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2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．张华同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影长为米，同时与他邻近的一棵树的影长为米，则这棵树的高为（）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．如图，若点M是y轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥x轴，分别交函数y＝（y＞0）和y＝（y＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ，则下列结论正确是（ ）
A．∠POQ不可能等于90°
B．
C．这两个函数的图象一定关于y轴对称
D．△POQ的面积是
5．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x2 B．（x3）2＝x5 C． D．
6．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知关于的方程（1）（2）（3）（4），其中一元二次方程的个数为（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．以上结论均不正确
10．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（ ）
A．1 B．1 C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点交于点轴于点交于点，则四边形的面积为_______________________．
12．在平面直角坐标系中，已知，，，若线段与互相平分，则点的坐标为______.
13．有一个二次函数的图象,三位同学分别说了它的一些特点:甲:图象与轴只有一个交点；乙:图象的对称轴是直线丙:图象有最高点，请你写出一个满足上述全部特点的二次函数的解析式__________.
14．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．
15．在不透明的袋子中有红球、黄球共个，除颜色外其他完全相同.将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程， 摸了次后，发现有次摸到红球，则口袋中红球的个数大约是_________________.
16．如图，等边边长为2，分别以A，B，C为圆心，2为半径作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是著名的等宽曲线——鲁列斯三角形，则该鲁列斯三角形的面积为___________．
17．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且BC=3BE，AF平分∠DAE，交DC于点F，若AB=3，则点F到AE的距离为___________．
18．已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，的直径AB为20cm，弦，的平分线交于D，求BC，AD，BD的长．
20．（6分）如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，.
（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的；
（2）若内部一点的坐标为，则点对应点的坐标是______；
（3）求出变化后的面积 ______ .
21．（6分）如图，抛物线过点，，直线交抛物线于点，点的横坐标为，点是线段上的动点．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）过点的直线垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长度与的关系式，为何值时，最长？
（3）是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图①，在与中，，.
（1）与的数量关系是：______.
（2）把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.
①求证：.
②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由.
（3）若，，把图①中的绕点顺时针旋转，直接写出长度的取值范围.
23．（8分）某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元，求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率．
24．（8分）如图，在平行四边形中，为边上一点，平分，连接，已知，.
求的长；
求平行四边形的面积；
求.
25．（10分）用适当的方法解下方程：
26．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，
(1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为，,
解得，x=3.1．
故选：A．
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
2、B
【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：(风景画的长+2个纸边的宽度)×(风景画的宽+2个纸边的宽度)=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【详解】依题意，设金色纸边的宽为，则：
，
整理得出：．
故选：B．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
3、C
【分析】将x=2代入原方程即可求出a的值．
【详解】将x＝2代入x2﹣ax＝0，
∴4﹣2a＝0，
∴a＝2，
故选：C．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
4、D
【分析】利用特例对A进行判断；根据反比例函数的几何意义得到S△OMQ＝OM•QM＝﹣k1，S△OMP＝OM•PM＝k2，则可对B、D进行判断；利用关于y轴对称的点的坐标特征对C进行判断．
【详解】解：A、当k1＝3，k2＝﹣，若Q（﹣1，），P（3，），则∠POQ＝90°，所以A选项错误；
B、因为PQ∥x轴，则S△OMQ＝OM•QM＝﹣k1，S△OMP＝OM•PM＝k2，则＝﹣，所以B选项错误；
C、当k2＝﹣k1时，这两个函数的图象一定关于y轴对称，所以C选项错误；
D、S△POQ＝S△OMQ+S△OMP＝|k1|+|k2|，所以D选项正确．
故选：D．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
5、D
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意；
B．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
本题主要考查了算术平方根、立方根、同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记修改运算法则是解答本题的关键．
6、D
【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论，然后再对照选项即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当k＜0时，反比例函数y＝在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向下，故A、B、C、D都不符合题意；
②当k＞0时，反比例函数y＝在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项D正确；
故选：D．
本题主要考查反比例函数与二次函数的图象，掌握k对反比例函数与二次函数的图象的影响是解题的关键．
7、C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：（1）ax2+x+1=0中a可能为0，故不是一元二次方程；
（2）符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程；
（3），去括号合并后为，是一元二次方程；
（4）x2=0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
所以是一元二次方程的有三个，
故选：C．
本题主要考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于0才可以．
8、D
【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S□ABCD=×b=1．
故选D．
9、B
【分析】利用互余两角的三角函数关系，得出．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：B．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于另一个锐角的余角的余弦值则这两个锐角互余．
10、B
【分析】利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．
【详解】解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=2.5﹣1.5=1，
如图3，AB=AD﹣BD=1.5﹣1=0.5，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴，
即，
∴BF=0.5，
∴CF=BC﹣BF=1.5﹣0.5=1．
故选B．
此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=，S矩形PCOD=3，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．
【详解】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△AOC=S△BOD=×=，S矩形PCOD=3，
∴四边形PAOB的面积=3－－=1
故答案为：1．
本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
12、
【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形的性质得出D点坐标．
【详解】解：如图所示：
∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
故答案为：（5，3）．
此题考查了平行四边形的性质，图形与坐标，正确画出图形是解题关键．
13、（答案不唯一）
【解析】利用二次函数的顶点式解决问题即可．
【详解】由题意抛物线的顶点坐标为（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）1．
∵开口向下，可取a=－1，∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）1．
故答案为y=－（x﹣3）1（答案不唯一）．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14、1．
【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】设此圆锥的底面半径为r．
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr，
解得：r=1．
故答案为1．
本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15、
【分析】根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.3，然后根据概率公式计算袋中红球的个数.
【详解】解：设袋中红球个数为x个，
∵共摸了100次球，有30次是红球，
∴估计摸到红球的概率为0.3，
∴ ，
解得，x=12.
∴口袋中红球的个数大约是12个.
故答案为：12.
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，频率越来越稳定，这个固定的频率值近似等于这个事件的概率.
16、
【分析】求出一个弓形的面积乘3再加上△ABC的面积即可．
【详解】
过A点作AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴AC=BC=2，CD=BC=1
∴AD=
∴弓形面积=
.
故答案为：
本题考查的是阴影部分的面积，掌握扇形的面积计算及等边三角形的面积计算是关键．
17、
【分析】延长AE交DC延长线于M，关键相似求出CM的长，求出AM长，根据角平分线性质得出比例式，代入求出即可．
【详解】延长AE交DC延长线于M，
∵四边形ABCD是正方形，BC=3BE，BC=3，
∴AD=DC=BC=AB=3，∠D=90°，BE=1，CE=2，AB∥DC，
∴△ABE∽△MCE，
∴，
∴CM=2AB=6，
即DM=3+6=9，
由勾股定理得：，
∵AF平分∠DAE，
∴，
∴，
解得：，
∵AF平分∠DAE，∠D=90°，
∴点F到AE的距离=，
故答案为：．
本题考查了角平分线性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
18、或
【分析】由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
【详解】∵点P满足PD＝，
∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，
∴BD＝4，
∵∠BPD＝90°，
∴BP＝＝3，
∵∠BPD＝90°＝∠BAD，
∴点A，点B，点D，点P四点共圆，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AH＝HP，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴16＝AH2+（3﹣AH）2，
∴AH＝（不合题意），或AH＝，
若点P在CD的右侧，
同理可得AH＝，
综上所述：AH＝或．
本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D为圆心，为半径的圆和以BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．
三、解答题(共66分)
19、BC=16cm，AD=BD=10cm．
【解析】利用圆周角定理及勾股定理即可求出答案.
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= =16（cm）；
∵CD是∠ACB的平分线，
∴，
∴AD=BD，
∴AD=BD= ×AB=10（cm）．
20、 (1)见解析;(2) ；(3)10
【分析】（1）把B、C的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）利用（1）中对应点的关系求解；
（3）先计算△OBC的面积，然后利用相似的性质把△OBC的面积乘以4得到△OBꞌCꞌ的面积．
【详解】解：（1）如图， 为所作；
（2）点对应点的坐标是；
（3）的面积.
本题考查了作图-位似变换：熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．
21、（1），；（2）当时，线段的长度有最大值，最大值为；（3）存在，，，
【分析】（1）由题意，利用待定系数法，先求出二次函数的解析式，然后再求出直线AD的解析式；
（2）根据题意，先得到l与m的函数关系式，再依据函数的最值，可求m为何值时，PQ最长，PQ的最大值也能求出；
（3）根据题意，由为等腰三角形，可分为三种情况进行分析：BP=BD或BP=DP或BD=DP，分别求出点P的坐标，然后求出点Q的坐标即可．
【详解】解：（1）将，代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入点，，得
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵在线段上，
∴，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
即，
∴当时，线段的长度有最大值，最大值为；
（3）存在；
理由如下：根据题意，则
∵为等腰三角形，
∴可分为三种情况进行讨论：
①当BP=BD时，此时点P恰好是线段AD与y轴的交点，如图：
∵，，
又∵点P为（0，）
∴BD=，BP=，
∴BP=BD，
∴点Q与点C重合，
在，令x=0，则y=；
∴点Q为（0，）；
②当BP=DP，作PE⊥BD于点E，
∴点E为（，），
∵直线BD的斜率为：，
∴直线PE的斜率为：，
∴直线PE的解析式为：；
联合直线PE与直线AD，则有
，解得：，
∴点P的坐标为（，），
∴点Q的坐标为：；
③当BD=DP，则设点P为（m，m1），
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴点P为（，），
∴点Q的坐标为：；
综合上述，有，，．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质等知识，应用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
22、（1）=；（2）①详见解析；②，理由详见解析；（3）.
【分析】（1）根据线段的和差定义即可解决问题；
（2）①②只要证明，即可解决问题；
（3）由三角形的三边关系即可解决问题
【详解】解：（1）=
（2）①证明：由旋转的性质，得.
∴，即
.
∵，，
∴.∴.
②.理由：
∵，∴.
∵，
∴，
∴.
（3）.
本题考查了三角形全等的证明和三角形三边之间的关系，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握
23、该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%
【解析】设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据该企业2015年及2017年的年利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．
答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24、 (1)10;(2)128;(3)
【分析】（1）先根据平行四边形的性质和角平分线的性质求得，然后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出CD=10，再根据勾股定理逆定理可得，即可说明CE是平行四边形的高，最后求面积即可；
（3）先求出BC的长，再根据勾股定理求出BE的长，最后利用余弦的定义解答即可.
【详解】解：四边形是平行四边形
又平分
四边形是平行四边形.
在中，
.
四边形是平行四边形
且
中，
本题考查了平行四边形、勾股定理以及锐角的三角函数等知识，其中掌握平行四边形的性质是解答本题的关键.
25、x=3或1
【分析】移项，因式分解得到，再求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴x-3=0或x-1=0，
∴x=3或1．
本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据方程的形式选择因式分解法．
26、（1）见解析（2）AF=2
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=,∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴
∴AF=
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