资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为( )
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．将点A（﹣3，4）绕原点顺时针方向旋转180°后得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
6．在矩形中，的角平分线与交于点，的角平分线与交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+1
8．如图所示的几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边落在对角线 BD上，点A落在点A' 处，折痕为DG，求AG的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
10．如图的的网格图，A、B、C、D、O都在格点上，点O是（ ）
A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC缩小，使变换得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为____．
12．某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰．现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来．请你根据图中数据判断这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？________．（填“会”或“不会”）
13．如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为______．
14．如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ．
15．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为_____．
16．设x1，x2是一元二次方程7x2﹣5=x+8的两个根，则x1+x2的值是_____．
17．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝_____.
18．如图，的直径长为6，点是直径上一点，且，过点作弦，则弦长为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，的半径为，是的直径，是上一点，连接、.为劣弧的中点，过点作，垂足为，交于点，，交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，如图2.
①求的长；
②图中阴影部分的面积等于_________.
20．（6分）解一元二次方程：x2﹣5x+6＝1．
21．（6分）某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
求一次函数的表达式；
若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
22．（8分）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于两点，与轴交于点连接其中点坐标．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线与抛物线交于点与轴交于点求的面积；
（3）在直线下方抛物线上有一点过作轴交直线于点.四边形为平行四边形，求点的坐标．
23．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．
（2）求点B绕点O旋转到点B′的路径长（结果保留π）．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点从点运动到点停止，连接，以长为直径作.
（1）若，求的半径；
（2）当与相切时，求的面积；
（3）连接，在整个运动过程中，的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由.
25．（10分）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图1，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交、于点、.求证：.
图1 图2
（1）本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程.
（2）如图2，若点和点在的两侧，、的延长线交于点，的延长线交于点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长.
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径;
（2）求图中阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
∴能构成三角形的概率为：，
故选C．
点睛：此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2、A
【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．
【详解】解：如图所示，连接OD．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD=16，
∴CE=DE=CD=8，
又∵OD=AB=10，
∵CD⊥AB，∴∠OED=90°，
在Rt△ODE中，DE=8，OD=10，
根据勾股定理得：OE==6，
则OE的长度为6，
故选：A．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理是解答此题的关键．
3、A
【分析】根据点A（﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B，即可得出答案．
【详解】解：根据点A（﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B，可知A、B两点关于原点对称，
∴点B坐标为（3，﹣4），
故选：A．
本题考查坐标与图形变换—旋转，解题关键是熟练掌握旋转的旋转.
4、D
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理可知CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长．
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
过点O作OD⊥BC于点D，
∵OD过圆心，
∴CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，
∴CD=OC×sin60°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选D．
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5、D
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠O＝2∠A，进而可得答案．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°−70°×2＝40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝40°×2＝80°，
故选：D．
此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
6、D
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC＋CG进行计算即可．
【详解】延长EF和BC，交于点G，
∵3DF＝4FC，
∴，
∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝7，
∴直角三角形ABE中，BE＝，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
∴△EFD∽△GFC，
∴，
设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7＋4x＝BC，
∵BG＝BC＋CG，
∴7＋4x＋3x＝7，
解得x＝−1，
∴BC＝7＋4x＝7＋4−4＝3＋4，
故选：D．
本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
7、B
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，得到平移后解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2，
∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2+2，即y＝（x﹣3）2；
故选：B．
考核知识点：二次函数图象.理解性质是关键.
8、D
【解析】根据左视图是从几何体左面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的左视图为长方形，据此观察选项即可得.
【详解】观察实物，可知这个几何体的左视图为长方形，
只有D选项符合题意，
故选D.
【详解】本题考查了几何体的左视图，明确几何体的左视图是从几何体的左面看得到的图形是解题的关键.注意错误的选项B、C.
9、A
【分析】由在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，由折叠的性质，即可求得A′B的长，然后设AG=x，由勾股定理即可得：，解此方程即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴
由折叠的性质,可得：A′D=AD=3,A′G=AG,
∴A′B=BD−A′D=5−3=2，
设AG=x，
则A′G=x，BG=AB−AG=4−x，
在Rt△A′BG中,由勾股定理得：
∴
解得：
∴
故选：A．
考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10、B
【分析】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，利用勾股定理分别求出OA、OB、OC、OD的长，根据O点与三角形的顶点的距离即可得答案.
【详解】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，
∴OA==，
OB==，
OC==，
OD==，
∵OA=OB=OC=，
∴O为△ABC的外心，
故选B.
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (1，)或(－1，－)
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．本题中k＝1或−1．
【详解】解：∵两个图形的位似比是1：（−）或1：，AC的中点是（4，3），
∴对应点是（1，）或（−1，−）．
本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．
12、不会
【分析】根据斜坡的坡度的定义，求出坡度，即可得到答案．
【详解】∵∆ABC是等腰三角形，AB=AC=13m，AH⊥BC，
∴CH=BC=12m，
∴AH=m，
∴楼顶的坡度=，
∴这一楼顶铺设的瓦片不会滑落下来．
故答案是：不会．
本题主要考查斜坡坡度的定义，掌握坡度的定义，是解题的关键．
13、
【分析】作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，再证明∽，然后利用相似三角形的性质得到的值，即可得出．
【详解】解：作轴于C，轴于D，如图，
点A、B分别在反比例函数，的图象上，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
故答案为．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
14、．
【解析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∠A的度数，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠α的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A=∠A′=138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠α=360°-∠A-∠B-∠C =360°-60°-138°-75°==87°．
故答案为87°．
此题考查了相似多边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等定理的应用．
15、
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=1，
所以所围成的圆锥的高=
考点：圆锥的计算．
16、
【解析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系直接求解即可．
【详解】把方程7x2-5=x+8化为一般形式可得7x2-x-13=0，
∵x1，x2是一元二次方程7x2-5=x+8的两个根，
∴x1+x2=.
故答案是：.
主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
17、1.
【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答即可．
【详解】解：∵在⊙O中，，AB＝1，
∴AC=AB=1．
故答案为1．
本题考查圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
18、
【分析】连接OA，先根据垂径定理得出AE=AB，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出AE的长，进而可得出结论．
【详解】连接AO，
∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD于点E，
∴AE=AB．
∵CD=6，
∴OC=3，
∵CE=1，
∴OE=2，
在Rt△AOE中，
∵OA=3，OE=2，
∴AE=，
∴AB=2AE=．
故答案为：．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）①，②.
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形三线合一的性质证得OC⊥BF，再根据CG∥FB即可证得结论；
（2）①根据已知条件易证得是等边三角形，利用三角函数可求得的长，根据三角形重心的性质即可求得答案；
②易证得，利用扇形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）连接.
是的中点，
.
又，
.
，
.
是的切线.
（2）①，
∴.
，
.
∴是等边三角形.
，，
又的半径为，
在中，,
∵BF⊥OC，CD⊥OB，BF与CD相交于E，点E是等边三角形OBC的垂心，也是重心和内心，
∴.
②∵AF∥BC，
∴
∴.
要题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的知识，扇形的面积公式，根据三角形重心的性质求得的长是解题的关键.
20、x1＝2，x2＝2
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】∵x2﹣5x+6＝1，
∴(x﹣2)(x﹣2)＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝2，x2＝2．
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
21、（1）；（2）销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元．
【分析】（1）根据题意将（65,55）,（75,45）代入解二元一次方程组即可；（2）表示出利润解析式,化成顶点式讨论即可解题.
【详解】解：根据题意得，
解得．
所求一次函数的表达式为．
（2）
，
∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
又因为获利不得高于45%，60
所以，
∴当时，．
∴当销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元．
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,表示出二次函数的解析式是解题关键.
22、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据对称轴公式及点A 坐标建立方程组求解即可；
（2）根据直线表达式求出点E坐标，再联立直线与抛物线的表达式求交点C、D的坐标，利用坐标即可求出的面积；
（3）根据点Q在抛物线上设出点Q坐标，再根据P、Q之间的关系表示出点P的坐标，然后利用平行四边形的性质得到BE=PQ，从而建立方程求解即可．
【详解】解：（1）由题可得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）在中，令，得，
∴，
由，解得或，
∴，
∴；
（3）在中，令，得，
解得或，
∴，
∴BE=1，
设，则，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得：，
解得：或，
当时，点Q与点B重合，故舍去，
∴．
本题为二次函数综合题，熟练掌握对称轴公式、待定系数法求表达式、交点坐标的求法以及平行四边形的性质是解题的关键．
23、（1）画图见解析；（2）点B绕点O旋转到点B′的路径长为．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B′的路径长．
【详解】（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）OB＝＝3，点B绕点O旋转到点B′的路径长＝＝π．
本题考查作图﹣旋转变换和旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
24、（1）；（2）；（3）是，
【分析】（1）若，则 ,代入数值即可求得CD,从而求得的半径.
（2）当与相切时，则CD⊥AB，利用△ACD∽△ABO，得出比例式求得CD，AD的长，过P点作PE⊥AO于E点，再利用△CPE∽△CAD，得出比例式求得P点的坐标，即可求得△POB的面积.
（3）①若 与AB有一个交点，则与AB相切，由（2）可得PD⊥AB，PD= ,则 ②若 与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，过P点作PG⊥AB于G点，则DG= ，PG为△DCF的中位线，PG= , 则,综上所述，△PAB的面积是定值，为 .
【详解】（1）根据题意得：OA=8，OB=6，OC=3
∴AC=5
∵
∴
即
∴CD=
∴ 的半径为
（2）在直角三角形AOB中，OA=8，OB=6，
∴AB= ，
当与相切时，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO
∴△ACD∽△ABO
∴ ，即
∴CD=3，AD=4
∵CD为圆P的直径
∴CP=
过P点作PE⊥AO于E点，
则∠PEC=∠ADC=90°，∠PCE=∠ACD
∴△CPE∽△CAD
∴
即
∴CE=
∴OE=
故P点的纵坐标为
∴△POB的面积=
（3）①若 与AB有一个交点，则与AB相切，
由（2）可得PD⊥AB，PD= ,则
②若 与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，
由（2）可得CF=3，
过P点作PG⊥AB于G点，则DG= ，PG为△DCF的中位线，PG= ,
则.
综上所述，△PAB的面积是定值，为 .
本题考查的是圆及相似三角形的综合应用，熟练的掌握直线与圆的位置关系，相似三角形的判定是关键.
25、（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）如图1中，延长CD交⊙O于H．想办法证明∠3=∠4即可解决问题．
（2）成立，证明方法类似（1）．
（3）构建方程组求出BD，DF即可解决问题．
【详解】（1）延长交于；
∵为直径，
∴.
∵
∴
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
∴
（2）成立；
∵为直径，
∴.
∵
∴
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
∴
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∴.
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26、 (1) 2 ;(2)π-2.
【分析】（1）因为AB⊥DE，求得CE的长，因为DE平分AO，求得CO的长，根据勾股定理求得⊙O的半径
（2）连结OF，根据S阴影=S扇形– S△EOF求得
【详解】解：（1）∵直径AB⊥DE
∴
∵DE平分AO
∴
又∵
∴
在Rt△COE中，
∴⊙O的半径为2
（2）连结OF
在Rt△DCP中，
∵
∴
∴
∵
∴S阴影=
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
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