C的对称点，再顺次连接可得；由点A的对应点A2的位置得出平移方向和距离，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接可得；
（2）连接A1A2、B1B2，交点即为所求．
【详解】（1）如图所示：A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0）；A2（0，-4）、B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4）．
（2）将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心的P点坐标为（，﹣1）．
本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，解题关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．
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